Número

Un número es un concepto que permite evaluar y comparar cantidades o relaciones de magnitudes , pero también ordenar elementos por numeración. A menudo escritos con uno o más dígitos , los números interactúan a través de operaciones que se resumen mediante reglas de cálculo . Las propiedades de estas relaciones entre números son objeto de estudio de la aritmética , que se extiende con la teoría de los números .

A falta de una definición general satisfactoria de esta noción, las matemáticas proponen varios tipos de números para expresar medidas físicas , para resolver ecuaciones , incluso para aprehender el infinito .

En física , las cantidades adimensionales a menudo se denominan "números", como el número de Reynolds en mecánica de fluidos o números cuánticos .

Además de su uso científico, algunos números también han adquirido una fuerte carga simbólica en diferentes culturas. Este es, por ejemplo, el caso del número tres para los cristianos o el número diez para los pitagóricos .

Diseño

Principio

El concepto de número tiene su origen en la idea de emparejamiento , es decir, de la puesta en correspondencia de conjuntos (por ejemplo, seres humanos por un lado y caballos por otro lado). Si tratamos de dividir todos los elementos en pares que comprenden un elemento de cada conjunto, es posible que algunos elementos de un conjunto queden demasiado, o que falten algunos, o que haya algunos. La experiencia demuestra que la forma de hacer la distribución no cambia el resultado, de ahí la noción de cantidad , carácter intrínseco y que se puede comparar.

Esta cantidad aún no es un número, pero a veces se denomina "número de". El número como tal no tiene unidad de medida . Según Euclides, es "un conjunto compuesto de unidades", donde "la unidad es aquello según el cual se dice que cada una de las cosas existentes es una. "

Junto con la noción de cantidad, ligada al aspecto "cardinal", la noción de identificación en una lista conduce a la definición del número "ordinal": el primer número va seguido de un segundo, él mismo seguido de otro y así sucesivamente. "hasta el infinito".

Extensión progresiva

Sin cálculo, los números se limitan a la cantidad de símbolos utilizables. El descubrimiento de operaciones numéricas elementales (suma y multiplicación en particular) permitirá que las matemáticas faciliten la descripción de números mucho más grandes utilizando varios sistemas de numeración . Los descubre civilización babilónica incluyendo notación posicional en el III º milenio antes de Cristo y luego practicar el cálculo con números con una parte fraccionaria .

Las fracciones se diseñan en el antiguo Egipto en forma de "números de días", es decir, inversos de enteros. Su manejo está sujeto a ciertas restricciones que serán superadas solo por la interpretación geométrica como la relación de longitudes (total). Sin embargo, ni las fracciones ni otras proporciones geométricas como pi , la proporción áurea o la diagonal del cuadrado serán realmente consideradas como números por los matemáticos de la antigua Grecia , para quienes los únicos números son números enteros .

Aunque el número "0" se utiliza en algunos sistemas de numeración posicionales por varias civilizaciones antiguas, el número cero se muestra como tal en el VII º siglo en matemáticas indias . Es absorbido por la civilización del Islam e importado a Europa en el X º siglo. Bajo el calificativo de "absurda", los números negativos ya se estudian en el XVI e siglo, pero sus propiedades aritméticas son objeto de controversia en el comienzo del XIX e siglo.

Los números algebraicos reales positivos son estudiados con el desarrollo del álgebra por matemáticos árabes . Estos valores aproximados de cálculo en notación decimal de la XII ª siglo. Esta misma álgebra llevado a algunos matemáticos italianos inventaron la XVI ª números de siglo "imaginaria" primera aproximación de números complejos que se definirán de manera satisfactoria en el XVIII ° siglo. Su construcción geométrica también será seguida rápidamente por la de los cuaterniones y luego por otros números hipercomplejos durante el siglo siguiente.

Paradójicamente, no fue hasta el XIX ° siglo, que reconoce la existencia de números trascendentes , justo antes o formaliza la noción de real independientemente de la geometría. El procedimiento de terminación de los números racionales serán imitados a principios del XX ° siglo para construir el número p -adic .

Los números transfinitos se introducen en varios caminos desde el final del XIX ° siglo, cuando Georg Cantor define el ordinal y cardinal . En la segunda mitad de la XX XX siglo, los análisis no estándar hace uso de números Hyperreal entonces superréels mientras Conway tiene los números y surrealista seudo-real .

Pedagogía

Varios experimentos exploran las habilidades digitales en los niños pequeños.

En educación, aprender a numerar comienza con la adquisición de la " cadena digital ", en particular con la ayuda de canciones infantiles : "uno, dos, tres ..." Esta lista se ampliará gradualmente para permitir que el niño '' enumere objetos que manipula para contarlos (asociando esta cantidad con el último término de la enumeración), pero también para ubicar una posición en una serie ordenada.

Durante la escolarización, se lleva al niño a considerar varios tipos de números ordenados en una secuencia creciente de conjuntos:

el conjunto N (o ) de números naturales ; $\ mathbb {N}$
el conjunto Z (o ) de enteros relativos , que están dotados de un signo positivo ( ) o negativo ( ); $\ mathbb {Z}$ $+$ $-$
el conjunto D (o ) de números decimales , que admiten una parte entera y una parte decimal de longitud finita, generalmente anotadas a ambos lados de una coma; ${\ mathbb {D}}$
el conjunto Q (o ) de números racionales , que están representados por fracciones con un numerador y denominador entero (o decimal); $\ mathbb {Q}$
el conjunto R (o ) de números reales , que identifican todos los puntos de un eje continuo orientado; $\ mathbb {R}$
el conjunto C (o ) de números complejos , que puede describir todos los puntos de un plano. $\ mathbb {C}$

Numeración

Origen

La idea de cantidad y su codificación visual probablemente sean anteriores a la aparición de la escritura. Se están desarrollando gradualmente varios métodos de conteo para describir el tamaño de una manada y controlar su desarrollo, seguir un calendario o medir las cosechas.

En el IV º milenio antes de Cristo, las civilizaciones mesopotámicas y bolas uso hueco de arcilla que contienen tokens y estantes de arcilla con las marcas. Se utiliza un sistema de notación (conocido como el "sistema S") para la designación de cantidades discretas, mientras que las áreas y otras cantidades se representan cada una de acuerdo con su propio sistema de notación. No fue hasta la fusión de estos sistemas, al final del III ° milenio antes de Cristo, para ver si realmente formar el concepto de número abstracto, independiente de sus resultados concretos.

De signo a número

En los sistemas de numeración aditiva, ciertos símbolos (variables según el cultivo) representan cantidades precisas y se yuxtaponen para designar todos los números útiles.

Los sistemas alfabéticos asocian la lista de letras del alfabeto (que refuerzan letras inusuales, obsoletas o inventadas) con nueve unos, nueve decenas y nueve centenas para escribir cada número entre 1 y 999 en hasta tres caracteres. Para escribir valores más altos, se coloca un nuevo grupo de hasta tres letras que designan miles a la izquierda, separadas por un apóstrofe.

Este sistema se acerca a la escritura posicional cifrada, en la que cada posición contiene (como máximo) solo un dígito.

Los dígitos del número decimal corresponden a los primeros diez números enteros: cero , uno , dos , tres , cuatro , cinco , seis , siete , ocho y nueve .

Aritmética

Operaciones

Dado que las cantidades están representadas por símbolos, la manipulación de las cantidades debe traducirse mediante operaciones sobre los números. Así, la unión de dos cantidades define la operación de suma y la repetición de una determinada cantidad da lugar a la multiplicación . Estas dos operaciones directas admiten operaciones recíprocas : resta y división , que permiten encontrar uno de los operandos del resultado y el otro operando.

Cada una de estas operaciones se realiza mediante diversas técnicas de cálculo . Pero a diferencia de las operaciones directas que se definen sin restricciones, las operaciones recíprocas solo tienen éxito bajo ciertas condiciones. Por lo tanto, antes de usar números negativos , un número solo se puede restar de un número mayor. Asimismo, la noción de divisibilidad describe la viabilidad de una división. Sin embargo, el proceso de división euclidiana tiene la ventaja de proporcionar un resultado incluso sin el supuesto de divisibilidad. Este último se expresa luego por la ausencia de resto .

Desde el momento en que la multiplicación aparece como una operación puramente numérica, su repetición define las potencias de un número, cuyas operaciones recíprocas se denominan raíces . Otras operaciones como el factorial se desarrollan en el marco de la combinatoria .

Múltiple y divisor

En este párrafo, los números considerados son enteros naturales distintos de cero.

Dado un número, el conjunto de sus múltiplos es infinito pero distribuido regularmente y fácil de describir mediante una secuencia aritmética . Por ejemplo, los múltiplos de 2 son números pares , que se alternan con números impares entre todos los enteros.

Por el contrario, el conjunto de divisores de un número es siempre finito y su distribución no tiene el mismo tipo de regularidad. Ciertamente, siempre contiene el número a dividir y el número 1, cualquier otro divisor que se encuentre entre estos dos extremos. Pero generalmente es difícil enumerar estos otros divisores a partir de una escritura del número en una base determinada.

Este problema se debe en parte a la escasez de criterios simples para determinar sin cálculo si un número es divisible por otro. En un sistema numérico posicional decimal , se conocen varios criterios de divisibilidad para divisores pequeños (especialmente para 2, 3, 5, 9 y 10), pero aparte de estos pocos casos, es esencialmente la división euclidiana la que nos permite responder a esta pregunta.

Número primo

Aparte del número 1, que es su único divisor, cualquier número admite por lo menos dos divisores distintos. Aquellos que admiten exactamente dos se llaman números primos . Son los únicos capaces de reducir otros números por división, sin ser ellos mismos descomponibles en productos de números estrictamente menores. Hay infinidad de ellos y cada número se descompone de forma única en un producto de números primos. Esta descomposición permite, entre otras cosas, comprender la estructura del conjunto de divisores.

Hacia la teoría de números

La aritmética es literalmente ciencia enteros, que comprende la definición de las operaciones elementales de suma y multiplicación , sus operaciones inversas, la relación de divisibilidad y las propiedades que se deducen, posibilitando el tratamiento de las ecuaciones diofánticas . Desde el XIX ° siglo, la teoría de los números extiende estos conceptos utilizando las herramientas del álgebra y el análisis de los conjuntos de números reales , complejos o p -adic .

Geometría

Número calculado

La evaluación de una cantidad de objetos se realiza de forma más o menos rápida dependiendo de la forma en que se almacenen los objetos. Por ejemplo, dieciséis fichas son mucho más fáciles de contar si se colocan en un cuadrado que si se colocan en desorden sobre una mesa. Asimismo, la tetraktys de los pitagóricos es la disposición de diez puntos en un triángulo . Otras formas se estudian desde este ángulo en el plano ( hexágonos por ejemplo) o en el espacio mediante pilas de figuras.

Esta visión de los números como configuraciones geométricas permite, entre otras cosas, interpretar el producto de dos números como el rectángulo cuyos lados están descritos por estos dos números, de ahí la conmutatividad necesaria de la multiplicación, es decir, que el orden en que se lleve a cabo la multiplicación no influye en el resultado. Otras propiedades aritméticas se pueden establecer geométricamente. Por tanto, un número es par si se puede representar mediante un rectángulo de dos líneas; es primo si la única forma de representarlo como un rectángulo es una línea de varios puntos.

Informe de magnitud

Algunos números provienen de razones geométricas como pi , razón de la circunferencia del círculo a su diámetro, o la razón áurea , nacida del problema de la división "en razón extrema y media".

Notas y referencias

Definiciones lexicográficas y etimológicas de "Nombre" (que significa número ordinal) de la tesorería computarizada del idioma francés , en el sitio web del Centro Nacional de Recursos Textuales y Léxicos
Le Petit Robert de la langue française y le Trésor de la Langue Française Informatisé informan que “el número es una de las nociones fundamentales del entendimiento […] que no se puede definir. Le Petit Larousse ilustrado sostiene que el número "no se puede definir estrictamente".
Expresión utilizada por Stella Baruk en su Diccionario de matemáticas elementales .
Elementos , libro VII.
El primer número entero llamado "natural" es el número antes del reconocimiento del cero pero aún después en el lenguaje cotidiano e incluso hoy en día en las matemáticas anglosajonas. $1$
particular, se encuentra en los números griegos de la II ª siglo aC y numeración maya en el I er milenio.
Esta es la secuencia de los primeros números enteros, generalmente comenzando en 1, ver sobre este tema los nuevos programas de educación primaria en Francia p. 7 .
La propia palabra "rima" deriva tardíamente del verbo "contar" según el diccionario histórico de la lengua francesa .
En varios otros países, la coma se reemplaza por un punto .
El hueso de Ishango se interpreta así como un artefacto anterior a la aparición de la escritura y que representa valores numéricos.
Georges Ifrah, introducción a la Historia Universal de las Figuras .
Catherine Goldstein , "El nacimiento de los números en Mesopotamia", Historia de los números , ediciones Tallandier, 2007.
Christian Houzel, “¿Qué es un número? », Historia de los números , ediciones Tallandier, 2007.
El sistema de numeración del antiguo Egipto se detiene así en el símbolo del millón , asimilado al infinito .
Véase, por ejemplo, la numeración griega .
posición cero se inventó primero para indicar la ausencia de un dígito en una posición.
Incluso admitiendo el uso de números negativos, para restar un número positivo de un número positivo menor, realizamos la resta opuesta y cambiamos el signo del resultado.

Ver también

Bibliografía

John H. Conway y Richard K. Guy , El libro de los números , París, Eyrolles , 1998 ( ISBN 2-212-03638-8 )
Heinz-Dieter Ebbinghaus (de) et al., Numbers , Nueva York, Springer , 1991 ( ISBN 0-387-97497-0 )
Paul Benoît , Karine Chemla y Jim Ritter , Histoire des fracciones, fracciones de historia , Birkhäuser ,1992
(en) GH Hardy y EM Wright , Una Introducción a la Teoría de Números ( 1 st ed. 1938) [ detalle de las ediciones ] "El mayor clásico de la teoría de números" según Douglas Hofstadter
Georges Ifrah , Historia universal de las figuras , Ediciones Robert Laffont , colección “Bouquins”
El misterio de los números , edición especial de Science et Avenir , 2004
Denis Guedj , El imperio de los números , Gallimard, coll. " Découvertes Gallimard / Sciences et Techniques" ( n o 300 ), 1996

Filmografia

The Empire of Numbers , DVD editado por Arte edición.

Enlace externo

Jean-Pierre Dedieu, " Las palabras de los números " ( Archivo • Wikiwix • Archive.is • Google • ¿Qué hacer? ) ,7 de febrero de 2007