Nabla

Nabla , señalado o de acuerdo con las convenciones utilizadas, es un símbolo matemático que puede denotar el gradiente de una función en el análisis vectorial, así como una conexión Koszul en geometría diferencial . Los dos conceptos están vinculados, lo que explica el uso del mismo símbolo. En física , se usa en la dimensión 3 para representar fácilmente varios operadores vectoriales, comúnmente usados ​​en electromagnetismo y dinámica de fluidos . ∇→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}}∇{\ Displaystyle \ nabla}

Origen historico

La forma de nabla proviene de la letra griega invertida delta (Δ), debido a un uso comparable, ya que la letra griega en posición vertical se usa para denotar un operador , el laplaciano , en cálculo diferencial .

La definición de nabla fue introducida en 1847, aunque sin título, por William Rowan Hamilton , y Peter Guthrie Tait desarrolló la teoría a partir de 1867. James Maxwell apodado temporalmente maliciosamente "atled" ("delta" al revés) en su correspondencia, el nombre nabla fue que Tait le dio por consejo de William Robertson Smith, en 1870, por analogía de forma con un arpa griega que en la antigüedad llevaba este nombre (νάβλα, nábla ).

Trabajo moderno

Nabla es un operador diferencial vectorial. En coordenadas cartesianas relativas a una base del espacio euclidiano de tres dimensiones , está escrito en la forma: {X,y,z}{\ Displaystyle \ {x, y, z \}} {I→,j→,k→}{\ Displaystyle \ {{\ vec {\ mathbf {i}}}, {\ vec {\ mathbf {j}}}, {\ vec {\ mathbf {k}}} \}}

∇→=∂∂XI→+∂∂yj→+∂∂zk→{\ estilo de visualización {\ vec {\ nabla}} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} {\ vec {\ mathbf {i}}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} {\ vec {\ mathbf {j}}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial z}} {\ vec {\ mathbf {k}}}}, o en forma de matriz: (∂∂X∂∂y∂∂z){\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ Partical} {\ Partical X}} & {\ Frac {\ Partical} {\ Partical y}} & {\ Frac {\ Partical} {\ Partical Z}} \ end {pmatrix}}}

En la definición original propuesta por el matemático y físico irlandés William Rowan Hamilton , la base estaba inicialmente formada por los tres elementos básicos de los cuaterniones . {I,j,k}{\ Displaystyle \ {\ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k} \}}

Este operador se utiliza en análisis de vectores . Si es un campo escalar y un campo vectorial , el operador nabla permite expresar formalmente tres operaciones fundamentales: F{\ Displaystyle f}A→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}

• el gradiente de una función escalar en un punto corresponde formalmente al producto del vector nabla por una función escalar de este punto, cuyo resultado es un vector:

graduado→F=∇→F=(∂F∂X∂F∂y∂F∂z){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} \, f = {\ overrightarrow {\ nabla}} f = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} & { \ frac {\ parcial f} {\ parcial y}} & {\ frac {\ parcial f} {\ parcial z}} \ end {pmatrix}}} Observamos que, en esta notación, el vector nabla precede al escalar, contrario al orden habitual de notación;

• la divergencia de una función vectorial de un punto corresponde formalmente al producto escalar de nabla por esta función vectorial, cuyo resultado es un escalar:

div⁡A→=∇→⋅A→=∂AX∂X+∂Ay∂y+∂Az∂z{\ displaystyle \ operatorname {div} {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {A}} = {\ frac {\ parcial A_ {x}} {\ parcial x} } + {\ frac {\ parcial A_ {y}} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial z}}} ;

• la rotación de una función vectorial de un punto corresponde formalmente al producto cruzado de nabla por esta función vectorial, cuyo resultado es un pseudo-vector  :

eructar→A→=∇→∧A→=(∂Az∂y-∂Ay∂z∂AX∂z-∂Az∂X∂Ay∂X-∂AX∂y){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {A}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial y}} - {\ frac {\ parcial A_ {y}} {\ parcial z}} & {\ frac {\ parcial A_ {x}} {\ parcial z} } - {\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial x}} y {\ frac {\ parcial A_ {y}} {\ parcial x}} - {\ frac {\ parcial A_ {x}} { \ y parcial}} \ end {pmatrix}}}.

Además, se puede reiterar el operador, que corresponde formalmente a las segundas derivadas que entran en la expresión del laplaciano, dando:

• el laplaciano  :

ΔF=∇→2F=∇→⋅(∇→F)=∂2F∂X2+∂2F∂y2+∂2F∂z2{\ displaystyle \ Delta f = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} f = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot ({\ overrightarrow {\ nabla}} f) = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} f } {\ z parcial ^ {2}}}} ;

• el laplaciano vectorial  :

ΔA→=∇→2A→-∇→∧(∇→∧A→)=∇→(∇→⋅A→)-eructar→(eructar→A→){\ displaystyle \ Delta {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} {\ overrightarrow {A}} - {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge ({\ overrightarrow {\ nabla }} \ wedge {\ overrightarrow {A}}) = {\ overrightarrow {\ nabla}} ({\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {A}}) - {\ overrightarrow {\ operatorname {rot} }} ({\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} {\ overrightarrow {A}})}.

Cuando hay varias marcas, al símbolo se le puede asignar una letra como subíndice para especificar a cuál se refiere el operador.

Formulario de análisis de vectores

La siguiente lista reúne las definiciones de los principales operadores utilizados en el análisis vectorial que se pueden expresar utilizando el operador nabla, en diferentes sistemas de coordenadas .

Cirugía	Coordenadas cartesianas (X,y,z){\ Displaystyle (x, y, z)}	Coordenadas cilíndricas (r,θ,z){\ Displaystyle (r, \ theta, z)}	Coordenadas esféricas (r,θ,φ){\ Displaystyle (r, \ theta, \ varphi)}
Definición de coordenadas		{X=rporque⁡θy=rpecado⁡θz=z{\ Displaystyle {\ begin {cases} x = r \ cos \ theta \\ y = r \ sin \ theta \\ z = z \ end {cases}}}	{X=rpecado⁡θporque⁡φy=rpecado⁡θpecado⁡φz=rporque⁡θ{\ Displaystyle {\ begin {cases} x = r \ sin \ theta \ cos \ varphi \\ y = r \ sin \ theta \ sin \ varphi \\ z = r \ cos \ theta \ end {cases}}}
A→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}	AXtu→X+Aytu→y+Aztu→z{\ displaystyle A_ {x} {\ overrightarrow {u}} _ {x} + A_ {y} {\ overrightarrow {u}} _ {y} + A_ {z} {\ overrightarrow {u}} _ {z} }	Artu→r+Aθtu→θ+Aztu→z{\ displaystyle A_ {r} {\ overrightarrow {u}} _ {r} + A _ {\ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} + A_ {z} {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	Artu→r+Aθtu→θ+Aφtu→φ{\ displaystyle A_ {r} {\ overrightarrow {u}} _ {r} + A _ {\ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} + A _ {\ varphi} {\ overrightarrow {u} } _ {\ varphi}}
∇→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}}	∂∂XtuX→+∂∂ytuy→+∂∂ztuz→{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} {\ vec {u_ {x}}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} {\ vec {u_ {y}}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial z}} {\ vec {u_ {z}}}}	tu→r∂∂r+1rtu→θ∂∂θ+tu→z∂∂z{\ Displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {r} {\ parcial \ sobre \ parcial r} + {1 \ sobre r} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} {\ parcial \ sobre \ parcial \ theta} + {\ overrightarrow {u}} _ {z} {\ parcial \ sobre \ parcial z}}	tu→r∂∂r+1rtu→θ∂∂θ+1rpecado⁡θtu→φ∂∂φ{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {r} {\ parcial \ sobre \ parcial r} + {1 \ sobre r} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} {\ parcial \ sobre \ parcial \ theta} + {1 \ sobre r \ sin \ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi} {\ parcial \ sobre \ parcial \ varphi}}
∇→F=gramoraD→F{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} f = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f}	∂F∂Xtu→X+∂F∂ytu→y+∂F∂ztu→z{\ Displaystyle {\ parcial f \ sobre \ parcial x} {\ overrightarrow {u}} _ {x} + {\ parcial f \ over \ parcial y} {\ overrightarrow {u}} _ {y} + {\ parcial f \ over \ parcial z} {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	∂F∂rtu→r+1r∂F∂θtu→θ+∂F∂ztu→z{\ displaystyle {\ parcial f \ sobre \ parcial r} {\ overrightarrow {u}} _ {r} + {1 \ over r} {\ parcial f \ sobre \ parcial \ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} + {\ f parcial \ sobre \ z parcial} {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	∂F∂rtu→r+1r∂F∂θtu→θ+1rpecado⁡θ∂F∂φtu→φ{\ displaystyle {\ parcial f \ sobre \ parcial r} {\ overrightarrow {u}} _ {r} + {1 \ over r} {\ parcial f \ sobre \ parcial \ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} + {1 \ sobre r \ sin \ theta} {\ f \ parcial sobre \ parcial \ varphi} {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi}}
∇→⋅A→=DIvA→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {A}} = \ mathrm {div} {\ overrightarrow {A}}}	∂AX∂X+∂Ay∂y+∂Az∂z{\ Displaystyle {\ A_ {x} parcial \ sobre \ x parcial} + {\ A_ {y} parcial \ sobre \ y parcial} + {\ A_ {z} parcial \ sobre \ z} parcial	1r∂(rAr)∂r+1r∂Aθ∂θ+∂Az∂z{\ Displaystyle {1 \ sobre r} {\ parcial (rA_ {r}) \ sobre \ parcial r} + {1 \ sobre r} {\ parcial A _ {\ theta} \ sobre \ parcial \ theta} + {\ parcial A_ {z} \ sobre \ parcial z}}	1r2∂(r2Ar)∂r+1rpecado⁡θ∂(Aθpecado⁡θ)∂θ+1rpecado⁡θ∂Aφ∂φ{\ Displaystyle {1 \ over r ^ {2}} {\ partial (r ^ {2} A_ {r}) \ over \ partial r} + {1 \ over r \ sin \ theta} {\ partial (A_ { \ theta} \ sin \ theta) \ sobre \ parcial \ theta} + {1 \ sobre r \ sin \ theta} {\ parcial A _ {\ varphi} \ sobre \ parcial \ varphi}}
∇→∧A→=rot→A→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ overrightarrow {A}}}	(∂Az∂y-∂Ay∂z)tu→X{\ Displaystyle \ left ({\ A_ parcial {z} \ sobre \ y parcial} - {\ A_ parcial {y} \ sobre \ z parcial} \ derecha) {\ overrightarrow {u}} _ {x}} +(∂AX∂z-∂Az∂X)tu→y{\ Displaystyle + \ left ({\ parcial A_ {x} \ sobre \ parcial z} - {\ parcial A_ {z} \ sobre \ parcial x} \ derecha) {\ overrightarrow {u}} _ {y}} +(∂Ay∂X-∂AX∂y)tu→z{\ Displaystyle + \ left ({\ parcial A_ {y} \ sobre \ parcial x} - {\ parcial A_ {x} \ sobre \ parcial y} \ derecha) {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	(1r∂Az∂θ-∂Aθ∂z)tu→r{\ Displaystyle \ left ({1 \ over r} {\ parcial A_ {z} \ over \ parcial \ theta} - {\ parcial A _ {\ theta} \ over \ parcial z} \ right) {\ overrightarrow {u }} _ {r}} +(∂Ar∂z-∂Az∂r)tu→θ{\ Displaystyle + \ left ({\ A_ parcial {r} \ sobre \ z parcial} - {\ A_ parcial {z} \ sobre \ parcial r} \ derecha) {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}}+1r(∂(rAθ)∂r-∂Ar∂θ)tu→z{\ Displaystyle + {1 \ sobre r} \ izquierda ({\ parcial (rA _ {\ theta}) \ sobre \ parcial r} - {\ parcial A_ {r} \ sobre \ parcial \ theta} \ derecha) {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	1rpecado⁡θ(∂(Aφpecado⁡θ)∂θ-∂Aθ∂φ)tu→r{\ Displaystyle {1 \ over r \ sin \ theta} \ left ({\ partial (A _ {\ varphi} \ sin \ theta) \ over \ parcial \ theta} - {\ parcial A _ {\ theta} \ over \ parcial \ varphi} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {r}} +(1rpecado⁡θ∂Ar∂φ-1r∂(rAφ)∂r)tu→θ{\ Displaystyle + \ left ({1 \ over r \ sin \ theta} {\ parcial A_ {r} \ over \ parcial \ varphi} - {1 \ over r} {\ parcial (rA _ {\ varphi}) \ sobre \ parcial r} \ derecha) {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}} +1r(∂(rAθ)∂r-∂Ar∂θ)tu→φ{\ Displaystyle + {1 \ sobre r} \ izquierda ({\ parcial (rA _ {\ theta}) \ sobre \ parcial r} - {\ parcial A_ {r} \ sobre \ parcial \ theta} \ derecha) {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi}}
ΔF=∇→2F{\ Displaystyle \ Delta f = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} f}	∂2F∂X2+∂2F∂y2+∂2F∂z2{\ Displaystyle {\ Particular ^ {2} f \ over \ Partical x ^ {2}} + {\ Particular ^ {2} f \ Over \ Particular y ^ {2}} + {\ Particular ^ {2} f \ sobre \ parcial z ^ {2}}}	1r∂∂r(r∂F∂r)+1r2∂2F∂θ2+∂2F∂z2{\ displaystyle {1 \ sobre r} {\ parcial \ sobre \ parcial r} \ izquierda (r {\ parcial f \ sobre \ parcial r} \ derecha) + {1 \ sobre r ^ {2}} {\ parcial ^ {2} f \ sobre \ parcial \ theta ^ {2}} + {\ parcial ^ {2} f \ sobre \ parcial z ^ {2}}}	1r2∂∂r(r2∂F∂r)+1r2pecado⁡θ∂∂θ(pecado⁡θ∂F∂θ)+1r2pecado2⁡θ∂2F∂φ2{\ Displaystyle {1 \ over r ^ {2}} {\ parcial \ over \ parcial r} \ left (r ^ {2} {\ partial f \ over \ parcial r} \ right) + {1 \ over r ^ {2} \ sin \ theta} {\ parcial \ sobre \ parcial \ theta} \ izquierda (\ sin \ theta {\ parcial f \ sobre \ parcial \ theta} \ derecha) + {1 \ sobre r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ partial ^ {2} f \ over \ partial \ varphi ^ {2}}}
ΔA→=∇→2A→-eructar→(eructar→A→){\ displaystyle \ Delta {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} {\ overrightarrow {A}} - {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} ({\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} {\ overrightarrow {A}})}	ΔAXtu→X+ΔAytu→y+ΔAztu→z{\ Displaystyle \ Delta A_ {x} \; {\ overrightarrow {u}} _ {x} + \ Delta A_ {y} \; {\ overrightarrow {u}} _ {y} + \ Delta A_ {z} \ ; {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	(ΔAr-Arr2-2r2∂Aθ∂θ)tu→r{\ Displaystyle \ left (\ Delta A_ {r} - {A_ {r} \ sobre r ^ {2}} - {2 \ sobre r ^ {2}} {\ parcial A _ {\ theta} \ sobre \ parcial \ theta} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {r}} +(ΔAθ-Aθr2+2r2∂Ar∂θ)tu→θ{\ Displaystyle + \ left (\ Delta A _ {\ theta} - {A _ {\ theta} \ over r ^ {2}} + {2 \ over r ^ {2}} {\ parcial A_ {r} \ sobre \ parcial \ theta} \ derecha) {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}}+ΔAztu→z{\ Displaystyle + \ Delta A_ {z} \; {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	(ΔAr-2Arr2-2Aθporque⁡θr2pecado⁡θ-2r2∂Aθ∂θ-2r2pecado⁡θ∂Aφ∂φ)tu→r{\ Displaystyle \ left (\ Delta A_ {r} - {\ frac {2A_ {r}} {r ^ {2}}} - {\ frac {2A _ {\ theta} \ cos \ theta} {r ^ { 2} \ sin \ theta}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial A _ {\ theta}} {\ parcial \ theta}} - {\ frac {2} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial A _ {\ varphi}} {\ parcial \ varphi}} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {r}} +(ΔAθ-Aθr2pecado2⁡θ+2r2∂Ar∂θ-2porque⁡θr2pecado2⁡θ∂Aφ∂φ)tu→θ{\ Displaystyle + \ left (\ Delta A _ {\ theta} - {\ frac {A _ {\ theta}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ parcial A_ {r}} {\ parcial \ theta}} - {\ frac {2 \ cos \ theta} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ parcial A _ {\ varphi}} {\ parcial \ varphi}} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}}+(ΔAφ-Aφr2pecado2⁡θ+2r2pecado⁡θ∂Ar∂φ+2porque⁡θr2pecado2⁡θ∂Aθ∂φ)tu→φ{\ displaystyle + \ left (\ Delta A _ {\ varphi} - {\ frac {A _ {\ varphi}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + {\ dfrac {2} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial A_ {r}} {\ parcial \ varphi}} + {\ frac {2 \ cos \ theta} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ parcial A _ {\ theta}} {\ parcial \ varphi}} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi}}

El uso de expresiones de en sistemas de coordenadas distintos del cartesiano requiere permanecer atento a la aplicación de las derivadas parciales a los elementos , y . Estos últimos son campos de no constantes vectores , que revelan términos específicos cuando se somete a la derivación (a diferencia de , y que tienen cero derivados). ∇→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}}tu→φ{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi}}tu→r{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {r}}tu→θ{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}} tu→X{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {x}}tu→y{\ Displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {y}}tu→z{\ Displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {z}}

Otro uso

En lenguaje APL , el signo nabla o del (∇) significa que uno desea ingresar o salir del modo de definición de una función.

Ver también

Artículos relacionados

• Pseudovector
• Derivado covariante
• Tabla de símbolos matemáticos

enlaces externos

• (in) Nombrado Nabla

Referencias

1. (en) Ivor Grattan-Guinness, Escritos emblemáticos en matemáticas occidentales 1640-1940 , Elsevier ,2005, 1022  p. ( ISBN  0-444-50871-6 ) , pág.  466.
2. (in) Vida y trabajo científico de Peter Guthrie Tait , Cambridge University Press , 383  p. , p.  143-145.