Matemáticas



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Las matemáticas (o matemáticas ) son un conjunto de conocimientos abstractos que resultan del razonamiento lógico aplicado a diversos objetos como los conjuntos matemáticos, los números , las formas , las estructuras , las transformacionesetc.  ; así como las relaciones y operaciones matemáticas que existen entre estos objetos. También son el campo de investigación que desarrolla este conocimiento, así como la disciplina que lo enseña.

Tienen varias ramas como: aritmética , álgebra , análisis , geometría , lógica matemáticaetc. También existe una cierta separación entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas .

Las matemáticas se distinguen de otras ciencias por una relación particular con la realidad porque la observación y el experimento no se relacionan con objetos físicos; las matemáticas no son una ciencia empírica . Son de naturaleza enteramente intelectual, basados en axiomas declarados verdaderos o en postulados aceptados provisionalmente. Estos axiomas constituyen sus fundamentos y, por tanto, no dependen de ninguna otra proposición. Un enunciado matemático - generalmente llamado, después de ser validado, teorema , proposición, lema , hecho, escolio o corolario - se considera válido cuando el discurso formal que establece su verdad respeta una determinada estructura racional llamada demostración o razonamiento lógico-deductivo. Una afirmación que aún no se ha demostrado pero que, sin embargo, se considera plausible se llama conjetura .

Aunque los resultados matemáticos son verdades puramente formales, encuentran aplicaciones en otras ciencias y en diferentes campos de la tecnología . Así habla Eugene Wigner de "la efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales".

Etimología

La palabra "matemática" viene del griego al latín . La palabra ( máthma ) se deriva del verbo ( manthánô ) ("aprender"). Significa "ciencia, conocimiento" y luego "matemáticas" de  ; que dio origen al adjetivo ( mathematikos ), en primer lugar "en relación con el conocimiento" y luego "que se refiere a las ciencias matemáticas". Este adjetivo fue adoptado en latín ( mathematicus ) y posteriormente en las lenguas romances ("matemáticas" en francés , matematica en italianoetc. ), así como en muchas otras lenguas.

La forma neutra del adjetivo ha sido sustantivada en ( ta mathmatiká ) para designar las ciencias matemáticas en su conjunto. Esta forma plural, utilizada por Aristóteles , explica el uso del plural para el sustantivo en latín en Cicerón ( mathica ), luego en francés y en algunas otras lenguas europeas.

El uso del plural es una herencia de la antigüedad , cuando el quadrivium agrupaba las cuatro artes llamadas matemáticas: aritmética, geometría, astronomía y música. El singular ("matemáticas") se usa a veces en francés, pero "la palabra le da al contexto un matiz de arcaísmo o didacticismo  ". Sin embargo, algunos autores, siguiendo a Nicolas Bourbaki , insisten en el uso del singular, para mostrar la estandarización que trae el enfoque axiomático contemporáneo: Jean Dieudonné parece ser el primero en haber insistido en este punto, y el vasto tratado de Bourbaki (de que es uno de los principales editores) se titula Elementos de las matemáticas , mientras que, por el contrario, el fascículo histórico que lo acompaña se titula Elementos de la historia de las matemáticas . Cédric Villani recomienda el uso del singular para afirmar la unidad del dominio.

En la jerga escolar, el término "matemáticas" se copia con frecuencia en "matemáticas", a veces también se escribe "matemáticas".

Historia

Un retrato de Euclides de Megara , que en realidad representa al matemático Euclides .

Es probable que el hombre haya desarrollado habilidades matemáticas antes del inicio de la escritura . Los primeros objetos reconocidos de habilidades computacionales son palos de conteo , como el hueso de Ishango (en África ) que data del 20.000 a. C. El desarrollo de las matemáticas como conocimiento transmitido en las primeras civilizaciones está ligado a sus aplicaciones concretas: comercio , manejo de cosechas , medición de áreas , predicción de eventos astronómicos , y en ocasiones la ejecución de rituales religiosos [ref. necesario] .

Los primeros desarrollos matemáticos implicaron la extracción de raíces cuadradas , las raíces cúbicas , la resolución de ecuaciones polinomiales , la trigonometría , el cálculo fraccional , la aritmética de números naturales ... Corrieron en civilizaciones acadias , babilónicas , egipcias , chinas o indias. Valle .

En la civilización griega , las matemáticas, influenciadas por trabajos previos y especulaciones filosóficas, buscan más abstracción. Se especifican las nociones de prueba y definición axiomática . Destacan dos ramas, la aritmética y la geometría . Al III º  siglo  aC. J. - C. , los Elementos de Euclides resumen y ordenan el conocimiento matemático de Grecia.

Las matemáticas chinas e indias (específicamente el valle del Indo ) alcanzadas en Occidente por la civilización islámica a través de la conservación del patrimonio griego y el mestizaje con los hallazgos, especialmente en términos de representación numérica [ref. necesario] . El trabajo matemático se desarrolla considerablemente tanto en trigonometría (introducción de funciones trigonométricas) como en aritmética . Se inventan y desarrollan el análisis combinatorio , el análisis numérico y el álgebra polinomial .

Durante el "  renacimiento del XII °  siglo  ", parte de los textos griegos y árabes se estudió y tradujo al latín . La investigación matemática se concentra en Europa. En el XVI °  siglo crece - incluyendo Pierre La Ramée - la idea de que existe una ciencia universal ( mathesis universalis ) en el que es posible basar todo el conocimiento. Descartes vio a partir de 1629 , en las Reglas para la dirección de la mente , las posibilidades que ofrece la matemática para desempeñar este papel. Descartes subraya, en el Discurso del método , el atractivo de las matemáticas, "por la certeza y la obviedad de sus razones". El álgebra se desarrolla luego como resultado del trabajo de Vieta y Descartes . Newton y Leibniz , independientemente, inventan el cálculo infinitesimal .

En el XVII °  siglo , Galileo se dio cuenta de que la matemática es la herramienta ideal para describir el mundo físico, podemos resumir diciendo que las leyes de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático . Por tanto, las matemáticas constituyen, junto con el enfoque experimental , uno de los dos pilares del desarrollo de la ciencia moderna .

David Hilbert , matemático alemán.

Durante el XVIII °  siglo y el XIX °  siglo , las matemáticas experimentando un fuerte desarrollo con el estudio sistemático de las estructuras , empezando por los grupos de la obra de Galois de ecuaciones polinómicas y anillos introducidos por Dedekind .

El XIX e  siglo sierra con Cantor y Hilbert el desarrollo de una teoría axiomática de todos los objetos estudiados, es decir la investigación de los fundamentos matemáticos . Este desarrollo conducirá axiomáticos varios matemáticos del XX °  siglo para tratar de definir todas las matemáticas utilizando un lenguaje, la lógica matemática .

El XX XX  siglo ha visto un fuerte desarrollo de las matemáticas con las áreas de especialización y el nacimiento o el desarrollo de muchas nuevas ramas ( teoría de la medida , la teoría espectral , la topología algebraica y la geometría algebraica , por ejemplo). La computadora tuvo un impacto en la investigación. Por un lado, facilitó la comunicación y el intercambio de conocimientos, por otro lado, proporcionó una herramienta formidable para confrontar ejemplos. Este movimiento condujo naturalmente al modelado y la digitalización .

Áreas

Se proponen divisiones de las matemáticas en dos, tres o cuatro campos diferentes: álgebra y análisis, o álgebra, análisis y geometría, o álgebra , análisis , geometría y probabilidad . Tales divisiones no son obvias y las fronteras que las separan siempre están mal definidas. De hecho, muchos resultados requieren una variedad de habilidades matemáticas. El teorema de Fermat-Wiles , establecido en 1994, es un ejemplo. Aunque el enunciado está formulado de la forma denominada aritmética, la demostración requiere habilidades profundas en análisis y geometría.

Áreas centrales

El álgebra es el conjunto de métodos matemáticos para estudiar y desarrollar estructuras algebraicas y comprender las relaciones que tienen entre sí. El álgebra en el sentido moderno, históricamente sus orígenes en la comprensión de las ecuaciones polinomiales y los métodos de resolución de desarrollos: la investigación en estas áreas ha llevado al surgimiento de los conceptos subyacentes a la teoría de grupos , la teoría de Galois o incluso la geometría algebraica .

En un sentido muy restrictivo, el análisis es la parte de las matemáticas que se ocupa de cuestiones de la regularidad de las aplicaciones de una variable real o compleja: entonces se habla más fácilmente de análisis real o de análisis complejo . En un sentido amplio, abarca todos los métodos matemáticos relacionados y una serie de métodos para comprender y analizar los espacios funcionales.

La geometría trata de comprender ante todo los objetos en el espacio y por extensión se interesa por las propiedades de los objetos más abstractos, multidimensionales, introducidos en varios enfoques, destacando gran parte del análisis del álgebra.

Las probabilidades están intentando formalizar todo lo relacionado con la aleatoriedad. Aunque viejos, han experimentado un renacimiento con la teoría de la medición .

Las estadísticas sirven para recopilar, procesar y sintetizar un conjunto de datos, generalmente muchos.

Ejemplos de áreas transversales

Charles Gustave Jacob Jacobi , conocido por sus desarrollos en la teoría analítica de números , entre el análisis complejo y la aritmética.

Muchas áreas de investigación se encuentran de manera transversal con respecto al desglose anterior:

  • Las matemáticas discretas (asociadas con el auge de la computadora ) son el ejemplo más típico de corte transversal porque pintan una división en casi todas las ramas de las matemáticas ( grupos finitos , probabilidad discreta , geometría discreta , optimización lineal en números enteros , ramas nuevas del álgebra: monoides , dioides ...).
  • La teoría de los números (que generaliza la aritmética elemental ) utiliza tanto los métodos analíticos como los métodos algebraicos avanzados, para resolver problemas que a menudo se pueden plantear de forma elemental.
  • La topología algebraica tiende a asociarse con objetos geométricos de varios tipos de invariantes algebraicos de la naturaleza. Por lo tanto, se encuentra en el límite entre la geometría diferencial y la geometría algebraica. Sin embargo, para los objetos geométricos que presentan una determinada estructura analítica, estas invariantes algebraicas a veces pueden definirse o entenderse recurriendo únicamente a herramientas que son esencialmente analíticas. Gran parte de la investigación actual en topología algebraica tiende a olvidar la estructura topológica y reduce las preguntas a problemas principalmente algebraicos.
  • En cierto sentido, los sistemas dinámicos se encuentran entre la geometría, el análisis y la probabilidad. Suelen comprender cualitativamente lo que se asimila a una ley de evolución. Los objetos estudiados vienen bajo análisis (ecuaciones diferenciales por ejemplo), probabilidades (iteración de una biyección medible) o geometría ( espacios homogéneos ). El tratamiento que se le dedica es objeto de interpretaciones esencialmente de carácter geométrico, utilizando herramientas avanzadas de análisis funcional , teoría de procesos , geometría diferencial,  etc. Los resultados aritméticos también se pueden obtener mediante consideraciones relacionadas con sistemas dinámicos.
  • La geometría diferencial se ubica en el límite de la geometría y del análisis, y en varios aspectos. La definición de sus objetos de estudio se basa en los teoremas del cálculo diferencial, pero el estudio en sí es un gran consumidor de análisis. También existen vínculos entre geometría diferencial y probabilidades.
  • La geometría algebraica es un ejemplo de un campo en sentido estricto para el encuentro del álgebra y la geometría. Encuentra sus orígenes en el trabajo de resolución de ecuaciones cúbicas. El primer objeto de estudio de la geometría algebraica es la variedad algebraica, lugar de cancelación de las ecuaciones polinomiales: tiene un significado tanto algebraico como geométrico. Esta área experimentó un fuerte desarrollo en el XIX °  siglo, incluyendo el teorema de Bézout . Los desarrollos recientes iniciados por Alexandre Grothendieck conocen muchas aplicaciones en la teoría de números, que constituye la geometría aritmética .
  • La teoría del operador más una cuestión de análisis, o el análisis funcional (por ejemplo, a los problemas de regularidad de soluciones de ecuaciones a ecuaciones diferenciales parciales elípticas, incluido el problema de Poisson ). Pero esta teoría conoce muchas aplicaciones en geometría diferencial donde el lenguaje de los operadores resulta particularmente adecuado. El desarrollo de la teoría del operador requirió métodos de naturaleza probabilística, en particular para lo que se llama cálculo funcional . Esta teoría encuentra extensiones en la geometría no conmutativa . Los objetos de estudio resultan ser generalizaciones de álgebras de operadores.

Matemáticas puras y aplicadas

A veces se hace una distinción entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas:

  • La matemática pura tiene como objetivo desarrollar el conocimiento matemático por sí misma sin ningún interés a priori en las aplicaciones, sin ninguna motivación de otras ciencias. El objeto de la investigación matemática puede entonces ser una mejor comprensión de una serie de ejemplos abstractos particulares, en los que se basa y desarrolla la reflexión matemática, la generalización de un aspecto de una disciplina o los vínculos destacados entre varias disciplinas de las matemáticas.
  • Por el contrario, la matemática aplicada es la implementación de conocimientos matemáticos para las necesidades del formalismo de otras ciencias ( física , informática , biología , astrofísica ), y para aplicaciones industriales (ingeniería por ejemplo). Suelen desarrollar estas herramientas matemáticas para satisfacer estas demandas, para resolver problemas planteados en términos concretos.

En Francia, esta distinción suele estructurar equipos de investigación, sin comprometer necesariamente las posibilidades de interacción entre ellos. Sin embargo, la relevancia de esta distinción es cuestionada por cierto número de matemáticos. La evolución de los campos y sus objetos de estudio también puede ayudar a cambiar una posible frontera o noción de separación. Según una broma de Ian Stewart , autor de muchos trabajos sobre matemáticas populares, en su obra Mi gabinete de curiosidades matemáticas , La relación entre matemáticos puros y aplicados se basa en la confianza y la comprensión. Los matemáticos puros no confían en los matemáticos aplicados, y los matemáticos aplicados no entienden a los matemáticos puros . Las matemáticas aplicadas, en un sentido pobremente definido, incluyen, entre otros , análisis numérico , estadística aplicada y teoría de la teoría, optimización matemática . Algunas áreas de investigación en matemáticas nacieron en la frontera con otras ciencias (ver más abajo).

Filosofía

Las preguntas tradicionales que hace la filosofía sobre las matemáticas se pueden clasificar según tres temas:

  1. La naturaleza de los objetos matemáticos: ¿si existen por sí mismos o si son construcciones mentales ¿Cuál es la naturaleza de una demostración (lógica y matemática)   ¿Cuáles son los vínculos entre la lógica y las matemáticas
  2. El origen del conocimiento matemático: ¿de dónde proviene la verdad de las matemáticas y cuál es su naturaleza ¿Cuáles son las condiciones para que existan las matemáticas y su vínculo con el hombre ¿Cuáles son los impactos de la estructura del pensamiento humano sobre la forma y el desarrollo de las matemáticas actuales ¿Los límites que induce
  3. La relación de las matemáticas con la realidad: ¿qué relación tienen las matemáticas abstractas con el mundo real ¿Cuáles son los vínculos con otras ciencias

Algunas veces se hace referencia a las matemáticas como la "reina de la ciencia". Sin embargo, la expresión se remonta a Carl Friedrich Gauss  : Regina Scientiarum y la palabra scientiarium en realidad significa " conocimiento  ".

Cimientos

Aristóteles  : el fundador de la lógica formal (pintura de Rafael ).

Supuestamente, las matemáticas usan la lógica como una herramienta para demostrar verdades organizadas en teorías . Un primer análisis permite esperar que un uso poderoso de esta herramienta tan segura, una reducción cada vez más profunda de las bases, los axiomas , sobre los que se construye el edificio matemático, acabe conduciendo a un corpus de hechos incontestables. Sin embargo, se levantan varios obstáculos.

Por un lado, como actividad humana, la matemática se aleja del modelo de una construcción que sigue escrupulosamente las leyes de la lógica e independiente de la realidad. Citemos un hecho y un fenómeno para ilustrar esto. En primer lugar, las pruebas que escriben los matemáticos no están formalizadas hasta el punto de seguir en detalle las leyes de la lógica, porque esto es imposible en un tiempo razonablemente corto. Como ocurre con cualquier ciencia, la aceptación de la veracidad de una prueba, y por lo tanto de un teorema, descansa en última instancia en un consenso de especialistas sobre la validez de la aproximación de prueba formal propuesta (ver La estructura de las revoluciones científicas de Thomas Samuel Kuhn ). Sin embargo, el advenimiento de la informática ha cambiado la situación, al menos marginalmente, ya que permite formalizar y verificar demostraciones cada vez más complejas.

Augustin Louis Cauchy , uno de los primeros en dar una base rigurosa al análisis .

Sin embargo, la actividad matemática está lejos de reducirse a la búsqueda de pruebas y a su verificación. La confianza que la comunidad matemática deposita en uno de sus miembros que propone un nuevo resultado interviene en la recepción que tendrá este resultado, y más si es inesperado o cambia la forma de ver las cosas. Podemos tomar, por ejemplo, la controversia histórica sobre geometrías no euclidianas en el XIX °  siglo, durante el cual el trabajo de Lobachevsky fueron ignoradas en gran medida; o, en otro sentido, la dificultad de recibir la obra del joven republicano Galois a principios del mismo siglo, en particular de Cauchy . La sociología de las matemáticas estudia tales fenómenos (ver sociología de la ciencia ).

Por otro lado, la solidez misma de las bases no puede basarse únicamente en las matemáticas. De hecho, los teoremas de incompletitud , demostrado por Kurt Gödel en la primera mitad del XX °  siglo muestran que, contrariamente a lo esperado David Hilbert , es imposible reducir formalmente los conceptos básicos de matemáticas en un sistema cuya seguridad es prueba de éstos, y esto implica que ciertas propiedades consideradas "verdaderas" permanecerán inaccesibles a la demostración, cualesquiera que sean los axiomas elegidos.

Educación

La enseñanza de las matemáticas puede referirse al aprendizaje de nociones matemáticas fundamentales o básicas así como al aprendizaje e iniciación a la investigación ( educación superior en matemáticas ). Dependiendo del tiempo y el lugar, la elección de las materias enseñadas y los métodos de enseñanza cambian ( matemáticas modernas , método de Moore , educación clásica, etc. ). En algunos países, la elección de los planes de estudio escolares en la educación pública la hacen las instituciones oficiales.

Cédric Villani , en una conferencia TED , recuerda una dificultad importante que la enseñanza de las matemáticas no resolverá por sí sola: el proceso de un descubrimiento matemático no se relaciona en sí mismo con las matemáticas. George Polya indicó sin embargo mediados 20 ª  siglo algunas técnicas para resolver los problemas existentes, en su libro Cómo plantear y resolver un problema ( "¿Cómo resolverlo").

Por la misma época algunos trabajos propusieron adquirir los mecanismos de resolución mediante multitud de ejercicios propuestos con su corrección detallada en el lado opuesto. En Francia y para las matemáticas, hubo obras de Pierre Louquet en la escuela secundaria. En el mundo de habla inglesa y en una amplia gama de disciplinas, la serie de Schaum's Outlines  (in) persigue este objetivo.

Hoy en día, muchos estudios nos permiten comprender los factores que influyen en la enseñanza de las matemáticas. Los estudios en países industrializados han demostrado que los hijos de padres más educados estudian más matemáticas y ciencias en la escuela secundaria superior y obtienen mejores resultados. Otros estudios que comparan las múltiples influencias en el rendimiento matemático de los niños han encontrado que el nivel de educación de las madres tiene el mayor efecto. Se ha demostrado que un nivel socioeconómico más alto está asociado con puntajes más altos en matemáticas tanto para niños como para niñas. El estudio PISA 2015 encontró que un aumento de una unidad en el índice PISA de estatus económico, social y cultural resultó en un aumento de 38 puntos en ciencias y 37 puntos en matemáticas. Este aumento puede estar relacionado con el hecho de que los padres brindan más apoyo para el aprendizaje en la escuela y en el hogar, con expectativas académicas más altas y creencias menos tradicionales sobre los roles y actitudes de género. El interés de los niños en STEM y su éxito en STEM también puede mejorarse mediante los arreglos realizados por los padres para brindar apoyo educativo, incluida la tutoría privada.

Conveniente

Actividad investigadora

La investigación matemática no se limita a la demostración de teoremas . Uno de los métodos más exitosos de investigación matemática es la unión de dominios que están a priori distantes al sacar a la luz fenómenos análogos (por ejemplo, geometría euclidiana y ecuaciones diferenciales lineales ). La identificación de fenómenos análogos puede llevar a querer adaptar los resultados de un campo de las matemáticas a otro, a reformular elementos de prueba en términos equivalentes, a intentar una axiomatización de un objeto (por ejemplo, podría ser la noción de espacio vectorial ) que reagruparía los dos dominios ... En el último caso, este nuevo objeto se convertiría entonces en un objeto de estudio por sí mismo. En algunos casos se hace necesaria la identificación de objetos aparentemente diferentes: el lenguaje de categorías permite hacer este tipo de cosas.

Otro método de investigación es la comparación con ejemplos y casos particulares. Esta confrontación puede permitir refutar propiedades que uno pensó o esperaba que fueran ciertas ( conjeturas ). Por el contrario, puede permitir verificar las propiedades o formalizarlas. Por ejemplo, en la geometría de Riemann , el estudio de superficies (por lo tanto, objetos en dimensión 2 ) y sus geodésicas finalmente llevó a Anosov a formalizar el difeomorfismo de Anosov , una transformación con interesantes propiedades dinámicas.

Idioma

Las matemáticas utilizan un lenguaje propio. Ciertos términos del lenguaje cotidiano, como grupo , anillo , campo o variedad, pueden tomarse prestados y redefinirse para denotar objetos matemáticos. Pero a menudo se forman e introducen términos según sea necesario: isomorfismo , topología , iteración ... La gran cantidad de estos términos dificulta que los no matemáticos entiendan las matemáticas.

El lenguaje matemático también se basa en el uso de fórmulas. Incluyen símbolos , algunos relacionados con el cálculo proposicional como el conector binario de implicación o el conector unario de negación , otros relacionados con el cálculo de predicados , como el cuantificador universal o el cuantificador existencial . La mayoría de las notaciones utilizadas en el XXI °  siglo se introdujeron después de la XVII ª  única siglo.

Hay un lenguaje matemático que describe las matemáticas. En este sentido decimos que se trata de un metalenguaje  : se trata de lógica matemática .

Relación con otras ciencias

Las matemáticas tienen una relación especial con todas las ciencias , en el sentido amplio del término. El análisis de datos (interpretación gráfica, datos estadísticos, etc.) requiere una variedad de habilidades matemáticas. Pero las herramientas matemáticas avanzadas están involucradas en el modelado .

Todas las llamadas ciencias duras , con la excepción de las matemáticas, tienden a comprender el mundo real. Esta comprensión requiere el establecimiento de un modelo, teniendo en cuenta un cierto número de parámetros considerados como causas de un fenómeno. Este modelo constituye un objeto matemático, cuyo estudio permite una mejor comprensión del fenómeno estudiado, posiblemente una predicción cualitativa o cuantitativa de su evolución futura.

El modelado requiere habilidades relacionadas principalmente con el análisis y la probabilidad, pero los métodos algebraicos o geométricos son útiles.

Físico

Las matemáticas surgieron del deseo de comprender el espacio circundante: la geometría surge del modelado de formas idealizadas y la aritmética de las necesidades de la gestión de cantidades. La astronomía y la geometría se han confundido durante mucho tiempo, incluso en las civilizaciones islámicas. La matemática y la física, después de diferenciarse, han mantenido estrechos vínculos. En la historia contemporánea de estas dos ciencias, las matemáticas y la física se han influido mutuamente. La física moderna hace un uso extensivo de las matemáticas, haciendo modelos sistemáticos para comprender los resultados de sus experimentos:

Un campo específico de investigación, la física matemática , tiende precisamente a desarrollar los métodos matemáticos que se utilizan en la física.

La estrecha conexión entre las matemáticas y la física se refleja en la educación superior de las matemáticas. La enseñanza de la física implica cursos de matemáticas para físicos; y no es raro que los cursos de matemáticas en las universidades incluyan una introducción opcional a la física.

Sin embargo, Albert Einstein es uno de los primeros en relativizar el campo de las matemáticas al recordar que la física utiliza varias formas, según sus necesidades, y no solo una. Su Teoría de la Relatividad General utiliza, por ejemplo, una geometría no euclidiana formalizada por Minkowski . Dirá: En lo que se refiere a la realidad, la geometría euclidiana no es exacta. Como exacta, no se relaciona con la realidad (conferencia de Berlín de 1921, geometría y experiencia ).

Ciencias de la Computación

El desarrollo de técnicas XX XX  siglo abrió el camino para una nueva ciencia, la computadora . Esto está estrechamente relacionado con las matemáticas, de varias maneras: ciertas áreas de investigación en informática teórica pueden considerarse esencialmente matemáticas, otras ramas de la informática hacen un mayor uso de las matemáticas. Las nuevas tecnologías de la comunicación han allanado el camino para aplicaciones en ramas a veces muy antiguas de las matemáticas ( aritmética ), particularmente en lo que respecta a problemas de seguridad de transmisión: criptografía y teoría de códigos .

Por otro lado, las ciencias de la computación influyen en la evolución moderna de las matemáticas.

Las matemáticas discretas son un campo de investigación actual de las matemáticas para desarrollar los métodos empleados en la informática, incluyendo la teoría de la complejidad , la teoría de la información , la teoría de grafos ... Entre los problemas abiertos cabe destacar el famoso P = NP en teoría de la complejidad, que es uno de los siete problemas de precios del milenio . Esto sucederá para decidir si P y NP son diferentes o iguales recibirá $ 1 000 000  USD .

La informática también se ha convertido en una herramienta imprescindible para la obtención de nuevos resultados (un conjunto de técnicas conocidas como matemáticas experimentales ) e incluso para demostrar determinados teoremas. El ejemplo más famoso es el del teorema de los cuatro colores , demostrado en 1976 utilizando una computadora, porque algunos de los cálculos necesarios son demasiado complejos para hacerse a mano. Este desarrollo trastoca las matemáticas tradicionales, donde la regla era que el matemático podía verificar por sí mismo cada parte de la demostración. En 1998, la conjetura de Kepler también parece haber sido parcialmente probada por computadora, y desde entonces un equipo internacional ha trabajado en la redacción de una prueba formal, que se completó (y verificó) en 2015.

De hecho, si la prueba está escrita de manera formal, entonces es posible verificarla usando un software especial, llamado asistente de prueba . Esta es la mejor técnica conocida por estar (casi) seguro de que una demostración asistida por computadora está libre de errores . En el espacio de unos treinta años, la relación entre matemáticos e informática se invirtió por completo: primero, un instrumento sospechoso que debe evitarse si es posible en la actividad matemática, la computadora se ha convertido, por el contrario, en una herramienta esencial.

Biología, química y geología

La biología es un gran consumidor de matemáticas, incluida la probabilidad. La dinámica de una población se modela comúnmente mediante cadenas de Markov (teoría de procesos discretos) o mediante ecuaciones diferenciales acopladas. Lo mismo ocurre con la evolución de los genotipos: el principio de Hardy-Weinberg , mencionado a menudo en genética, se relaciona con las propiedades generales de los procesos de tiempo discreto (existencia de leyes límite). De manera más general, la filogeografía utiliza modelos probabilísticos. Además, la medicina utiliza pruebas (estadísticas) para comprender la validez de un tratamiento en particular. Nace un campo de investigación específico en la frontera de la biología: la biomatemática .

Desde el comienzo de la XXI º  siglo, la química orgánica ha utilizado las computadoras para el modelado de moléculas en tres dimensiones: resulta que como una macromolécula biología es variable y determina su acción. Esta modelización recurre a la geometría euclidiana  ; los átomos forman una especie de poliedro cuyas distancias y ángulos están fijados por las leyes de interacción.

Los modelos geológicos y climáticos estructurales se basan en la combinación de métodos probabilísticos y analíticos para predecir el riesgo de desastres naturales. La complejidad de los modelos es tal que nació una rama de la investigación en la frontera de las matemáticas y la geofísica , la geofísica matemática . Asimismo, la meteorología , la oceanografía y la planetología son grandes consumidores de matemáticas porque requieren modelado.

Ciencias Humanas

La relación entre las matemáticas y las ciencias humanas se realiza principalmente a través de la estadística y las probabilidades , pero también a través de ecuaciones diferenciales , estocásticas o no, utilizadas en sociología , psicología , economía , finanzas , gestión empresarial , lingüística, etc.

La lógica es desde la antigüedad una de las tres principales disciplinas de la filosofía , con la ética y la física. Filósofos como Pitágoras y Tales de Mileto formalizaron los famosos teoremas geométricos que llevan su nombre. "Que nadie entre aquí si no es topógrafo", se grabó en el portal de la Academia de Platón , para quien la matemática es un intermediario para acceder al mundo de las Ideas .

En particular, las matemáticas financieras son una rama de las matemáticas aplicadas cuyo objetivo es comprender la evolución de los mercados financieros y estimar los riesgos. Esta rama de las matemáticas se desarrolla en la frontera de la probabilidad y el análisis y utiliza la estadística.

Mucho más sutil es el caso de la economía matemática. El postulado fundamental de esta disciplina es que la actividad económica puede entenderse desde un axioma de carácter antropológico , el del actor individual racional. En esta visión, cada individuo busca con sus acciones aumentar un cierto beneficio , y esto de manera racional . Este tipo de visión atomista de la economía le permite matematizar su pensamiento con relativa facilidad, ya que el cálculo individual se traslada al cálculo matemático. Esta modelización matemática en economía permite descubrir mecanismos económicos que sólo podrían haber sido descubiertos con gran dificultad mediante un análisis "literario". Por ejemplo, las explicaciones de los ciclos económicos no son triviales. Sin modelos matemáticos, es difícil ir más allá de simples hallazgos estadísticos o especulaciones no probadas. Sin embargo, ciertos sociólogos, como Bourdieu , e incluso ciertos economistas, rechazan este postulado del homo conomicus , señalando que las motivaciones de los individuos incluyen no solo la donación , sino que también dependen de otras cuestiones de las que el interés económico no es. Que una parte, o simplemente no son racionales. La matematización es, por tanto, según ellos, un encubrimiento para una explotación científica de los materiales.

También estamos presenciando el comienzo del XX °  siglo , un reflejo de poner los movimientos históricos en la fórmula, al igual que Nikolai Kondratiev , que discierne un ciclo de base para explicar las plumas y la economía política en crisis, o Nicolás-Remi Brück y Charles Henri Lagrange que, desde el final del XIX e  siglo, se amplifica su análisis hasta penetrar en el campo de la geopolítica , por querer establecer la existencia, en la historia, de los movimientos de gran amplitud que los pueblos de plomo en su pico, y luego a su disminución.

Sin embargo, una matematización de las ciencias humanas no está exenta de peligros. En el controvertido ensayo Impostures intellectuelles , Sokal y Bricmont denuncian la relación, infundada o abusiva, de la terminología científica, en particular la matemática y la física, en el campo de las ciencias humanas. El estudio de sistemas complejos (evolución del paro, capital de una empresa, evolución demográfica de una población, etc.) requiere conocimientos matemáticos elementales, pero la elección de los criterios de recuento, especialmente en el caso del paro, o la modelización puede ser controvertida.

Ecología

La ecología también utiliza una gran cantidad de modelos para simular la dinámica de la población , estudiar ecosistemas como el modelo presa-depredador, medir la propagación de la contaminación o evaluar el cambio climático resultante del calentamiento. Estas herramientas permiten comunicarse sobre datos cifrados, para posiblemente criticarlos o compararlos entre sí. Surge entonces el problema de la validación de estos modelos, en particular en el caso donde los resultados pueden influir en decisiones políticas y donde la existencia de modelos contradictorios permite a los Estados elegir el más favorable a su decisión.

Relación con la astrología, el esoterismo.

Las matemáticas han tenido durante mucho tiempo vínculos muy estrechos con la astrología . Esto, a través de cartas astrales, sirvió de motivación en el estudio de la astronomía. Los matemáticos de renombre también fueron considerados grandes astrólogos. Podemos citar a Ptolomeo , los astrónomos de habla árabe, Regiomontanus , Cardan , Kepler o John Dee . En la Edad Media, la astrología se consideraba una ciencia incluida en las matemáticas. Así, Theodor Zwingler señala en su gran enciclopedia, concerniente a la astrología, que es una ciencia matemática que se ocupa del "movimiento activo de los cuerpos en la medida en que actúan sobre otros cuerpos" y reserva a las matemáticas la tarea de "calcular con probabilidad las influencias [de las estrellas] previendo sus conjunciones y oposiciones . Las teorías astrológicas occidentales se jactan de seguir métodos científicos contemporáneos. En particular, la astrología estadística utiliza pruebas estadísticas para resaltar cualquier correlación entre la posición de las estrellas y el destino de los hombres. Sin embargo, estos estudios iniciados por Choisnard y Gauquelin , llevados a cabo al margen de la investigación científica, hasta 2009, no han sido productivos y no han proporcionado ninguna prueba admisible de un vínculo de causa y efecto.

Las matemáticas también son un componente del esoterismo . Con mucha frecuencia, los propios matemáticos se han visto tentados a encontrar en la figura o el número un significado oculto que sirva de clave para el descubrimiento del mundo. En la escuela pitagórica, cada número tiene un significado simbólico y el juramento de los iniciados se habría enunciado frente a una tretraktys . Asimismo Platón no se conforma con enumerar los sólidos que llevan su nombre, atribuye a cada uno de ellos una naturaleza (agua, tierra, fuego, aire, universo). La aritmosofía, la numerología , la gematría , la aritmancia intentan, mediante cálculos sobre números, encontrar significados ocultos en los textos o extraer de ellos propiedades predictivas. Encontramos esta fascinación por el número y la figura incluso hoy en día donde algunos atribuyen virtudes ocultas a un pentáculo o un número de oro .

En el XXI °  siglo, estas disciplinas ya no se consideran la ciencia.

impacto cultural

Expresión artística

Las notas que suenan bien juntas para un oído occidental son sonidos cuyas frecuencias vibratorias fundamentales están en proporciones simples. Por ejemplo, la octava es una duplicación de la frecuencia, la quinta una multiplicación por 3 2 .

Este vínculo entre frecuencias y armonía se ha detallado en particular en el Tratado sobre la armonía reducida a sus principios naturales de Jean-Philippe Rameau , compositor barroco francés y teórico de la música. Se basa en parte en el análisis de los armónicos ( indicados del 2 al 15 en la siguiente figura) de un sonido fundamental de C bajo ( indicado como 1 ), los primeros armónicos y sus octavas suenan bien juntos.

Si la curva dibujada en rojo, que sigue a las notas armónicas, tiene apariencia logarítmica , esto corresponde a la relación entre dos fenómenos:

  • por un lado, la representación del tono de un sonido por nuestro sistema auditivo que es proporcional al logaritmo de la frecuencia del sonido (una doble frecuencia siempre corresponde a la misma "distancia sonora" llamada octava );
  • por otro lado, las frecuencias armónicas que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.
Fractal con simetría de escala y simetría central.

Los occidentales asocian cierta belleza con figuras simétricas. Una simetría de una figura geométrica es, intuitivamente, la existencia de un patrón de la figura que se repite según una regla precisa, mientras se transforma parcialmente. Matemáticamente, una simetría es la existencia de una acción no trivial de un grupo , muy a menudo por isometría , es decir que conserva las distancias sobre la figura. En otras palabras, la intuición de la regla se realiza matemáticamente por el hecho de que es un grupo el que actúa sobre la figura, y la sensación de que una regla gobierna la simetría se debe precisamente a la estructura algebraica de este grupo.

Por ejemplo, el grupo relacionado con la simetría especular es el grupo cíclico de dos elementos, / 2. Una prueba de Rorschach es una figura invariable por esta simetría, como una mariposa y más generalmente el cuerpo de los animales, al menos en la superficie. Cuando dibujamos la superficie del mar, todas las olas tienen una simetría por traslación: moviendo nuestra mirada la longitud que separa dos crestas de olas no cambia la vista que tenemos del mar. Simetría, esta vez no isométrica y casi siempre solo aproximada , es la que presentan los fractales  : un determinado patrón se repite en todas las escalas de visión.

Popularización

El objetivo de la popularización de las matemáticas es presentar las matemáticas en un lenguaje desprovisto de términos técnicos. Como el objeto de estudio de las matemáticas no tiene una realidad física, la popularización a menudo utiliza un vocabulario pictórico y comparaciones o analogías no rigurosas para transmitir la idea de desarrollos matemáticos. Entre las obras que se marcan este objetivo se encuentran Oh, las matemáticas de Yakov Perelman y El libro que te vuelve loco de Raymond Smullyan . Sin embargo, las matemáticas rara vez se popularizan en los periódicos impresos o televisivos.

  • La revista Tangente , la aventura matemática es la principal revista de divulgación matemática publicada en Francia.
  • La revista Images of Mathematics , con el apoyo del Centro Nacional de Investigaciones Científicas (CNRS), también está asumiendo el desafío. Permite a la mayor cantidad de personas posible descubrir la investigación matemática contemporánea y su entorno.
  • La revisión Accromth cuenta con el apoyo del Instituto de Ciencias Matemáticas y el Centro de Investigación Matemática de Montreal . Está destinado principalmente a estudiantes y profesores de secundaria y CEGEP y se distribuye de forma gratuita en Quebec .
  • La revista online Délibéré publica todas las semanas desde diciembre de 2015 la columna matemática de Yannick Cras titulada El número imaginario.
  • La revista Quadrature, que se publica cada trimestre, está dirigida a profesores, estudiantes, ingenieros y entusiastas de las matemáticas. El nivel de los artículos es variable y algunos son accesibles desde el terminal científico o Math-Sup. Los autores son matemáticos, pero también profesores y estudiantes. La cuadratura es ecléctica: algunos artículos presentan matemáticas muy recientes, mientras que otros dan un nuevo punto de vista sobre temas tradicionales o incluso resucitan cuestiones de geometría antigua.

Literatura y filmografía

Si varias biografías se relacionan con los matemáticos, las matemáticas son ciertamente un tema poco explotado en la literatura o la filmografía, pero presente.

Novelas

Películas

Teatro

Obras de teatro
  • The Proof of David Auburn , 2000 ( Prueba ,   ed. Dramatist's Play Service , 2002)
  • Denis Guedj , One zero show: espectáculo aritmético en 0 acto y 1 pizarra; (seguido de) Del punto ... a la línea: espectáculo geométrico en línea ... y en la superficie , París, Seuil ,, 61  p. ( ISBN  978-2-02-037379-1 , OCLC  48908950 )
  • Caso 3.14 , Logical Island Company (Cédric Aubouy)
  • Galois Poincaré, mitos y matemáticas , The Logical Island Company (Cédric Aubouy, David Latini)
Especialistas en teatro de ciencia
  • El teatro científico de Louis Figuier , Fabienne Cardot, Romantisme , 1989
  • Teatro y ciencia, El doble fundador , Jacques Baillon, L'Harmattan , 1998
  • Investigación teatral en un instituto tecnológico y científico , Ouriel Zohar , en Teatro y Ciencia ,   ed. P r  Lucile Garbagnati, F. Montaclair y D. Vingler, Prensas del Centro Unesco de Besançon y del Teatro de la Universidad de Franche-Comté, Besançon, 1998.
  • Teatro y material, Los motores de la representación , Jacques Baillon, L'Harmattan, 2002
  • The Science Theatre , Michel Valmer, CNRS Éditions, 2006
  • Ciencia en el escenario, a partir de D Dr.  Fausto de Copenhague , Kirsten Pastor-Barr, Princeton University Press , 2006.
  • El modelo científico en el teatro de Tom Stoppard , Liliane Campos, en Epistemocriticismo , Revisión de estudios e investigaciones sobre literatura y conocimiento, vol.  II , 2008
  • Isla de la lógica , teatro y payasos sobre lógica, matemáticas y física teórica (CNRS, Escuela Politécnica), Cédric Aubouy. 2008.

Series de television

  • Numb3rs , serie de Nicolas Falacci y Cheryl Heuton.
  • Eureka , serie de televisión creada por Andrew Cosby y Jaime Paglia.
  • Stargate Universe , serie de televisión creada por Brad Wright y Robert C. Cooper.

Fuentes

Notas y referencias

  1. (en) E. Wigner, La efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales  (en)  " , Common. Pure Appl. Matemáticas. , vol.  13, n o  1,, p.  1-14 ( leer en línea ).
  2. (en) The Oxford Dictionary of English Etymology , Oxford University Press .
  3. Cédric Villani , " Todo es matemático ", conferencia Honoris Causa de Cédric Villani en HEC Paris  " , en youtube.com ,(consultado el 17 de diciembre de 2016 ) , p.  1h33m27s
  4. (en) Las matemáticas del antiguo Egipto. Numeración, metrología, aritmética, geometría y otros problemas, 2014 , Safran (ediciones) .
  5. (in) Euclid's Elements (sitio web interactivo).
  6. Michel Paty, mathesis universalis e inteligibilidad en Descartes [PDF] .
  7. Conferencia sobre los fundamentos de las matemáticas , a cargo de Jean-Yves Girard , 17 de junio de 2002, Universidad de todo conocimiento .
  8. Las relaciones entre matemáticos puros y aplicados se basan en la confianza y la comprensión. Los matemáticos puros no confían en los matemáticos aplicados, y los matemáticos aplicados no entienden a los matemáticos puros , en el Gabinete de curiosidades matemáticas del profesor Stewart.
  9. (en) Matemáticas en Crystalinks.com.
  10. (en) Véase el número especial de diciembre de 2008 de Notices of the American Mathematical Society dedicado a la demostración formal.
  11. Nicolas Bouleau, Actas del Grupo de estudio canadiense en educación matemática [PDF] , página 24 .
  12. TEDxParis 2012 - Cedric Villani - El nacimiento de las ideas  " [video] , en YouTube (consultado el 2 de agosto de 2020 ) .
  13.   PISA 2015 Resultados (Volumen I) (Resumen en español)  , PISA 2015 resultados (Volumen I) ,( ISSN  1996-3777 , DOI  10.1787 / 3a838ef3-es , leído en línea , consultado el 7 de mayo de 2021 )
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  18. UNESCO, Descifrando el Código: Educar a niñas y mujeres en ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas (STEM) , París, UNESCO,( ISBN  978-92-3-200139-9 , leer en línea ) , página 47
  19. (en) Harriet R. Tenenbaum y Campbell Leaper , Conversaciones entre padres e hijos sobre ciencia: ¿la socialización de las desigualdades de género   , Psicología del desarrollo , vol.  39, n o  1,, p.  3447 ( ISSN  1939-0599 y 0012-1649 , DOI  10.1037 / 0012-1649.39.1.34 , leído en línea , consultado el 7 de mayo de 2021 )
  20. UNESCO, Descifrando el código: educación de niñas y mujeres en ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas (STEM) , París, UNESCO,( ISBN  978-92-3-200139-9 , leer en línea )
  21. Aviso sobre Charles Lagrange por André Jaumotte ( Universidad Libre de Bruselas ), en el sitio web de la Real Academia de Bélgica
  22. Diccionario de economía y ciencias sociales, Ed. Nathan Paris, Diccionario Larousse en 3er vol, París. Las definiciones de ciclos son numerosas, entre otras, en ciencias: evolución de sistemas que los devuelven a su estado inicial o, en sociología, movimiento (s) recurrente (s) de actividad (es) política y económica).
  23. Ver, por ejemplo, Anne Laurent, Roland Gamet, Jérôme Pantel, Nuevas tendencias en el modelado del medio ambiente, actas de conferencias Programa de medio ambiente, vida y sociedades 15-17 de enero de 1996, CNRS
  24. Nicolas Bouleau , Filosofía de las matemáticas y el modelado: de investigador a ingeniero , Harmattan,, pag. 282-283
  25. Birch , 1999 , p.  285.
  26. Birch , 1999 , p.  287.
  27. Guy Beaujouan, "Comprender y dominar la naturaleza en la Edad Media", Hautes Études Médiévales et Modernes , Vol.13, Librairie Droz, 1994, p.  130
  28. A. Dahan-Dalmedico y J. Peiffer , Una historia de las matemáticas: caminos y laberintos ,[ detalle de ediciones ], p.  47 .
  29. Platón, El Timeo, 53c - 56c
  30. Astrología puesta a prueba: ¡no funciona, nunca funcionó!" - Afis - Asociación Francesa de Información Científica   , en www.pseudo-sciences.org (consultado el 3 de febrero de 2016 )
  31. Jean-Philippe Rameau , Tratado de Armonía , París, Méridiens Klincksieck , coll.  "Colección de musicología",( 1 st  ed. 1722), 432  p. ( ISBN  978-2-86563-157-5 )
  32. http://accromath.uqam.ca/
  33. Yannick Cras, "  El número imaginario  ", deliberado , desde diciembre de 2015 ( leído en línea , consultado el 22 de abril de 2017 )
  34. http://www.quadrature.info/

Apéndices

Bibliografía

  • Instituto Henri-Poincaré , Objetos matemáticos , CNRS, 2017
  • Carina Louart, Florence Pinaud, ¡ Es matemático! Actes Sud Junior, 2014
  • Jean-Pierre Escofier, Historia de las matemáticas , Dunod, 2008
  • Jean-Marc Buret, Matemáticas explicado de manera simple: las bases desempolvadas y el placer de comprender , Elipses 2019, ( ISBN  9782340031777 )

Artículos relacionados

enlaces externos

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