Vector de poynting

Vector de poynting Producto cruzado del campo eléctrico V por el campo magnético B. Llave de datos

Unidades SI	vatio por metro cuadrado ( W m -2 )
Dimensión	M · T -3
Naturaleza	Tamaño Vector intensivo
Símbolo habitual	${\ vec S}$ , , O ${\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}}}$ ${\ vec {R}}$ ${\ vec {N}}$
Enlace a otros tamaños	${\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}}}$ = ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ mu _ {0}}}}$ ${\ vec {E}}$ $\ cuña$ ${\ Displaystyle {\ vec {B}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}}}$ ⋅ ${\ Displaystyle {\ vec {\ mathrm {d} S}}}$ ${\ Displaystyle = \ mathrm {d}}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {\ mathrm {e}}}$

En física , el vector de Poynting es la densidad de flujo relacionada con la propagación de la onda electromagnética . Su dirección es la dirección de propagación. Tenga en cuenta el , , o . ${\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}}}$ ${\ vec S}$ ${\ vec {R}}$ ${\ vec {N}}$

El flujo del vector de Poynting a través de una superficie (cerrada o no) es igual a la potencia transportada por la onda a través de esta superficie. El módulo de este vector es, por tanto, una potencia por unidad de superficie , es decir, un flujo de densidad de energía ; es homogéneo con una iluminación enérgica y una exaltación enérgica ; y, en el Sistema Internacional (SI) de unidades , se expresa en vatios por metro cuadrado .

Expresión general del vector de Poynting

Sea y sea el campo eléctrico y el campo magnético . La conservación de la energía electromagnética a través de una superficie se expresa, en su forma local (a menudo llamada teorema de Poynting ), como una ecuación de conservación : ${\ vec {E}}$ ${\ vec {B}}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ e (t) parcial} {\ t parcial}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ Pi}} (t) = s (t)}

con el tiempo, la densidad de energía volumétrica del campo electromagnético, el flujo que sale de la energía superficial y el término fuente: la densidad volumétrica de la energía ganada o perdida. $t$ $mi$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}}}$ $s$ $s> 0$

De las ecuaciones de Maxwell en el vacío, obtenemos la expresión para el vector de Poynting en el vacío:

{\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ frac {{\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {B}} (t)} {\ mu _ {0}} }}

donde μ 0 es la permeabilidad del vacío .

En un material lineal , de permeabilidad magnética μ y en el que se puede despreciar la dispersión y las pérdidas, es aconsejable tener en cuenta la excitación magnética definida por la relación . Luego obtenemos una expresión más general del vector de Poynting: ${\ Displaystyle {\ vec {H}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {B}} (t) = \ mu \, {\ vec {H}} (t)}$

{\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {H}} (t)}

En un medio lineal dispersivo con pérdida, la expresión del vector de Poynting se conserva , pero el teorema de Poynting ya no se expresa con términos de disipación adicionales e incluye términos adicionales. ${\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}} = {\ vec {E}} \ wedge {\ vec {H}}}$ $mi$

Promedio de tiempo en notación compleja

En el caso de una onda electromagnética armónica progresiva plana , tenemos

{\ Displaystyle {\ vec {E}} = {\ vec {E}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ varphi)}}

{\ vec B} = {\ vec B} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ psi)}

Por lo tanto, se pueden asociar cantidades complejas con los campos y planteando (con el número complejo como ): ${\ vec {E}}$ ${\ vec {B}}$ $I$ $i ^ {2} = - 1$

{\ Displaystyle {\ underline {\ vec {E}}} = {\ underline {\ vec {E}}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {E }} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ varphi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}

{\ Displaystyle {\ underline {\ vec {B}}} = {\ underline {\ vec {B}}} _ {0} \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {B}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ psi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}

El promedio temporal del vector de Poynting vale entonces:

{\ Displaystyle \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle = {\ frac {1} {2 \, \ mu _ {0}}} \; {\ text {Re}} \ left ({\ underline { \ vec {E}}} \ wedge {\ underline {\ vec {B}}} ^ {\ star} \ right)}

donde denota el conjugado de $\ underline {{\ vec B}} ^ {\ star}$ $\ subrayado {{\ vec B}}$

Vínculo con el enfoque energético de la propagación del haz

La media temporal del flujo de Poynting está relacionada con la luminancia de un haz que se propaga en la dirección . Esta luminancia viene dada por: ${\ Displaystyle L (\ Omega)}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {0} = {\ frac {\ vec {\ Pi}} {|| {\ vec {\ Pi}} ||}}}$

{\ Displaystyle L (\ Omega) = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle \ delta (\ Omega - \ Omega _ {0})}

donde está la función de Dirac . $\delta$

Comprobamos que el primer momento del que representa la densidad de flujo encuentra el flujo de Poynting: ${\ Displaystyle L (\ Omega)}$ $\ vec f$

{\ Displaystyle {\ vec {f}} = \ int _ {S ^ {2}} \ Omega L (\ Omega) \ mathrm {d} \ Omega = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle}

Energía electromagnética que atraviesa una superficie.

Una consecuencia del teorema de Poynting es que la potencia electromagnética que atraviesa una superficie $S$ viene dada por el flujo del vector de Poynting a través de esta superficie.

{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {S} = \ iint _ {S} {\ vec {\ Pi}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}}}

Ecuación energética de un campo electromagnético

Sea la energía del campo electromagnético: $U _ {{em}}$

$U _ {{em}} = \ iiint _ {{V}} W _ {{em}} {\ mathrm d} \ tau$ con densidad de volumen de energía W (cantidad de energía por unidad de volumen)

Definimos la cantidad de energía que deja un volumen durante un tiempo : $V$ $\ mathrm {d} t$

- {\ frac {{\ mathrm d} U _ {{em}}} {{\ mathrm d} t}} = - {\ frac {{\ mathrm d}} ​​{{\ mathrm d} t}} \ iiint _ {{V}} W _ {{em}} {\ mathrm d} \ tau = - \ iiint _ {{V}} {\ frac {\ parcial W _ {{em}}} {\ parcial t }} {\ mathrm d} \ tau

Sea , el vector de flujo de energía del campo. Según el teorema de Green-Ostrogradsky (teorema de divergencia de flujo ), podemos decir que el flujo que sale del volumen V es: ${\ vec P}$

${\ Displaystyle \ iint _ {\ Sigma} {\ vec {P}} \ cdot {\ vec {n}} \ \ mathrm {d} \ sigma}$ con un vector unitario normal a la superficie del volumen V, orientado de adentro hacia afuera. ${\ vec {n}}$ $\ Sigma$

La pérdida de energía del volumen se puede explicar de la siguiente manera:

pérdidas debidas a la "fricción" de cargas móviles (consulte la ley local de Ohm, efecto Joule);
pérdidas debidas a la radiación electromagnética que sale del volumen.

Por tanto, podemos decir que:

$- \ iiint _ {{V}} {\ frac {\ parcial W _ {{em}}} {\ parcial t}} {\ mathrm d} \ tau = \ iiint _ {{V}} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec P} {\ mathrm d} \ tau$ + trabajo aportado por el campo al material

Calculemos este trabajo:

${\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {\ rm {{\ sharp {e}} eléctrico}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B }})}$ .

Para una partícula:

${\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {W}} = {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = q {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}}$ (se observa fácilmente que la fuerza magnética no funciona).

Pasemos a la potencia suministrada por el campo. El poder que recibe una partícula es:

${\ Displaystyle {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}} = q \, {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}}$

Se anota la densidad de partículas , por lo tanto: $NO$

${\ frac {\ parcial W _ {{Eléctrico}}} {\ parcial t}} = Nq {\ vec E} \ cdot {\ vec v}$ oro $Nq {\ vec v} = {\ vec j}$

Entonces ${\ frac {\ parcial W _ {{Eléctrico}}} {\ parcial t}} = {\ vec j} \ cdot {\ vec E}$

Esta pérdida de potencia es igual a la pérdida de energía del campo por unidad de tiempo y volumen por lo que finalmente escribimos:

$- \ iiint _ {{V}} {\ frac {\ parcial W _ {{em}}} {\ parcial t}} d \ tau = \ iiint _ {{V}} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec P} {\ mathrm d} \ tau + \ iiint _ {{V}} {\ vec j} \ cdot {\ vec E} {\ mathrm d} \ tau$

Entonces finalmente tenemos:

$- {\ frac {\ parcial W _ {{em}}} {\ parcial t}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec P} + {\ vec j} \ cdot {\ vec E}$ ecuación de energía del campo electromagnético

Notas y referencias

Dubesset 2000 , sv vatio por metro cuadrado, p. 124.
Dubesset 2000 , sv irradiance, p. 60.
Dubesset 2000 , sv energy exitance, p. 64.
Dubesset 2000 , vector sv de Poynting, p. 121.
(en) John David Jackson, Electrodinámica clásica 3a edición , John Wiley & Sons ,1999, página 259
Classical electrodynamics 3rd edition, JD Jackson, página 264 (páginas 275-277 en la edición francesa)

Ver también

Bibliografía

[Poynting 1884] (en) John Henry Poynting , “ Sobre la transferencia de energía en el campo electromagnético ” , Philos. Trans. R. Soc. , vol. 175,Dic. 1884, arte. n o XV , pág. 343-361 ( OCLC 6067266495 , DOI 10.1098 / rstl.1884.0016 , JSTOR 109449 , Bibcode 1884RSPT..175..343P , resumen , leer en línea [PDF] ) - arte. recibido el17 de diciembre 1883 y léelo 10 de enero de 1884.
[Dubesset 2000] Michel Dubesset ( pref. De Gérard Grau), El manual del Sistema Internacional de Unidades: léxico y conversiones , París, Technip, coll. "Publicaciones del Instituto Francés del Petróleo ",Septiembre de 2000, 1 st ed. , 1 vol. , XX -169 p. , enfermo. , fig. y tabl. , 15 × 22 cm , br. ( ISBN 2-7108-0762-9 , EAN 9782710807629 , OCLC 300462332 , aviso BnF n o FRBNF37624276 , SUDOC 052448177 , presentación en línea , leer en línea ) , sv vector de Poynting, p. 121.

enlaces externos

[OI] (in) " Vector de Poynting " ["Vector de Poynting"] registro de autoridad n o 20110803100341357 del Oxford Index (OI) en la base de datos Oxford Reference de Oxford University Press (OUP) .
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