La flotabilidad es la fuerza particular realizada por un cuerpo colocado total o parcialmente en un fluido ( líquido o gas ) y sometido a un campo de gravedad . Esta fuerza proviene del aumento de la presión del fluido con la profundidad o la altitud (efecto de la gravedad sobre el fluido, ver el artículo hidrostático ): siendo mayor la presión en la parte inferior de un objeto sumergido que en su parte superior, el resultado es un empuje hacia arriba generalmente vertical. Es a partir de este empuje que definimos la flotabilidad de una carrocería. Este impulso fue estudiado por primera vez por Arquímedes .
“Todo cuerpo sumergido en un fluido en reposo, totalmente mojado por él o atravesando su superficie libre, sufre una fuerza vertical, dirigida de abajo hacia arriba e igual (y opuesta) al peso del volumen de fluido desplazado. Esta fuerza se llama el empuje de Arquímedes . Se aplica al centro de masa del fluido desplazado, llamado centro de empuje . "
Para que se aplique el teorema, el fluido sumergido y el cuerpo sumergido deben estar en reposo. También debe ser posible sustituir el cuerpo sumergido con fluido de inmersión sin romper el equilibrio, siendo el contraejemplo el tapón de una bañera llena de agua: si se sustituye por agua, es evidente que la bañera se está vaciando y que el el líquido ya no está en reposo. El teorema no se aplica ya que nos encontramos en un caso en el que el tapón no está completamente mojado por el líquido y no pasa a través de su superficie libre.
Una vez respetadas las condiciones anteriores, en un campo gravitatorio uniforme, el empuje de Arquímedes, anotado viene dado por la fórmula:
PAG→A=-metroFgramo→{\ Displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A \,}} = - \, m _ {\ rm {f}} \, {\ vec {g}}} o :En el caso particular donde la densidad ρ del fluido también es uniforme, tenemos:
PAG→A=-ρVgramo→{\ Displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A}} = - \, \ rho \, V \, {\ vec {g}}} o :Si consideramos las intensidades ( normas ) de las fuerzas entonces, señalando P A y g la norma de los vectores asociados, tenemos:
La intensidad P A del empuje de Arquímedes se expresa en N , la densidad ρ en kg m −3 , el volumen de fluido desplazado V en m 3 y la aceleración de la gravedad g en m s −2 .
Considere un fluido en reposo. Delimitamos, mediante el pensamiento, un cierto volumen de cualquier forma dentro de este fluido. Este volumen también está en reposo: a pesar de su peso, este volumen no cae. Esto significa, por tanto, que su peso está rigurosamente compensado por una fuerza opuesta, que lo mantiene en su lugar, y que proviene del fluido externo. Reemplazamos ahora, siempre por el pensamiento, este volumen por cualquier cuerpo. Como la fuerza que mantuvo al fluido en equilibrio es una fuerza de compresión que actúa sobre la superficie del volumen, es posible suponer que esta misma fuerza se aplica todavía al cuerpo sumergido: siempre es opuesta al peso del fluido desplazado. Es el empujón de Arquímedes. El hecho de que los campos de fuerza sean idénticos para el fluido homogéneo en reposo y para el cuerpo sumergido en el fluido en reposo se denomina "teorema de solidificación".
Suponga que un cubo de borde a está completamente sumergido en un líquido, su cara superior es horizontal y se encuentra a una profundidad z 1 > 0 (la dirección positiva es hacia abajo). Denotaremos el vector unitario dirigido a lo largo del eje de z creciente (por lo tanto orientado hacia abajo).
En el caso de un líquido incompresible en reposo sometido a un campo de gravedad uniforme, la presión absoluta p a una profundidad z vale:
o :Consideramos una columna de líquido, similar a un pavimento derecho de altura variable z y cuya superficie base es constante e igual a A. A una profundidad z , la presión hidrostática corresponde a la norma P del peso , dividida por la base A de la columna de líquido: p ( z ) = P / A .
Sin embargo, la expresión del peso de la columna de líquido es:
o :Por lo tanto, obtenemos, usando la fórmula p ( z ) = P / A:
.Por tanto, la presión absoluta es
.Por simetría , las fuerzas de presión ejercidas sobre las cuatro caras laterales del cubo se anulan entre sí de dos en dos.
La fuerza , que ejerce el líquido en la cara superior (de área A = a 2 ) del cubo, se dirige de arriba hacia abajo y vale:
.La fuerza dirigida de abajo hacia arriba, ejercida por el líquido en la cara inferior (del área A = a 2 ) del cubo, que se encuentra a la profundidad z 2 = z 1 + a , vale:
.Por tanto, la resultante de las fuerzas de presión vale:
o :La fuerza resultante es, por tanto, bastante igual al opuesto del peso del volumen de líquido desplazado. Al ser esta fuerza negativa, está bien orientada verticalmente de abajo hacia arriba.
Es posible generalizar la demostración anterior a un volumen de cualquier forma. Basta descomponer la superficie que bordea el volumen en una infinidad de elementos infinitesimales d S asumidos como planos, luego sumar, mediante un cálculo de integrales , todas las fuerzas infinitesimales ejercidas sobre cada elemento de la superficie .
Se puede deducir el teorema de Arquímedes del gradiente : supongamos un volumen V no especificado , delimitado por una superficie cerrada S , sumergido íntegramente en un fluido de densidad ρ sometido a un campo de gravedad , no necesariamente uniforme.
Por definición de la presión p , la resultante de las fuerzas de presión ejercidas sobre el volumen es:
o :Por el teorema del gradiente, entonces la ley fundamental de la hidrostática , esta expresión se convierte en:
que es lo opuesto al peso del volumen de fluido desplazado.
Sumerjamos completamente un sólido de volumen V , masa m y densidad ρ en un fluido de densidad uniforme ρ f , luego liberemos del reposo. Al principio, siendo la velocidad cero, solo dos fuerzas actúan sobre el sólido: su peso F p (hacia abajo) y el empuje de Arquímedes F a (hacia arriba).
F p = ρ V g F a = ρ f V g F p / F a = ρ / ρ fEn este caso, la relación de densidad es equivalente a la de las densidades :
En los dos casos en que el sólido no está en equilibrio, su movimiento posterior está determinado por tres fuerzas: su peso, el empuje de Arquímedes (opuesto al peso) y una fuerza de fricción viscosa F f (opuesta a la velocidad).
De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton , tenemos:
F p - F a ± F f = m a (la dirección positiva es hacia abajo)donde a es la aceleración del sólido.
Como la fuerza de fricción viscosa no es constante, sino que aumenta con la velocidad, la aceleración disminuye gradualmente, de modo que el sólido alcanza más o menos rápidamente una velocidad límite, cuando la resultante de las fuerzas es cero.
Considere un volumen sólido V y la densidad ρ S flotando en la superficie de un líquido de densidad ρ L . Si el sólido flota es porque su peso está equilibrado por el empuje de Arquímedes:
F a = F p .Siendo el empuje de Arquímedes igual (en valor absoluto) al peso del volumen de líquido desplazado (igual al volumen V i sumergido), podemos escribir:
ρ L V yo g = ρ S V g - (1).Por tanto, el volumen sumergido vale:
V yo = ( ρ S / ρ L ) V - (2).Desde V > V i , se deduce que ρ S < ρ L .
Aplicación al caso de un icebergConsidere un trozo de hielo puro a 0 ° C flotando en agua de mar . Sea ρ S = 0.917 g / cm 3 y ρ L = 1.025 g / cm 3 (tendríamos ρ L = 1.000 g / cm 3 para agua pura a 3.98 ° C ). El informeρ Sρ L(es decir, la densidad relativa) es igual a 0,895, por lo que el volumen sumergido V i representa casi el 90% del volumen total V del iceberg.
Un cubo de hielo derritiéndose en un vaso.Es fácil verificar que el derretimiento de un trozo de hielo puro que flota sobre agua pura se produce sin un cambio en el nivel del agua. De hecho, el volumen de hielo sumergido corresponde al volumen de agua líquida necesario para igualar el peso del cubo de hielo ( Ec. 1). Al derretirse, el cubo de hielo produce (por conservación de la masa) exactamente este volumen de agua, que "tapona el agujero dejado por la desaparición del hielo sólido". El nivel del agua sigue siendo el mismo. En la figura de al lado, el volumen delimitado por líneas de puntos es, en el vaso de la izquierda, el volumen de hielo sumergido y, en el vaso de la derecha, el volumen de agua líquida producida por el derretimiento del cubito de hielo.
También podemos hacer el siguiente cálculo: si consideramos, por ejemplo, un cubo de hielo de 1 cm 3 y densidad 0.917 g cm −3 (que por lo tanto contiene 0.917 g de agua), el volumen sumergido es 0.917 cm 3 ( Ec. 2 ) (como un iceberg, la mayor parte está bajo el agua). Cuando el cubo de hielo se haya derretido, estos 0.917 g de agua que ahora tendrán una densidad de 1 g · cm −3 ocuparán exactamente el volumen ocupado por la parte sumergida del cubo de hielo.
Todo sucede como si el empuje de Arquímedes se aplicara al centro del casco , es decir, al centro de gravedad del volumen de fluido desplazado.
Esta característica es importante para el cálculo de la estabilidad de un submarino bajo el agua o de un aerostato : so pena de ver girar estas máquinas, es necesario que su centro de casco esté situado por encima de su centro de gravedad.
En el caso de un barco, por otro lado, el centro del casco se encuentra a menudo por debajo del centro de gravedad para evitar momentos adrizantes excesivos. Sin embargo, cuando la inclinación de la embarcación cambia ( balanceo ), el centro del casco se mueve lateralmente más que el centro de gravedad, lo que genera un par de torsión que tiende a devolver la embarcación a su inclinación original. La estabilidad está entonces asegurada por la posición del metacentro, que es el punto de aplicación de las variaciones de empuje. Este metacentro debe estar por encima del centro de gravedad.
Como anécdota, podemos notar que los diseñadores de submarinos deben garantizar simultáneamente dos tipos de equilibrio para sus máquinas: equilibrio en el buceo y equilibrio en la superficie.
El Tratado de cuerpos flotantes , en el que Arquímedes establece las leyes de la estática de los fluidos y las condiciones de equilibrio de los cuerpos sólidos sumergidos en un fluido o flotando sobre él, es probablemente la obra más conocida de Arquímedes, porque todos mantienen en Miren la anécdota relatada por Vitruvio según la cual Arquímedes tuvo la intuición del principio fundamental de la hidrostática al tomar un baño:
Arquímedes, erudito griego que vivió en Siracusa , Sicilia , desde el 287 a. C. D. C. hasta el 212 a. C. AD , es conocido por sus numerosos trabajos científicos, teóricos o prácticos, ya sea en matemáticas o física . El Tratado de Cuerpos Flotantes que estudia rigurosamente la inmersión de un cuerpo, sólido o fluido, en un fluido de menor, igual o mayor densidad , sienta las bases de la rama de la mecánica de fluidos , que más tarde se denominará " hidrostática ". Este libro es el teorema que lleva el nombre del científico, que está plenamente demostrado que la XVI ª siglo.
El Tratado de los cuerpos flotantes contiene otras proposiciones relacionadas con el impulso de Arquímedes:
Vitruvio informa que el rey Hierón II de Siracusa (306-214) le habría pedido a su joven amigo y asesor científico Arquímedes (entonces de 22 años) que verificara si una corona de oro , que había hecho como ofrenda a Zeus, era completamente de oro. o si el artesano le hubiera puesto plata . El cheque fue, por supuesto, para no dañar la corona. La forma de este también era demasiado compleja para hacer un cálculo del volumen del adorno. Arquímedes supuestamente encontró una manera de verificar si la corona era realmente de oro, mientras estaba en el baño público, observando cómo flotaban los objetos en ella. Entonces habría salido a la calle completamente desnudo, gritando " ¡ Eureka !" » (¡Lo encontré!), Una fórmula que desde entonces se ha hecho famosa.
La observación que hizo Arquímedes en el baño público es que, para un mismo volumen dado, los cuerpos no tienen el mismo peso, es decir, tienen una masa diferente por unidad de volumen. Hoy hablamos de densidad . La plata (densidad 10.500 kg m −3 ) es menos densa que el oro (densidad 19.300 kg m −3 ), por lo que tiene una densidad menor: para obtener la misma masa, se necesita más cantidad de plata que de oro. Si el artesano escondió dinero en la corona del rey, Arquímedes dedujo que la corona debía ser más grande que si hubiera sido hecha exclusivamente de oro. Así quedó desenmascarado el engaño del joyero.
Para responder a la pregunta del rey Hierón, Arquímedes pudo comparar los volúmenes de agua desplazados por la corona y una cantidad de oro de idéntica masa. Si ambos mueven el mismo volumen de agua, entonces su densidad es igual y se puede concluir que ambos están hechos del mismo metal. Para llevar a cabo el experimento, uno puede imaginarse sumergiendo la masa de oro en un recipiente lleno hasta el borde (y provisto de un pico para observar mejor la cosa). Una cierta cantidad de agua se desbordará del recipiente (se puede recoger para medirla). Luego, retiramos el oro y lo reemplazamos con la corona a estudiar. Si la corona es totalmente de oro, el agua no se desbordará. Por otro lado, si su densidad es menor y por lo tanto su volumen mayor para la misma masa, se desbordará agua adicional.
El volumen de agua desplazada dependerá de la proporción de plata en oro; dado que el oro es aproximadamente dos veces más denso que la plata, reemplazar el 10% en masa de oro con plata conduce a un aumento del volumen del 10%. Pero debido a la alta densidad del oro, su volumen es muy bajo: el volumen de una corona de 1 kg de oro es solo un poco más de 50 cm 3 y sustituir el 10% del oro por plata solo hace una diferencia de unos 4,34 cm. 3 (el volumen de agua en una cucharadita)
El método así descrito por Vitruvio tiene dos inconvenientes. La primera es que no pone en juego aquí el principio de Arquímedes. El segundo problema es que en condiciones realistas, debido a la densidad del oro y al pequeño volumen de la corona, el volumen de agua desplazada es muy pequeño y su medida se ve perturbada por el agua que puede perderse en las diferentes operaciones. Por lo tanto, es poco probable que Arquímedes pudiera haber sacado conclusiones significativas de tal experiencia.
Un método más realista es el siguiente. Equilibramos una balanza con la corona de un lado y oro puro del otro, cuyas masas son iguales. Luego, los objetos pesados se sumergen por completo (para superar la influencia de las escamas de las escalas podemos asegurarnos de que sean estrictamente idénticas, o mejor, eliminarlas reemplazándolas por un alambre fino y densidad cercana a la del agua) . Si la corona no es de oro puro, es de volumen algo mayor, por lo que produce una fuerza de Arquímedes ascendente algo mayor que la misma masa de oro puro y se rompe el equilibrio inicial del equilibrio. Aquí nuevamente, la diferencia de peso es pequeña; en las condiciones imaginadas anteriormente, corresponde al peso de 5 cm 3 de agua, es decir, 5 g . Por tanto, necesitamos un equilibrio capaz de detectar tal variación, lo cual es difícil, pero no irreal.
En realidad, el dispositivo se fabricó con el nombre de equilibrio hidrostático .
La anécdota se perpetúa con títulos como La Baignoire d'Archimède. Una pequeña mitología de la ciencia de Sven Ortoli y Nicolas Witkowski (1998), o El baño de Arquímedes - Antología poética de Obériou de Henri Abril (2012).