Paralelogramo
En geometría , un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos segmentos diagonales se cruzan en sus puntos medios .
Definiciones equivalentes
En geometría puramente afín , un cuadrilátero (ABCD) es un paralelogramo (en el sentido definido en la introducción) si y solo si satisface una de las siguientes propiedades equivalentes:
- los vectores y son iguales;
- los vectores y son iguales.
Si además los cuatro vértices están de tres a tres desalineados , estas propiedades también equivalen a lo siguiente: los lados opuestos son paralelos de dos en dos, es decir: (AB) // (CD) y (AD) // ( ANTES DE CRISTO).
En geometría euclidiana , bajo este mismo supuesto, estas propiedades también son equivalentes a:
- el cuadrilátero no está cruzado y sus lados opuestos tienen la misma longitud de dos en dos;
- es convexo y sus ángulos opuestos tienen la misma medida de dos en dos;
- sus ángulos consecutivos son dos por dos adicionales ;
- es un trapezoide (no cruzado) cuyas bases tienen la misma longitud.
Propiedades
- Todo paralelogramo tiene un centro de simetría : el punto de intersección de sus diagonales.
- En cualquier paralelogramo ABCD, tenemos la identidad del paralelogramo : AC 2 + BD 2 = 2 (AB 2 + BC 2 ).
Casos particulares
- Un rombo es un paralelogramo que tiene al menos dos lados consecutivos de la misma longitud . Incluso es equilátero .
- Un rectángulo es un paralelogramo que tiene al menos un ángulo recto . Incluso es un triángulo .
- Un cuadrado es un rombo rectangular.
Área
Sea la longitud de un lado del paralelogramo y la longitud de la altura asociada. El área del paralelogramo es:
El área de un paralelogramo también viene dada por un determinante .
Antiparalelogramo
Un antiparalelogramo es un cuadrilátero cruzado cuyos lados opuestos tienen la misma longitud de dos en dos.
En un antiparalelogramo, los ángulos opuestos tienen la misma medida en valor absoluto.
Equipollencia y vectores
Ahora es clásico definir la noción de paralelogramo a partir de la de vector ( ver arriba ) pero a la inversa, desde la noción de medio, podemos definir (como en la introducción) la de paralelogramo, luego la de equipollencia de dos bipuntos, y finalmente el del vector:
- llamamos bipoint a cualquier par de puntos (el orden de los puntos es importante);
- se dice que dos bipuntos ( A , B ) y ( C , D ) son equipollentes si ABDC es un paralelogramo;
- llamamos vector a la clase de equivalencia del bipoint ( A , B ), es decir, al conjunto de bipoints equipollent a ( A , B ).
Luego encontramos que un cuadrilátero ( ABCD ) es un paralelogramo si y solo si .
Ver también
- Área de un polígono
- Paralelepípedo
- Paralléloèdre (en)
- Parallélogone (en)
- Teorema de varignon
Notas y referencias
- M. Troyanov, curso de geometría , PPUR , 2002, p. 13 .
- Jean Dieudonné , Álgebra lineal y geometría elemental , Hermann ,1964, ejercicio 1, pág. 50.