Clasificación | |
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Recíproco | |
Derivado | |
Primitivas |
Conjunto de definiciones | |
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Conjunto de imágenes |
Valor cero | 1 |
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Límite en + ∞ | + ∞ |
Límite en −∞ | 0 |
Asíntotas |
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En matemáticas , la función exponencial es la función anotada exp que es igual a su propia derivada y toma el valor 1 en 0 . Se utiliza para modelar fenómenos en los que una diferencia constante en la variable conduce a una relación constante en las imágenes . Estos fenómenos están en el llamado crecimiento "exponencial".
Denotamos por e el valor de esta función en 1 . Este número e que es igual a aproximadamente 2.71828 se llama la base de la función exponencial y permite otra notación de la función exponencial:
.La función exponencial es la única función continua en ℝ que transforma una suma en producto y que toma el valor e en 1 . Este es un caso especial de funciones de este tipo llamadas base a exponenciales .
Puede determinarse como un límite de ejecución o utilizando una serie completa .
Es la biyección recíproca de la función logaritmo natural .
Estas diversas definiciones permiten extender la definición de la función exponencial a funciones de ℂ a ℂ * o incluso a espacios más complicados y luego se utiliza en la geometría de Riemann , en la teoría de los grupos de Lie , o incluso en el estudio de las álgebras de Banach. .
Las aplicaciones elementales de las funciones exponenciales reales o complejas se refieren a la resolución de ecuaciones diferenciales , la implementación de la teoría de Fourier ... pero los campos de aplicación de las funciones exponenciales son extremadamente vastos: estudio del crecimiento de grupos, etc.
A veces también llamamos función exponencial a cualquier función cuya expresión sea de la forma f ( x ) = A e λ x .
Hay varios puntos de entrada posibles para la definición de la función exponencial: por la propiedad de su derivada (la derivada es igual a la función), por sus propiedades algebraicas (transforma una suma en un producto), o por su expansión en serie. .
Por una ecuación diferencialDefinición : llamamos a una función exponencial la solución de función derivable única del siguiente problema de Cauchy :
.Esta propiedad de ser su propia derivada da como resultado una propiedad en la sub-tangente a la curva representativa de exp . La sub-tangente, es decir la distancia que separa la x real de la abscisa del punto de intersección de la tangente a la curva en el punto de la abscisa x con el eje x , es constante y es igual a 1. Nosotros demuestre además que f nunca desaparece.
DemostraciónDefinición : la función exp , de ℝ a ℝ*
+, es la biyección recíproca de la función logaritmo natural .
De hecho, siendo la función logaritmo natural continua estrictamente creciente en su conjunto de definición, y de límites infinitos en los límites, define una biyección de ℝ*
+en ℝ. Su recíproca es una función f definida en ℝ que satisface f (0) = 1 porque ln (1) = 0 . La función ln siendo diferenciable y de la no-cero derivado, su recíproco es una función diferenciable y, para cualquier real de x ,
La propiedad algebraica de la función exponencial (función continua distinta de cero que transforma una suma en un producto) es compartida por un conjunto de funciones que también llevan el nombre de funciones exponenciales. Se determinan por completo en cuanto se especifica su valor en 1, que debe ser un real estrictamente positivo. La función que toma el valor a en 1 se llama función exponencial base a . Por tanto, podemos considerar que la función exponencial es la función exponencial de base e .
Definición : la función exp es la función continua única de ℝ en ℝ * que transforma una suma en un producto, es decir, verifica la ecuación funcional
y tomando el valor e en 1.
Determinamos exp ( x ) sobre los enteros, luego sobre los racionales y luego sobre los irracionales por continuidad. Demostramos de esta definición (ver el artículo detallado) que la función exp no solo es continua sino diferenciable e igual a su propia derivada. Por tanto, encontramos la definición anterior de exponencial mediante una ecuación diferencial .
Es posible superar la necesidad de conocer e de antemano mediante la siguiente caracterización:
Caracterización : la función exp es la función única derivable de ℝ en ℝ * transformando una suma en un producto, es decir, verificando la ecuación funcional
y cuya derivada toma el valor 1 en 0.
Nos inspira la igualdad para todos los enteros q > 0 y p para introducir una nueva notación para la función exp : para todo x real .
Todas las funciones exponenciales básicas a se expresan usando la función exp y la función logaritmo natural :
Por una seriePor último, mediante la aplicación del método de búsqueda de soluciones analíticas ecuaciones diferenciales lineales, se puede definir la exponencial exp o x ↦ e x como la suma de una serie entera de radio de convergencia infinito:
,donde n ! es el factorial de n .
DemostraciónCualquier serie formal comprobado La solución formal de es, por lo tanto es decir La prueba de relación muestra que la serie de potencia asociada tiene un radio de convergencia infinito. La función completa así definida proporciona, por restricción , una solución de función real al problema de Cauchy. Por tanto, la única solución de este problema es la analítica real, y los coeficientes de su serie de Taylor en 0 son 1 / n !.
También es esta serie la que obtenemos aplicando la demostración del teorema de Cauchy-Lipschitz , es decir, construyendo la solución exp de la ecuación diferencial como el límite de la secuencia de funciones ( u n ) definida por u 0 = 1 y
Deducimos de toda esta serie una de las muchas expansiones de fracciones continuas generalizadas de la función exponencial:
Un análisis detallado de expresiones de esta naturaleza se da en el artículo “ Padé aproximante de la función exponencial ”.
La función exp toma en 1 un valor anotado e , que es igual a aproximadamente 2.718 y es un número trascendente .
La primera de las cuatro definiciones equivalentes anteriores muestra que la función exp es de clase C ∞ . El último muestra que es incluso analítico.
Cada uno de los tres primeros muestra que la función exp aumenta estrictamente de ℝ a ℝ * + y que
Más precisamente - ver el artículo " Indeterminación de la forma ∞ / ∞ " - la función exp tiende a + ∞ más rápido que cualquier función polinomial cuando su variable tiende a + ∞ , es decir que
cualquiera que sea el número natural n . Por cambio de variable, deducimos
El crecimiento de exp se puede deducir de la positividad de su derivada exp . Asimismo, dado que su segunda derivada exp es estrictamente positiva, la función exp es estrictamente convexa .
La función exponencial, de ℝ en ℝ * + , es la biyección recíproca de la función logaritmo natural : para todos los reales y > 0 y x ,
ln (e x ) = x , e ln ( y ) = y y e x = y ⇔ x = ln ( y ) .La función exponencial transforma las sumas en productos , es decir, para todos reales x y y , e x + y = e x e y .
Deducimos que para todo x real y todo b racional , (e x ) b = e bx .
Para b irracional, esta ecuación puede tomar el lugar de la definición, es decir, una de las formas de definir la base exponencial a es establecer, para todos los reales a > 0 y b : a b = e b ln ( a ) .
Podemos definir la función compleja exp de dos formas:
La función exponencial entonces satisface las siguientes propiedades importantes:
Estas fórmulas se muestran usando fórmulas de trigonometría o usando la noción de producto de Cauchy de dos series, dependiendo de la definición de la exponencial.
Es una función periódica , de período el número imaginario puro 2iπ . Esta periodicidad que da como resultado la no inyectividad , extendiendo el logaritmo natural al conjunto de números complejos, da naturalmente una función multiforme z ↦ ln ( z ) , llamada logaritmo complejo .
El exponencial más general: para todos los números complejos z y w , es entonces también una función multifacética. Las propiedades anteriores de los exponenciales siguen siendo verdaderas a condición de que se interpreten correctamente como relaciones entre funciones multiformes.
La función exponencial compleja transforma el eje imaginario puro en el círculo unitario . Esta es la función que usamos para mostrar que la línea real es una cubierta del círculo unitario.
RepresentacionesSi podemos representar gráficamente, en el espacio, funciones , , y
La definición de la exponencial como una serie entera permite definir la exponencial de una matriz cuadrada M como
.Las matrices exponenciales son útiles para resolver ecuaciones diferenciales lineales .
Exponencial de un operador diferencialTambién podemos definir el exponencial de un operador diferencial D por:
.Por ejemplo, cuando donde a es una constante:
,de modo que para cualquier función analítica f ( x ) , tenemos
,un avatar de la fórmula de Taylor .
Exponencial en un grupo aditivoLa definición de exponencial como un morfismo continuo de un grupo aditivo a un grupo multiplicativo permite definir una función exponencial de ℝ a cualquier grupo topológico . Más en general, para un grupo topológico G se denomina una configuración de cualquier continua ℝ morfismo → subgrupo G . Algunos trabajos pueden reemplazar el supuesto de continuidad con mensurabilidad.
Exponencial en un colector diferencialLa definición de la función exponencial como solución de una ecuación diferencial se generaliza para grupos de Lie y geodésicas en variedades de Riemann.
Exponencial en un álgebra de BanachLa definición de la exponencial como una serie entera permite definirla en álgebras de Banach (ver el artículo Cálculo funcional ).
La mayor importancia de las funciones exponenciales en la ciencia proviene del hecho de que son proporcionales a su propia derivada. al ser un número real o complejo, tenemos:
o más exactamente, la función es la única solución de la ecuación funcional
Si una cantidad aumenta o disminuye, en función del tiempo y la velocidad de "su curso" es proporcional a "su tamaño", como en el caso del crecimiento de la población, el interés compuesto continuo o la desintegración radiactiva, entonces esta magnitud se puede expresar como una constante multiplicada por una función exponencial del tiempo.
La función exponencial básica e es la solución de la ecuación diferencial elemental:
y se encuentra con frecuencia en las soluciones de ecuaciones diferenciales. En particular, las soluciones de una ecuación diferencial lineal se pueden escribir usando funciones exponenciales. También se encuentran en las soluciones de las ecuaciones diferenciales de Schrödinger, de Laplace o en la ecuación diferencial de movimiento armónico simple .
La función exponencial es de uso capital en trigonometría. Las fórmulas de Euler (que se muestran a partir de la definición exp (i z ) = cos z + i sen z ) nos dan un vínculo directo entre las funciones coseno y seno, reales o no, y la función exponencial compleja.
Estas fórmulas permiten encontrar la mayoría de las identidades trigonométricas , en particular
de los cuales podemos encontrar casi todos los demás.
La función exponencial también es una manera fácil de linealizar expresiones de la forma cos p x sen q x : ver el § “Linealización” del artículo sobre identidades trigonométricas .
La función exponencial también encuentra su uso cuando queremos probar la fórmula de Moivre .
A partir de la función exponencial, podemos definir las funciones de trigonometría hiperbólica, definiendo las funciones hiperbólicas coseno hiperbólico , cosh y seno hiperbólico , sinh , utilizadas en parte en las resoluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Las funciones exponenciales donde t es un número real yk un entero relativo se utilizan en la teoría de Fourier. Permiten expresar cualquier función periódica como suma de funciones trigonométricas, son la serie de Fourier . También permiten definir la transformada de Fourier de una función cuadrada sumable.
La función sigmoidea para cualquier real es particularmente útil en redes neuronales para calcular el gradiente del error.