En teoría de probabilidad y estadística , la asimetría ( asimetría en inglés) es una medida de la asimetría de la distribución de una variable aleatoria real .
Este es el primero de los parámetros de forma , junto con la curtosis (los parámetros basados en momentos de orden 5 y superiores no tienen un nombre asignado).
En términos generales, la asimetría de una distribución es positiva si la cola derecha (en valores altos) es más larga o gruesa, y negativa si la cola izquierda (en valores bajos) es más larga o gruesa.
Dada una variable aleatoria real X con media μ y desviación estándar σ , definimos su coeficiente de asimetría como el momento de orden tres de la variable centrada reducida :
cuando esta esperanza existe. Entonces tenemos :
con los momentos centrados de orden i y κ i los acumulados de orden i .
Los momentos centrados μ i y los momentos acumulados κ i que tienen por dimensión la de la variable X elevada a la potencia i , el coeficiente de asimetría γ 1 es una cantidad adimensional .
Deje que X sea una variable aleatoria real y la suma de n realizaciones independientes de X (ejemplo: la ley binomial de parámetros n y p , suma de n realizaciones independientes de la ley de Bernoulli de parámetro p ). Gracias a la propiedad de aditividad de los acumulados , sabemos que κ i ( Y ) = n κ i ( X ) , por tanto:
Una aplicación ingenua de la definición teórica γ 1 del coeficiente de asimetría produce una medida sesgada. Un estimador insesgado para la distribución normal de asimetría es:
donde y son estimadores insesgados de expectativa y varianza, respectivamente.
Karl Pearson propuso otras estimaciones de asimetría mediante cálculos más simples, sin usar momentos sino otros parámetros estadísticos:
Primer coeficiente de asimetría de Pearson (asimetría de modos)El coeficiente de asimetría de modo de Pearson viene dado por:
medio - modaDesviación Estándar.Segundo coeficiente de asimetría de Pearson (asimetría mediana)El coeficiente de asimetría de la mediana de Pearson viene dado por:
3 ( media - mediana )Desviación Estándar.La medida de asimetría propuesta por Bowley (en 1901), o coeficiente de Yule (de 1912), medida de asimetría de Galton o índice de Yule-Kendall se define por:
.Por la segunda forma, vemos que el numerador es la diferencia entre el promedio del primer y tercer cuartiles (medida de ubicación) y la mediana, mientras que el denominador representa la desviación media absoluta de la dispersión (en casos simétricos).
Groeneveld y Meeden han descrito una formulación más general de una función de asimetría:
donde F es la función de distribución . Obtenemos así una medida general de la asimetría definida por el supremo de esta función para 1/2 ≤ u <1 . Otra medida se puede obtener con las integrales de los numeradores y denominadores de esta expresión. La función γ ( u ) satisface −1 ≤ γ ( u ) ≤ 1 y está bien definida sin requerir la existencia de todos los momentos de la distribución considerada. Si bien las mediciones de asimetría por cuantiles son fáciles de interpretar, tienden a variar más que los cálculos por momentos. Por ejemplo, la distribución uniforme tiene una mayor asimetría de cuantiles.
El coeficiente de Yule corresponde a γ (3/4) y la medida de Kelley es γ (0,1) .
Medir la asimetría de la distribución de una variable aleatoria real equivale a evaluar cuantitativamente la diferencia entre esta distribución y su imagen especular: hay reflexión con respecto al punto medio, de ahí un vínculo formal con las medidas de quiralidad. Esta medida de asimetría se puede realizar con el índice quiral. En el caso de una distribución de varianza finita y distinta de cero, está dada por:
donde es el límite superior del coeficiente de correlación entre la distribución y su imagen especular. El índice quiral toma valores en el intervalo [0; 1/2]. En el caso de n observaciones, es el coeficiente de correlación entre las observaciones ordenadas por valores crecientes y las observaciones ordenadas por valores decrecientes. A diferencia de otras medidas de asimetría, el índice quiral desaparece si y solo si la distribución es simétrica, en el sentido de simetría indirecta.