Ideal

En matemáticas , y más particularmente en álgebra , un ideal es un subconjunto notable de un anillo : es un subgrupo del grupo aditivo del anillo y que además es estable por multiplicación por los elementos del anillo. En algunos aspectos, por lo tanto, los ideales son similares a los subespacios vectoriales , que son subgrupos aditivos estables por multiplicación externa ; en otros aspectos, se comportan como subgrupos distinguidos : son subgrupos aditivos a partir de los cuales se puede construir una estructura de anillo cociente .

Aparecido al final de la XIX ª siglo en la teoría algebraica de números de generalizar los enteros algebraicos los factores principales en la descomposición del todo , los ideales se jugaron rápidamente un papel fundamental en el álgebra y la geometría algebraica , en particular como resultado de las obras ' Emmy Noether aislar la importancia de las condiciones de las cuerdas . Más allá de álgebra que están involucrados en el centro de los desarrollos de la XX XX siglo algunos capítulos de análisis funcional , incluyendo el estudio de las álgebras de Banach y conmutativa análisis armónico .

En álgebra conmutativa , dos tipos de ideales son omnipresentes: los ideales máximos y, sin duda, aún más, los ideales primarios . En el anillo de los enteros relativos, tanto los ideales máximos como los ideales primos (distintos de cero) son p Z , donde p es un número primo ; en los anillos conmutativos más abstractos, estas familias de ideales generalizan la noción de número primo.

En la teoría de los anillos no conmutativos, debemos tener cuidado con la existencia yuxtapuesta de dos conceptos distintos de ideal: ideales de izquierda (o derecha ), que son submódulos , e ideales bilaterales , aquellos por los que podemos cocientes. Si bien la estructura de los anillos no conmutativos más generales puede ser extremadamente compleja, tenemos más control sobre aquellos que verifican las condiciones de finitud descubiertas por Emmy Noether y Emil Artin , es decir , las condiciones de la cadena en sus ideales izquierdo o derecho.

Definiciones

Coexisten dos nociones de ideal, que coinciden en el caso de un anillo conmutativo pero juegan papeles muy diferentes sin un supuesto de conmutatividad de la multiplicación.

Los ideales como submódulos: ideales de izquierda y derecha

Una parte I de un anillo A se llama ideal a la izquierda (respectivamente a la derecha ) de A cuando:

I es un subgrupo aditivo A .
Para todo a de A y todo x de I , ax ∈ I (resp. Xa ∈ I ). En otras palabras, usted pide que sea estable bajo la multiplicación izquierda (resp. Derecha) por cualquier elemento de A , incluso aquellos que no están en I .

Usando el lenguaje de los módulos se puede definir brevemente como un ideal a izquierda (resp. Derecha) como un sub-módulo de la estructura de A izquierda-módulo (resp. Derecha) en A .

Entonces llamamos ideal bilateral de A (o simplemente ideal cuando no hay riesgo de confusión) cualquier parte de A que sea simultáneamente un ideal a la izquierda y un ideal a la derecha. Cuando el anillo es conmutativo, todas estas nociones se fusionan, pero juegan papeles muy diferentes en el álgebra no conmutativa. De hecho, aunque ocasionalmente intervienen en la teoría no conmutativa (por lo tanto, en la definición de anillos simples ), los ideales bilaterales son en este contexto difíciles de manipular y, por lo tanto, menos omnipresentes que los ideales de izquierda o derecha. Puede observarse que los ideales de dos caras son las subestructuras para la estructura A - A - bimodule en A .

Los ideales como núcleos: ideales bilaterales y cocientes de anillo

Al repetir lo que se acaba de decir que se centra solo en los ideales bilaterales, podemos reescribir explícitamente su definición:

Una parte I de un anillo A se denomina ideal bilateral de A (o ideal cuando no hay miedo a la confusión, especialmente en álgebra conmutativa) cuando:

I es un subgrupo aditivo de A ;
Para una de A y cada x de I , ax ∈ I y x ∈ I . En otras palabras, la aplicación a I que es estable bajo la multiplicación por cualquier elemento de A (ya sea izquierdo o derecho), incluso aquellos que no están en I .

Un interés específico por los ideales bilaterales surge del hecho de que es posible dar otra descripción de ellos, que los vincula con el concepto de anillo cociente . Dado un ideales de dos caras I de anillo A , el grupo cociente A / I puede estar provisto de una estructura de anillo, para lo cual la proyección canónica es un homomorfismo de anillos , de núcleo I . Por el contrario, cualquier núcleo es un ideal de dos caras. Podemos resumir esta información con la siguiente declaración:

Un conjunto en I de un anillo A es un ideal (dos caras) si y sólo si existe un morfismo de anillos que A es el anillo de partida y cuyo núcleo es I .

Algunas propiedades de los ideales de dos colas pueden leerse a través de la estructura del anillo del cociente: así, en un anillo conmutativo , un ideal de dos colas es máximo si y sólo si el anillo del cociente es un campo .

Ejemplos de ideales

Si A es un anillo, {0} y A son ideales de A , llamados ideales triviales . Llamado ideales propios ideales diferente de A .

Ejemplos en álgebra conmutativa

Los únicos ideales en un campo conmutativo K son los ideales triviales. Esta propiedad caracteriza a los cuerpos entre los anillos conmutativos.
Los ideales del anillo Z de enteros relativos son las partes de la forma k Z , para cualquier entero k . El cociente Z / k Z es el anillo de números enteros módulo k .
En el anillo K [ X ] de polinomios con coeficientes en un campo conmutativo K , los ideales son las partes de la forma P ( X ) K [ X ], para cualquier polinomio P ( X ). Si este polinomio es irreducible , el anillo del cociente es un campo, llamado cuerpo de ruptura de P ( X ).

Ejemplos en álgebra no conmutativa

Los únicos ideales que quedan en un cuerpo de izquierda son ideales triviales. Esta propiedad caracteriza a los cuerpos izquierdos entre anillos no conmutativos. Por otro lado, un anillo no conmutativo que no tenga un ideal bilateral no trivial no es necesariamente un campo, decimos que es un anillo simple .
Sea E un espacio vectorial de dimensión finita (mayor o igual a 2) sobre un campo (conmutativo o no). El anillo de endomorfismos de E no tiene otro ideal bilateral que los dos ideales triviales. Por otro lado, posee ideales no triviales de izquierda y derecha; para cualquier subespacio F de E , el conjunto de endomorfismos del núcleo que contiene F es un ideal de la izquierda, mientras que el conjunto de endomorfismos de imagen contenidos en F es un ideal de la derecha.

Propiedades elementales

Reversible e ideal

Un ideal (izquierdo, derecho o bilateral) contiene al menos un elemento invertible si y solo si es igual a todo el anillo.

Morfismos e ideales

Cualquiera de A y B dos anillos y phi un morfismo de anillos de A en B . Entonces :

La imagen inversa de un ideal a izquierda (resp. Derecho resp. A doble cara) de B bajo φ es un ideal a izquierda (resp. Resp derecho. Dos caras) de A . Así podemos explicar por qué un núcleo es un ideal bilateral: es porque es la imagen recíproca del ideal bilateral nulo.

En cuanto a la imagen directa de un ideal de A , solo podemos concluir que se trata de un ideal (de la misma naturaleza) del subanillo φ (A) . Si φ no es sobreyectiva, nada lo obliga a ser un ideal de B : considere son la inclusión canónica de A = ℤ en B = ℚ. Entonces φ ( I ) es solo un ideal de ℚ si I es el ideal cero.

Cuando φ es sobreyectiva, la situación es, sin embargo, particularmente simple:

Deje phi morfismos anillos de suprayectivos A a B . El mapa es una biyección entre el conjunto de ideales de la izquierda (resp. A la derecha, resp. Bilateral) de A que contiene Ker ( φ ) y el conjunto de ideales a la izquierda (resp. A la derecha, resp. Bilateral) de B . Su biyección recíproca es . $I \ mapsto \ varphi (I)$ $J \ mapsto \ varphi ^ {{- 1}} (J)$

Intersección de ideales

La intersección de dos ideales a la izquierda (respectivamente a la derecha, respectivamente Bilateral), o más generalmente de una familia de ideales, es un ideal del mismo tipo.

Ideal generado por un conjunto

Si P es una parte de un anillo A , que llamamos ideal a izquierda (resp. Derecha, resp. Bilateral) generada por P la intersección de todos los ideales de la izquierda (resp. Derecha, resp. Bilateral) de A que contiene P . Este es el ideal más pequeño que contiene P .

Se puede describir de la siguiente manera, entendiendo las sumas indexadas por un conjunto finito:

para el ideal izquierdo generado anotado aquí ( P ) g :

(P) _ {g} {\ stackrel {{\ text {def}}} {=}} \ left \ {\ left. \ Sum _ {{\ lambda}} a _ {\ lambda} x _ {\ lambda } \, \ right | \, a _ {\ lambda} \ in A, \, x _ {\ lambda} \ in P \ right \}

;

para el ideal derecho generado anotado aquí ( P ) d :

(P) _ {d} {\ stackrel {{\ text {def}}} {=}} \ left \ {\ left. \ Sum _ {{\ lambda}} x _ {\ lambda} b _ {\ lambda } \, \ right | \, x _ {\ lambda} \ in P, \, b _ {\ lambda} \ in A \ right \}

;

para el ideal bilateral generado anotado aquí ( P ):

(P) {\ stackrel {{\ text {def}}} {=}} \ left \ {\ left. \ Sum _ {{\ lambda}} a _ {\ lambda} x _ {\ lambda} b _ { \ lambda} \, \ right | \, a _ {\ lambda} \ in A, \, x _ {\ lambda} \ in P, \, b _ {\ lambda} \ in A \ right \}

Un caso importante es cuando P tiene solo un elemento x . Hablamos entonces del ideal principal (izquierdo, derecho o bilateral) generado por x .

Suma de ideales

Si yo y J son dos ideales de izquierda (resp. Resp derecho. Dos caras) de un anillo A se llama suma de I y J toda x + y , donde x se ejecuta I y no viaja J .

Este, a su vez, es un ideal del mismo tipo. Al interpretar los ideales como submódulos, su suma como ideales es el mismo ideal que su suma como submódulos . La cantidad también puede ser definido como el ideal del mismo tipo generado por la unión I ∪ J .

Para la intersección y la suma, el conjunto de ideales a la izquierda (resp. Derecha, resp. Bilateral) de un anillo A es una celosía .

De manera más general, para cualquier familia de ideales de la izquierda (resp. A la derecha, resp. Bilateral) , la suma de la familia, anotada es el conjunto de sumas que contiene solo un número finito de términos y donde varía en . Este conjunto es también un ideal del mismo tipo, y también es el ideal de este tipo generado por la unión de . $(I _ {\ lambda}) _ {{\ lambda \ in \ Lambda}}$ $\ sum _ {{\ lambda \ in \ Lambda}} I _ {\ lambda}$ $\ sum _ {{\ lambda \ in \ Lambda}} x _ {\ lambda}$ $x _ {\ lambda}$ $Yo _ {\ lambda}$ $(Yo _ {\ lambda})$

Ideales de tipo finito, condiciones de cuerdas

Ideales de tipo finito

Ya hemos mencionado anteriormente el nombre de ideal principal por ideal (izquierda, derecha o bilateral) que puede ser generado por un solo elemento.

Definimos de manera más general un ideal de tipo finito como un ideal (izquierdo, derecho o bilateral) que puede ser generado por una parte finita.

Condiciones de la cadena sobre ideales: anillos noetherianos y artinianos

En este apartado entendemos por “secuencia estacionaria” de ideales una secuencia constante de ideales que parten de un cierto rango (es decir para el que existe un n tal que ). $(En})$ $I_ {n} = I _ {{n + 1}} = I _ {{n + 2}} = \ cdots$

Llamamos anillo noetheriano a la izquierda (resp. A la derecha) un anillo en el que cualquier secuencia de ideales a la izquierda (resp. A la derecha) que aumentan para su inclusión es estacionaria. También se dice que satisface la " condición de cadena ascendente" sobre los ideales del tipo considerado. Esta propiedad está relacionada con la noción de un ideal de tipo finito mediante el siguiente enunciado, a la prueba bastante simple:

Un anillo es noetheriano a la izquierda (resp. A la derecha) si y sólo si todos sus ideales a la izquierda (resp. A la derecha) son de tipo finito.

Llamamos anillo artiniano a la izquierda (resp. A la derecha) un anillo en el que cualquier secuencia de ideales a la izquierda (resp. A la derecha) que disminuyen para su inclusión es estacionaria. También se dice que satisface la "condición de cadena descendente" sobre los ideales del tipo considerado.

Un teorema de Hopkins y Levitzki (en) , hasta la prueba sustancial, tiene el siguiente corolario:

Cualquier anillo de Artinian a la izquierda es Noetherian a la izquierda.

Ideales en álgebra conmutativa

Las nociones detalladas en esta sección admiten generalizaciones en álgebra no conmutativa. En este artículo introductorio se presentan en el único contexto de un anillo conmutativo , un contexto en el que son particularmente relevantes.

Producto de ideales

Si I y J son dos ideales de un anillo conmutativo, llamados producto ideal de I y J el ideal observó IJ generada por todos los productos xy , donde x se ejecuta I y allí viaja J . Por tanto, es igual al conjunto de sumas finitas donde E es un conjunto finito y . $\ sum _ {{k \ en E}} x_ {k} y_ {k}$ $x_ {k} \ en I$ $y_ {k} \ en J$

Ejemplo: en el anillo Z , el producto de los ideales 2 Z y 3 Z es el ideal 6 Z - por lo tanto igual a su intersección; Por otra parte, el producto de la 2 Z ideales por sí mismo es el 4 Z ideales .

Siempre lo hemos hecho, pero la inclusión puede ser estricta como se muestra en el ejemplo anterior. $IJ \ subconjunto I \ cap J$

Cociente de ideales

Si I y J son dos ideales de un anillo conmutativo A , llamamos al cociente ideal de I por J al conjunto denotado definido por: $Yo \ colon J$

I \ colon J = \ {x \ in A \, \ mid \, xJ \ subconjunto I \}.

Es un ideal de A .

Radical de un ideal

Si es un ideal de un anillo conmutativo , que llamamos un radical de la serie observado formado por los elementos de para la que existe un número natural tal que . Es un ideal de . $I$ $A$ $I$ ${\ sqrt {I}}$ $X$ $A$ $no$ $x ^ {n} \ en I$ $A$

Ideales primarios e ideales máximos

Las nociones de ideal primo e ideal máximo, particularmente el primero, juegan en la teoría general de anillos un papel similar al de los números primos en aritmética de números enteros. En el anillo Z de enteros relativos , los ideales máximos son exactamente p Z donde p es un número primo; Se le agrega un solo ideal primo no máximo, el ideal {0}.

Un ideal P de un anillo conmutativo A se llama un ideal primo cuando P es una parte estricta de A y, para todos los x , y de A , cuando el producto xy está en P , entonces x pertenece a P o y pertenece a P . Esta condición equivale a pedir que el anillo del cociente A / P sea integral.

Un ideal M de un anillo conmutativo A se llama ideal máximo cuando hay exactamente dos ideales que contienen M , a saber, A y M en sí. Esta condición equivale a pedir que el cociente de anillo A / M sea un campo conmutativo .

Descomposiciones de un ideal

La teoría de la factorización prima de números enteros se reproduce en una gran clase de anillos conmutativos, los anillos factoriales . Sin importar cuán grande sea esta clase, los anillos no factoriales son comunes, y se ha encontrado que las generalizaciones más técnicas de la factorización prima son muy útiles. Incluso en un marco factorial, además, la descomposición de los ideales primos no principales también concierne a los ideales no principales sobre los cuales la factorización de los elementos no tiene cabida y, por lo tanto, arroja luz adicional.

Descomposición de un ideal en ideales primarios, ideales irreductibles

En la "teoría aditiva" de los ideales, la operación preponderante es la intersección: una descomposición de un ideal será una escritura de él como una intersección de ideales de tipo fundamental. No es ajeno a la descomposición de un número entero en factores enteros primarios .

Un primer paso en esta dirección se puede descomponer en la intersección perfecta de ideales irreducibles, que definimos un ideales irreducible como un ideal adecuado I que no puede descomponer como la intersección de dos ideales diferentes I . Todo ideal primo es irreductible y, en un anillo noetheriano, todo ideal es una intersección finita de ideales irreductibles.

A continuación, definir un ideales primaria I como un ideal adecuado de un anillo conmutativo A que satisface la siguiente propiedad: para todos una y b de A tales que ab ∈ I , si un ∉ I entonces existe un número entero natural de n de tal manera que b n ∈ Yo . En términos de anillos de cociente, I es así primario si y solo si cualquier divisor de cero en el anillo A / I es nilpotente.

En un anillo noetheriano, todo ideal irreductible es primario.

Deducimos de lo que precede al teorema de Lasker-Noether :

En un anillo noetheriano, cualquier ideal puede representarse como una intersección finita de ideales primarios.

No hay unicidad de la representación, incluso si requerimos que sea mínima, pero tenemos declaraciones que aseguran que dos representaciones distintas no estén demasiado lejos una de la otra.

Teoría multiplicativa de ideales, anillos de Dedekind

Al exigir más del anillo, podemos ir más allá y descomponer un ideal escribiendo más cerca de la factorización de números enteros en factores primos; entonces tendremos que buscar una escritura como producto de ideales y ya no como una intersección: en Z el ideal p 2 Z puede escribirse como un producto de p Z por sí mismo, pero no podría representarse como una intersección de ideales todo diferente a él mismo.

Primero, limitar la dimensión del anillo que estamos estudiando garantiza que la representación en intersección de los ideales primarios sea también una representación como producto:

Sea A un anillo integral noetheriano de dimensión 1 (es decir, donde cualquier ideal primo distinto de cero es máximo). Cualquier ideal de A puede representarse como un producto de ideales primarios.

En segundo lugar, si el anillo también está completamente cerrado , sus ideales primarios son exactamente los poderes de los ideales primarios. Esto conduce a la introducción de los anillos de Dedekind , que son los anillos noetherianos integrales de dimensión 1 completamente cerrados, y conduce al siguiente resultado, donde también tenemos la unicidad de la descomposición:

Sea A un anillo de Dedekind. Cualquier ideal de A puede representarse de manera única (hasta el orden de los factores) como producto de ideales primarios.

Ejemplos de

En estos ejemplos denotamos ( un ) el ideal principal generado por una , y ( un , b ) el ideal generado por una y b .

En Z , las descomposiciones de ideales reproducen las descomposiciones de números enteros en factores primos o primarios. Por ejemplo :(180) = (4) ∩ (9) ∩ (5) = (2) 2 (3) 2 (5).
En un anillo de Dedekind no factorial, como Z [ $i$ √ 5 ], donde el elemento 6 admite dos descomposiciones distintas en irreducibles, es decir 6 = 2. 3 = (1 + $i$ √ 5 ). (1 - $i$ √ 5 ), las descomposiciones del ideal principal (6) involucran ideales no principales:(6) = (2) ∩ (3, 2 + $yo$ √ 5 ) ∩ (3, 2 - $yo$ √ 5 ) = (2, 1 + $yo$ √ 5 ) 2 (3, 2 + $yo$ √ 5 ) (3, 2 - $yo$ √ 5 ).
En el anillo k [ X , Y ] (de Krull dimensión 2), el ideal no primario ( X 2 , XY ) = ( X ) ∩ ( X 2 , Y ) = ( X ) ∩ ( X , Y ) 2 admite dos descomposiciones mínimas distintas como la intersección de ideales primarios. El ideal primario ( X 2 , Y ) no puede representarse como un producto de ideales primarios.
En el anillo no completamente cerrado k [ T 2 , T 3 ], el ideal primario ( T 3 ) no puede describirse como un producto de ideales primarios.

El conjunto de ideales primarios

Efectos del cociente y la ubicación

Se ha informado al comienzo de la sección de paso que el cociente de un anillo A por un ideales de dos caras I induce una biyección entre los ideales de A que contienen I y los ideales de A / I . Esta biyección respeta el carácter primario de los ideales.

Ya sea que ideal de un anillo conmutativo A . Los conjuntos de proyección canónicas biyección todos los ideales primos de A que contiene I y el conjunto de ideales primos de A / I .

Los ideales contenidos en el yo pueden, por su parte, aislarse de los demás mediante el proceso de localización . Entonces tenemos la siguiente declaración:

Let Me ideal primo de un anillo conmutativo A . Los conjuntos ubicación biyección todos los ideales primos de A contenidas en I y el conjunto de ideales primos del anillo situado Un yo .

Dimensión Krull

La estructura ordenada por la inclusión del conjunto de ideales primos está en la fuente de una de las posibles definiciones de la dimensión de un anillo, consistente con la intuición geométrica de los anillos que ocurre en la geometría algebraica . La dimensión de Krull de un anillo conmutativo A se define como el n más grande para el que existe una cadena estrictamente creciente de ideales primos de A de la forma:

I_ {0} \ subsetneq I_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq I_ {n}

Topología sobre espectro y espectro máximo

El conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo A se llama el primer espectro de A . Es posible equiparlo con una topología , llamada Zariski, que generaliza la topología Zariski de un conjunto algebraico . Una vez que esta topología definida, el espacio topológico Spec ( A ) puede estar equipado con un haz de anillos, localizada A . El objeto está entonces en la base de la definición de los diagramas , que generalizan las variedades algebraicas .

Si el espectro de primera, porque su construcción es funtorial , es particularmente adecuado para la geometría algebraica, el espectro máximo , el conjunto de ideales maximales, a menudo se solicita en el análisis funcional , en particular en la teoría de la conmutativos unitarios álgebra de Banach . Se puede proporcionar con una topología separada . La transformación de Gelfand (en) permite entonces, cuando es inyectiva, interpretar los elementos del álgebra de Banach como funciones en el espectro del álgebra.

Aspecto histórico

La teoría de los ideales es relativamente reciente, ya que fue creado por Richard Dedekind a finales del XIX ° siglo. En ese momento, parte de la comunidad matemática estaba interesada en los números algebraicos y más particularmente en los enteros algebraicos .

La pregunta era si los enteros algebraicos se comportan como enteros relativos , en particular la descomposición "única" en factores indecomponibles. Parecía desde el comienzo del XIX ° siglo, no fue siempre el caso : 6 por ejemplo que se puede descomponer en el anillo Z [ $i$ √ 5 ] en la forma 2 × 3 o en la forma (1 + $i$ √ 5 ) (1 - $i$ √ 5 ).

Ernst Kummer , advertido contra una generalización apresurada de Lejeune Dirichlet , se dio cuenta de un hecho que consideraba extremadamente deplorable ( maxim dolendum ): a diferencia de los enteros relativos, las combinaciones lineales con coeficientes relativos enteros de las potencias de d 'una raíz de unidad dada (en una versión posterior terminología: los números enteros de un cuerpo ciclotómico ) no necesariamente se descomponen de una manera única (a excepción de los factores "unitarios") en productos de elementos indecomponibles. Para salvar la singularidad de la descomposición, Kummer introdujo, en un artículo de 1847, la noción de números complejos ideales.

La idea es hacer que la factorización prima sea única agregando artificialmente otros números (de la misma manera que agregamos i a los números reales, por ejemplo , para tener números con cuadrados negativos). En el ejemplo anterior, vamos a “inventar” cuatro números “ideales” un , b , c y d , tales como: $i ^ {2} = - 1$

2 = a \ cdot b

3 = c \ cdot d

1 + {\ mathrm i} {\ sqrt 5} = a \ cdot c

1 - {\ mathrm i} {\ sqrt 5} = b \ cdot d

Por lo tanto, 6 se descompondrá de una manera única en:

6 = a \ cdot b \ cdot c \ cdot d

En 1871, Dedekind creó la noción, definida en este artículo, del ideal de un anillo. Los ideales Dedekind son una nueva formalización y una generalización de los ideales de números complejos (en) Kummer. A Dedekind le interesan principalmente los anillos de números enteros algebraicos, que son integrales. Es en esta área donde se encuentran los resultados más interesantes sobre los ideales. Crea sobre el conjunto de ideales de un anillo integra operaciones similares a la suma y la multiplicación en números enteros relativos.

La teoría de los ideales permitió un avance significativo en el álgebra general , pero también en el estudio de las curvas algebraicas (geometría algebraica).

Algunas nociones homónimas

En otros contextos matemáticos, varios objetos también se denominan ideales, cada uno relacionado o análogo en algún sentido a los ideales del anillo discutidos en este artículo:

En álgebra conmutativa, los ideales fraccionarios son parientes cercanos de los ideales e intervienen en particular en el estudio de los anillos de Dedekind ;
Podemos definir de manera muy similar un ideal en un álgebra , incluso no asociativo. Hablamos en particular del ideal de un álgebra de Lie .
En una celosía , hay un concepto del ideal de celosía , cuya definición presenta una gran analogía formal con la de un ideal de un anillo.

Fuentes

N. Bourbaki , Algebra: Capítulos 1 a 3 , Hermann ,1970, p. 98-99.
Esta es, por ejemplo, la elección realizada en (en) Carl Faith, Algebra , vol. I: Anillos, módulos y categorías , Berlín, Springer-Verlag ,1973, 565 p. ( ISBN 978-0-387-05551-0 ) , pág. 123.
(en) Louis Rowen, Ring Theory , vol. 1, Boston, Academic Press ,1988, 1 st ed. ( ISBN 978-0-12-599841-3 ) , pág. 21. Si los ideales bilaterales están relativamente poco presentes en el arsenal teórico del álgebra no conmutativa, no obstante siguen siendo esenciales como modo de construcción de ejemplos por paso al cociente; véanse en este sentido varios de los ejemplos del capítulo I de (en) TY Lam , A First Course in Noncommutative Rings , Nueva York, Springer-Verlag, coll. " GTM " ( n o 131)1991, 1 st ed. ( ISBN 978-0-387-97523-8 , leer en línea ).
Rowen , 1988 , p. dieciséis.
Roger Godement , Cours d'Algebre , Hermann ,1966, 2 nd ed., pag. 148 para un ejemplo de una obra que define ideales bilaterales sin referencia previa a los ideales de izquierda y derecha.
Esta declaración se usa como una definición de un ideal bilateral por Faith 1973 , p. 113.
Annette Paugam, Agregación de matemáticas. Preguntas delicadas en álgebra y geometría , París, Dunod , 271 p. ( ISBN 978-2-10-051378-9 ) , pág. 92 y 156-158 (incluyendo por ejemplo los ideales máximos).
Rowen 1988 , p. 7-8.
(en) David Dummit y Richard Foote, el álgebra abstracta , Prentice-Hall,1991, p. 250-251.
Dummit y Foote 1991 , p. 250 por ideales bilaterales. Para ideales de izquierda o derecha, las fuentes consultadas se limitan a referirse implícitamente a la noción de submódulo de tipo finito .
(en) JC y JC McConnell Robson Anillos noetherianos no conmutativos , Providence, AMS , al. “Posgrado en Matemáticas” ( n o 30),2001, 636 p. ( ISBN 978-0-8218-2169-5 , leer en línea ) , pág. 2 (para toda la sección hasta esta nota).
Lam 1991 , p. 21. Lam describió el teorema como "altamente no trivial" ( " altamente no trivial " ).
Grillet señala que hay un choque de notaciones, el conjunto de estos productos (que no es un subgrupo en general) puede en principio también ser denotado por IJ . Esta confusión no es un problema en la práctica, este conjunto de productos rara vez se menciona como tal.
Serge Lang , Álgebra [ detalle de las ediciones ], pag. 99-100 en la edición Dunod.
André Weil , Introducción a Ernst Eduard Kummer, Collected Papers , Volume I, Springer, 1975, p. 3.
Ernst Kummer, "Zur Theorie der complexen Zahlen", Journal für die Reine und angewandte Mathematik 35 , 319-326 (1847), reproducido en Ernst Eduard Kummer, Collected Papers , Volumen I, Springer, 1975, p. 203-210: “einer eigenthümlichen Art imaginärer Divisoren, welche ich ideale complex Zahlen nenne”. Véase la introducción de André Weil al volumen de 1975, p. 5 y 10.
La definición es formalmente la misma si denotamos adicionalmente la operación Sup y multiplicativamente la operación Inf de la celosía, cf. (en) Pierre-Antoine Grillet, Álgebra abstracta , Nueva York, Springer-Verlag ,2007, 2 nd ed. , 669 p. ( ISBN 978-0-387-71567-4 ) , pág. 552.

Además, la sección " aspecto histórico " se redactó con Jacques Bouveresse , Jean Itard y Émile Sallé, Histoire des Mathics [ detalle de las ediciones ].