Grado del ángulo)



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Un grado , generalmente representado por ° (el símbolo de grado), es una medida de un ángulo plano , que representa 1/360 de una vuelta completa  ; un grado también equivale a / 180 radianes . Cuando este ángulo se relaciona con un meridiano de referencia, indica una ubicación a lo largo de un gran círculo de una esfera, como la Tierra (ver Coordenadas geográficas ), Marte o la esfera celeste . Le rapport entre 365,25 (nombre de jours moyen de la rotation de la Terre autour du Soleil ) et 360° (tour complet) permet d'établir l'approximation suivante : « La Terre tourne d'environ un degré autour du Soleil chaque día ".

Historia y general

El grado, dividido en minutos y segundos que son sexagésimos, proviene de los babilonios , que contaban en base 60 (sexagesimal) como los chinos que, hace más de 4.700 años según el calendario chino, ya usaban 60 en según su astronomía y astrología. Para los chinos, 60 corresponde a un ciclo de tiempo fundamental. Los matemáticos persas persiguieron y midieron los ángulos celestes y terrestres de la misma manera. La medición del tiempo de esta manera, derivada directamente de ángulos astronómicos, resultó de ella.

Se han dado varias explicaciones sobre el origen del corte de 360 °.

Como el año en que la Tierra gira alrededor del Sol dura 365 días, cada noche las estrellas giran una fracción de vuelta (aproximadamente 1/365) con respecto al eje. Dado que la medición del tiempo no era necesariamente precisa en sus primeros días, el calendario babilónico se basaba en un año de 360 días dividido en 12 meses de 30 días, como se muestra en la tableta de Mul Apin . Es posible que el grado se definiera como la fracción del ángulo de desplazamiento entre el cielo de una noche y el de la noche siguiente, al mismo tiempo (cf. Cosmología ), moviéndose así las estrellas unos 30 ° entre dos lunas sucesivas. . Esta definición, sin embargo, tenía que ser aproximada dentro del 1 o 2%.

La explicación generalmente sostenida es que la utilidad original de los 360 ° del sistema sexagesimal es facilitar el cálculo de fracciones (y multiplicaciones). De hecho, 360 es el múltiplo de 1, 2, 3 y 5, se divide por estos números, así como por sus múltiplos 6, 8, 9, 10, 12, 15,  etc. y todas sus combinaciones, lo que simplifica la mayoría de los cálculos y conversiones.

no 2 3 4 5 6 15/2 8 9 10 45/4 12 15 18
360 ° / n 180 120 90 72 60 48 45 40 36 32 30 24 20
60 'o "/ n 30 20 15 12 10 8 7.5 6. 666 6 5. 333 5 4 3. 333
Otras fracciones racionales
no 2/9 1/4 15/4 3/10 1/3 3/8 2/5 12/5 4/9 15/7 15/8 5/9 12/7 3/5 5/8 2/3 7/10 15/11 3/4 7/9 4/5 5/6 7/8 8/9
n. 360 ° 80 90 96 108 120 135 144 150 160 168 192 200 210 216 225 240 252 264 270 280 288 300 315 320

Finalmente, dado que 360 ° es igual a 0 °, terminamos calculando en módulo 360 cuando hablamos en grados. Los cálculos a menudo se pueden realizar en los módulos inferiores, que son los multiplicadores de 360. En su forma más simple, siete medias vueltas valen una media vuelta. En lenguaje matemático: 7 1 (mod 2), siete es congruente con uno, módulo dos; y 7 × 180 ° = 1260 ° 180 ° (mod 360 °). En la práctica, nos contentamos con decir que "siete por ciento ochenta grados es igual a ciento ochenta grados" . Del mismo modo 120 ° + 270 ° = 390 ° 30 ° (mod 360 °).

Pero la realidad sobre el origen de los 360 grados probablemente sea diferente. La figura geométrica más simple no es el círculo, sino el triángulo equilátero, con sus tres lados y tres ángulos iguales. Parece que los sumerios, para definir el grado de ángulo, tomaron como referencia el ángulo del triángulo equilátero y que, en aplicación de su base sexagesimal, lo dividieron en 60 grados, luego el grado en ángulo de 60 minutos, luego el ángulo minuto en 60 segundos de ángulo.

Si la suma de los ángulos de un triángulo es igual a un ángulo plano (o dos ángulos rectos), se deduce que el ángulo plano, que por lo tanto es igual a 3 ángulos de un triángulo equilátero, vale 60 × 3 = 180 grados, que el ángulo recto que es la mitad es igual a 90 grados, y que el giro completo, que es igual a dos ángulos planos, es por lo tanto 360 grados. El grado haría más bien el 60 º parte de un ángulo triángulo equilátero (referencia angular) y sería única consecuencia de esta definición que un giro completo mediría 360 grados.

Además, el hecho de que 360 sea un número divisible por muchos enteros no se debe al azar. Se lo debe al origen mismo del sistema sexagesimal utilizado por los sumerios, luego por los babilonios, basado en un método de cálculo sobre las falanges (que todavía estaría en uso en Vietnam). Estos pueblos contaban sus falanges con los pulgares de una mano; el pulgar se desplaza sobre las tres falanges de los otros cuatro dedos, es decir, doce falanges: contamos así de 1 a doce, de ahí la base inicial 12, un número que aparece en otras circunstancias: los 12 apóstoles, los 12 representantes de las 12 tribus de Israel, las 12 horas del día y las 12 horas de la noche, etc. Luego, los dedos de la otra mano se utilizan para las sujeciones. El pulgar, a diferencia de uno de los otros cuatro dedos, cuenta de 1 a 4 docenas. Con ambas manos, podemos contar hasta 5 × 12 = 60.

Por tanto, el número 360 es el resultado de la multiplicación de 3 falanges × 4 dedos de una mano × 5 docenas × 6 ángulos de referencia para un giro completo de un círculo. El hecho de que haya 360 grados en un círculo aparece tanto por el gran número de divisores de 360 como como resultado de un cálculo coherente. El triángulo también puede evocar la astronomía en el antiguo Egipto a través de su zodíaco de Dendérah o las múltiples tumbas en el techo astronómico, en particular la de la tumba TT353 de Sénènmout que sabía que un día cuenta 24 horas.

Medición de ángulo plano

El grado de arco (símbolo ° ) es una unidad práctica de ángulo plano. Un grado es / 180 radianes , 10/9 grados o 160/9 milésimas de pulgada , o 1/360 de vuelta completa.

El grado de arco permite medir con números enteros tanto los ángulos de una estrella de cinco puntas (36 °) como los de una estrella de seis puntas (60 °), dos cifras de varios milenios, así como los ángulos que representan. forma con sus intersecciones, y los ángulos formados por adición o supresión de ángulos.

Incluso si no es una unidad del Sistema Internacional (SI), se acepta su uso con él . Los prefijos SI rara vez se aplican a los símbolos del grado de arco y sus subdivisiones (solo el segundo de arco , de hecho); estos símbolos son también los únicos que no deben estar separados del número que los precede por un espacio: se debe escribir   12 ° 30   y no   12 ° 30  .

Medición de ángulo sólido

En astronomía posicional , el grado cuadrado se usa para medir un ángulo sólido en la esfera celeste . Un grado cuadrado es estereorradián .

Subunidades

Un grado se subdivide en 60 minutos de arco (símbolo ), divididos ellos mismos en 60 segundos de arco (símbolo ).

  • 1 = 0,016 6 °
  • 1 = 0,000 27 7 °
  • 1 '' '= 0.000 004 629 ... °
  • 1 = 0,000 000 07 716049382 °

También usamos frecuentemente la notación decimal: notaremos tanto 12.5 ° como 12 ° 30 , o incluso 48.59039 ° como 48 ° 35'25.4 . La preferencia depende aquí del cálculo y / o medición herramienta.

Precauciones de lectura

Las funciones trigonométricas son independientes de la unidad angular elegida. Pero en el análisis, las funciones se definen por los valores que toman las funciones para las variables expresadas en radianes.

Para un ángulo de medición d ° , expresado en grados, tenemos sin ( d °) = sin ( d ×/180) , y lo mismo para las otras funciones trigonométricas .

En astronomía u óptica, usamos la aproximación para ángulos bajos (menos de 5 °).

El seno y la tangente de un ángulo pequeño son casi iguales a su valor en radianes .

Recordatorios

  • El minuto designa 1/60 grados, el segundo 1/60 minuto de arco, no hay ningún vínculo en la definición con los minutos y segundos por hora de la esfera del reloj, excepto el uso del sistema sexagesimal.
  • Las otras unidades homónimas "minuto", "segundo" de ascensión recta o astronomía son medidas horarias que se utilizan principalmente para medir la longitud celeste. Como regla general, cuando no se dan detalles, hablamos de minutos y segundos de arco y no de ascensión recta. Incluso en astronomía, también utilizamos las unidades derivadas del grado: el parsec , por ejemplo, se define en relación con el segundo de arco.
  • Asimismo, cualquier unidad de ángulo o dirección angular que llamaríamos "hora" no tiene vínculo en su definición con los minutos y segundos de arco (hay varias unidades cuyo nombre incluye "hora": ver las páginas respectivas para los informes de conversión).
  • Las funciones trigonométricas se pueden calcular a partir del valor del ángulo en cualquier unidad.

Notas y referencias

  1. Definiciones lexicográficas y etimológicas de Degré (que significa B2a) de la tesorería computarizada del idioma francés , en el sitio web del Centro Nacional de Recursos Textuales y Léxicos
  2. (en) Petr Beckmann , A History of Pi  (en) , Nueva York, St. Martin's Press,, 200  p. , 21  cm ( ISBN  978-0-312-38185-1 , OCLC  20761271 )
  3. Uranografía china
  4. Michel Dubesset , El manual del Sistema Internacional de Unidades: léxico y conversiones , París, Technip, coll.  Publicaciones del Instituto Francés del Petróleo. / Curso de la Escuela Nacional Superior de Petróleo y Motores ,, 169  p. ( ISBN  978-2-7108-0762-9 , leer en línea )

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Opiniones de nuestros usuarios

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