Geometría



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La geometría está provocando que la rama matemática estudie las figuras del plano y el espacio ( geometría euclidiana ). Desde el final de XVIII º  siglo, la geometría también estudia las figuras que pertenecen a otros tipos de espacios ( geometría proyectiva , la geometría no euclidiana , por ejemplo).

Desde el comienzo de la XX XX  siglo, algunas figuras en los métodos de estudio de estos espacios se transformaron en ramas autónomas de las matemáticas: topología , geometría diferencial y la geometría algebraica , por ejemplo. Si queremos englobar todos estos significados, es difícil definir qué es la geometría hoy. Esto se debe a que la unidad de las diversas ramas de la "geometría contemporánea" reside más en los orígenes históricos que en una comunidad de métodos u objetos.

Obtención de la sección cónica mediante la proyección de dos esferas de distintos diámetros (ver teorema de Dandelin ).

Etimología

El término geometría deriva del griego de ( geômetrês ) que significa "geómetro, topógrafo  " y proviene de ( ) "tierra" y ( metron ) "medida". Por tanto, sería la ciencia de medir el terreno.

Principales divisiones de geometría

Geometría clásica

Sin ningún calificativo en particular y sin referencia a un contexto particular (a diferencia de la geometría diferencial o la geometría algebraica ), la geometría o incluso la geometría clásica abarca principalmente:

Las geometrías anteriores se pueden generalizar variando la dimensión de los espacios, cambiando el campo de los escalares (use líneas diferentes a la línea real) o dando una curvatura al espacio. Todavía se dice que estas geometrías son clásicas.

Además, la geometría clásica se puede axiomatizar o estudiar de diferentes formas.

Es notable que el álgebra lineal (espacios vectoriales, formas cuadráticas, formas bilineales alternas, formas hermitianas y antihermitas, etc.) permite construir modelos explícitos de la mayoría de las estructuras encontradas en estas geometrías. Por lo tanto, esto le da a la geometría clásica una cierta unidad.

Otros tipos de geometrías

Hay ramas de las matemáticas que han surgido del estudio de las figuras de los espacios euclidianos, pero que se han conformado en ramas autónomas de las matemáticas y que estudian espacios que no necesariamente están inmersos en espacios euclidianos:

Los diferentes espacios de la geometría clásica se pueden estudiar mediante topología, geometría diferencial y geometría algebraica.

Diseño de geometría

La geometría admite muchos significados según los autores. En sentido estricto, la geometría es el estudio de formas y tamaños de figuras. Esta definición es consistente con el surgimiento de la geometría como ciencia bajo la civilización griega durante el período clásico . Según un informe de Jean-Pierre Kahane , esta definición coincide con la idea que la gente tiene de la geometría como asignatura enseñada: es "el lugar donde aprendemos a comprender el espacio  ".

En 1739, Leonhard Euler estudió el problema de los siete puentes de Königsberg  ; Se considera que su trabajo es uno de los primeros resultados de la geometría no dependiente de ninguna medida, resultados que serán calificados como topológicos. Las preguntas formuladas durante el XIX °  siglo llevó a reconsiderar las nociones de forma y espacio , descartando la rigidez de las distancias euclidianas. Se ha considerado la posibilidad de deformar continuamente una superficie sin conservar la métrica inducida, por ejemplo, de deformar una esfera en un elipsoide. El estudio de estas deformaciones condujo al surgimiento de la topología [ref. necesario]  : sus objetos de estudio son los conjuntos , los espacios topológicos, cuyas nociones de proximidad y continuidad se definen juntas por la noción de vecindad . Según algunos matemáticos, la topología es una parte integral de la geometría, incluso una rama fundamental de ella. Esta clasificación puede ser cuestionada por otros.

Según el punto de vista de Felix Klein ( 1849 - 1925 ), la geometría analítica "de hecho sintetizó dos características posteriormente disociadas: su carácter fundamentalmente métrico y su homogeneidad". El primer carácter se encuentra en la geometría métrica , que estudia las propiedades geométricas de las distancias. El segundo es la base del programa de Erlangen , que define la geometría como el estudio de invariantes de acción grupal.

El trabajo actual, en campos de investigación conocidos como geometría, tiende a cuestionar la primera definición dada. Según Jean-Jacques Szczeciniarcz, la geometría no se construye sobre "la simple referencia al espacio, ni siquiera [sobre] la figuración o [sobre] la visualización", sino que se entiende a través de su desarrollo: "la geometría se absorbe pero al mismo tiempo nos parece para atribuir un significado a los conceptos dando también la impresión de un retorno al significado inicial . Jean-Jacques Sczeciniarcz señala dos movimientos en la investigación matemática que han llevado a una expansión o fragmentación de la geometría:

  • el procedimiento de idealización que consiste en mostrar la importancia de una estructura agregándola a los objetos matemáticos ya estudiados;
  • por el contrario, el procedimiento de tematización consiste en sacar una nueva estructura subyacente a los objetos geométricos ya estudiados.

Como extensión, la geometría ya no puede abordarse como una disciplina unificada sino como una visión de las matemáticas o un acercamiento a los objetos. Según Gerhard Heinzmann, la geometría se caracteriza por "un uso de términos y contenidos geométricos, como"  puntos  ","  distancia  "o"  dimensión  "como marco del lenguaje en los más diversos campos", acompañado de un equilibrio entre un enfoque empírico y un enfoque teórico.

Historia

La invención de la geometría se remonta al antiguo Egipto .

Geometría clásica

Para Henri Poincaré , el espacio geométrico tiene las siguientes propiedades:

  1. Es continuo;
  2. El es infinito;
  3. Tiene tres dimensiones;
  4. Es homogéneo, es decir que todos sus puntos son idénticos entre sí;
  5. Es isotrópico, es decir que todas las líneas que pasan por un mismo punto son idénticas entre sí.

Las geometrías euclidianas y no euclidianas corresponden a esta definición stricto sensu de espacio. Construir tal geometría consiste en enunciar las reglas de ordenamiento de los cuatro objetos fundamentales: el punto , la línea , el plano y el espacio . Este trabajo sigue siendo prerrogativa de la geometría pura, que es la única que trabaja ex nihilo .

Geometria plana

La geometría plana descansa ante todo en una axiomática que define el espacio; luego sobre métodos de intersecciones, transformaciones y construcciones de figuras ( triángulo , paralelogramo , círculo , esfera , etc.).

La geometría proyectiva es la más minimalista, lo que la convierte en un núcleo común para otras geometrías. Se basa en axiomas:

  1. de incidencia (o pertenencia), cuya característica más notable (y más singular) es: Dos líneas coplanares distintas tienen un solo punto en común. ";
  2. Orden: permite en particular ordenar los puntos de una línea. Desde este punto de vista, una línea proyectiva es similar a un círculo porque dos puntos definen dos segmentos;
  3. continuidad: así, en cualquier espacio geométrico, se puede unir un punto a otro mediante una progresión continua. En la geometría euclidiana, este axioma es el axioma de Arquímedes .

Paralelismo

Distinguir en la geometría proyectiva de los elementos impropios caracteriza la geometría argumentativa . Entonces, la geometría afín nace de la eliminación de estos elementos inadecuados. Esta supresión de puntos crea la noción de paralelismo, ya que en adelante ciertos pares de líneas coplanares dejan de cruzarse. El punto incorrecto eliminado es comparable a la dirección de estas líneas rectas. Por otra parte, dos puntos sólo definen un segmento (el uno de los dos que no contiene el punto impropio) y hacer conocer la noción de lo que significa o la orientación (es decir, que permite distinguir entre ).

Congruencia

Euclidianas y no euclidianas geometrías

El quinto axioma o "  postulado de paralelos  " de la geometría euclidiana es la base de la geometría euclidiana  :

A través de un punto fuera de una línea, siempre pasa un paralelo a esta línea, y solo uno.

Consulte Axiomática de Hilbert o Elementos euclidianos para enunciados más completos de la geometría euclidiana.

La refutación de este postulado llevó al desarrollo de dos geometrías no euclidianas  : la geometría hiperbólica de Gauss , Lobachevsky , Bolyai y la geometría elíptica de Riemann .

Programa Erlangen

En la concepción de Felix Klein (autor del programa Erlangen ), la geometría es el estudio de espacios puntuales sobre los que operan grupos de transformaciones (también llamadas simetrías) y de cantidades y propiedades que son invariantes para estos grupos. El plano y la esfera, por ejemplo, son espacios bidimensionales, homogéneos (sin punto privilegiado) e isotrópicos (sin dirección privilegiada), pero difieren en sus grupos de simetría (el grupo euclidiano para uno, el grupo de rotaciones para el otro).

Entre las transformaciones más famosas, encontramos isometrías , similitudes , rotaciones , reflexiones , traducciones y homotecias .

Por tanto, no se trata de una disciplina sino de un importante trabajo de síntesis que permitió una clara visión de las peculiaridades de cada geometría. Por tanto, este programa caracteriza la geometría más que la fundamenta. Tuvo un papel mediador en el debate sobre la naturaleza de las geometrías no euclidianas y la controversia entre geometrías analíticas y sintéticas .

Geometría de grupos clásicos

Hay en geometría diferencial y geometría algebraica de grupos de Lie y grupos algebraicos , que a su vez tienen espacios homogéneos , y la geometría clásica se reduce a menudo al estudio de estos espacios homogéneos. Las geometrías afines y proyectivas están relacionadas con grupos lineales, y las geometrías euclidianas, esféricas, elípticas e hiperbólicas están relacionadas con grupos ortogonales.

Cuando existen clasificaciones explícitas de Lie o grupos algebraicos o sus espacios homogéneos que satisfacen determinadas hipótesis (grupos de Lie o algebraicos simples, espacios simétricos, variedades de banderas generalizadas, espacios de curvatura constante, por ejemplo), los elementos principales de estas clasificaciones provienen en ocasiones de la geometría clásica. , y los grupos a los que se asocian estas geometrías clásicas están vinculados a los llamados grupos clásicos (grupos lineales, ortogonales, simplécticos, por ejemplo).

La mayoría de las geometrías clásicas están relacionadas con grupos de Lie o algebraicos simples, llamados clásicos (se derivan del álgebra lineal). Existen otros grupos de Lie o algebraicos simples, y se dice que son "excepcionales" y dan lugar a la geometría excepcional, con ciertas analogías con la geometría clásica. Esta distinción se debe al hecho de que los grupos simples se clasifican (bajo ciertos supuestos) en varias series infinitas (a menudo cuatro) y un número finito de otros grupos (a menudo cinco), y son estos últimos grupos los que son excepcionales, y no lo hacen. no entran en álgebra lineal (al menos no de la misma manera): a menudo están vinculados a estructuras algebraicas no asociativas ( álgebras de octonion , álgebras de Jordan excepcionales, por ejemplo).

A los grupos de Lie o algebraicos simples se les asocian diagramas de Dynkin (tipos de gráficos), y en estos diagramas se pueden leer ciertas propiedades de estas geometrías.

Áreas de investigación de geometría

Geometría riemanniana

La geometría de Riemann puede verse como una extensión de la geometría euclidiana. Su estudio se centra en las propiedades geométricas de los espacios ( variedades ) presentando una noción de vectores tangentes, y equipados con una métrica ( métrica de Riemann ) que permite medir estos vectores. Los primeros ejemplos encontrados son las superficies del espacio euclidiano tridimensional , cuyas propiedades métricas fueron estudiadas por Gauss en la década de 1820. El producto euclidiano induce una métrica en la superficie estudiada por restricción a los diversos planos tangentes. La definición intrínseca de métrica fue formalizada en una dimensión superior por Riemann. La noción de transporte paralelo permite la comparación de espacios tangentes en dos puntos distintos de la variedad: tiene como objetivo transportar coherentemente un vector a lo largo de una curva dibujada en la variedad de Riemann. La curvatura de una variedad de Riemann mide por definición la posible dependencia del transporte paralelo de un punto a otro de la curva que los conecta.

La métrica da lugar a la definición de la longitud de las curvas, de la que se deriva la definición de la distancia de Riemann. Pero las propiedades métricas de los triángulos pueden diferir de la trigonometría euclidiana. Esta diferencia se estudia en parte a través del teorema de Toponogov , que permite comparar al menos localmente la variedad de Riemann estudiada con los espacios modelo, según desigualdades supuestamente conocidas en la curvatura seccional. Entre los espacios modelo:

  • el espacio euclidiano es una variedad de Riemann con curvatura cero;
  • la esfera de dimensión n es una variedad de Riemann de curvatura positiva constante 1;
  • el espacio hiperbólico de dimensión n es una variedad de Riemann con curvatura negativa -1.

Geometría compleja

La geometría compleja se relaciona con las propiedades del campo con las que se puede identificar localmente . Estos objetos ( variedad compleja ) presentan cierta rigidez, resultado de la unicidad de una extensión analítica de una función con varias variables.

Simpléctico y contacto geometrías

La geometría simpléctica es una rama de la geometría diferencial y se puede introducir como una generalización a dimensiones superiores del concepto de área orientada que se encuentra en la dimensión 2. Se relaciona con formas bilineales alternas. Los objetos de esta geometría son las variedades simplécticas, que son variedades diferenciales provistas de un campo de formas bilineales alternas. Por ejemplo, un espacio afín unido a un espacio vectorial dotado de una forma bilineal alterna no degenerada es una variedad simpléctica.

La geometría de contacto es una rama de la geometría diferencial que estudia las variedades de contacto, que son variedades diferenciales provistas de un campo de hiperplanos espacios tangentes que verifican determinadas propiedades. Por ejemplo, el espacio proyectivo deduce que un espacio vectorial provisto de una forma bilineal alterna no degenerada es una variedad de contacto.

Geometrías discretas y convexas

Geometrías algebraicas y aritméticas

Geometría no conmutativa

Aplicaciones de geometría

Durante mucho tiempo, la geometría y la astronomía han estado ligadas. A nivel elemental, el cálculo de los tamaños de la Luna, el Sol y sus respectivas distancias a la Tierra utiliza el teorema de Tales [ref. necesario] . En los primeros modelos del sistema solar, cada planeta estaba asociado con un sólido platónico . A partir de las observaciones astronómicas de Kepler , confirmadas por el trabajo de Newton , se ha demostrado que los planetas siguen una órbita elíptica en la que el Sol es uno de los puntos focales. Tales consideraciones de naturaleza geométrica pueden intervenir comúnmente en la mecánica clásica para describir cualitativamente las trayectorias .

En este sentido, la geometría interviene en la ingeniería en el estudio de la estabilidad de un sistema mecánico. Pero interviene de forma aún más natural en el diseño industrial . El dibujo industrial muestra las secciones o proyecciones de un objeto tridimensional y está anotado con longitudes y ángulos. Este es el primer paso en la puesta en marcha de un proyecto de diseño industrial . Recientemente, el matrimonio de la geometría con la informática ha permitido la llegada del diseño asistido por computadora (CAD), los cálculos de elementos finitos y los gráficos por computadora .

La trigonometría euclidiana se utiliza en óptica para tratar, por ejemplo, la difracción de la luz. También está en el origen del desarrollo de la navegación  : navegación marítima con estrellas (con sextantes ), cartografía, navegación aérea (pilotaje con instrumentos que utilizan señales de balizas).

Los nuevos avances en la geometría en el XIX °  siglo se ha encontrado eco en la física. A menudo se dice que la geometría riemanniana fue motivada inicialmente por las preguntas de Gauss sobre el mapeo de la Tierra. Tiene en cuenta, en particular, la geometría de las superficies en el espacio. Una de sus extensiones, la geometría de Lorentz , proporcionó el formalismo ideal para formular las leyes de la relatividad general . La geometría diferencial encontró nuevas aplicaciones en la física post-Newtoniana con la teoría de cuerdas o membranas .

La geometría no conmutativa , inventada por Alain Connes , está ganando terreno para presentar buenas estructuras matemáticas con las que trabajar para desarrollar nuevas teorías físicas.

Educación en geometría

La geometría ocupa un lugar privilegiado en la enseñanza de las matemáticas . Numerosos estudios educativos demuestran su interés [ ref.  deseado]  : permite a los alumnos desarrollar una reflexión sobre problemas, visualizar figuras del plano y del espacio, escribir demostraciones , deducir los resultados de hipótesis planteadas. Pero aún más, "el razonamiento geométrico es mucho más rico que la simple deducción formal", porque se basa en la intuición nacida de la "observación de las figuras".

En la década de 1960, la educación matemática en Francia insistió en poner en práctica los problemas de geometría en la vida cotidiana. En particular, el teorema de Pitágoras fue ilustrado por la regla de 3, 4, 5 y su uso en carpintería. Las involuciones, las divisiones armónicas y las relaciones cruzadas eran parte del plan de estudios de la escuela secundaria. Pero la reforma de la matemática moderna , nacida en Estados Unidos y adaptada en Europa, supuso una reducción considerable de los conocimientos enseñados en geometría para introducir el álgebra lineal en segundo grado. En muchos países, esta reforma fue fuertemente criticada y designada como responsable de los fracasos escolares [ ref.  deseado] . Un informe de Jean-Pierre Kahane denuncia la falta de una verdadera reflexión didáctica preliminar sobre la contribución de la geometría: en particular, una práctica de la geometría vectorial prepara al alumno para una mejor asimilación de las nociones formales de espacio vectorial, bilineal ...

El uso de figuras en la enseñanza de otras asignaturas permite a los estudiantes comprender mejor los argumentos presentados. NB En didáctica de las matemáticas solemos diferenciar las nociones de "dibujo" (realizado con instrumentos como reglas, brújulas ...), de "diagrama" (realizado a mano alzada y que sirve de soporte concreto al razonamiento abstracto para realizar) y "figura" (objeto geométrico abstracto sobre el que se relaciona en última instancia el razonamiento, y cada uno de los cuales tiene su propia representación mental: por ejemplo, podemos tener una representación mental diferente, excepto por una similitud, de la "figura" del triángulo equilátero) . Con estas distinciones, lo que se representa gráficamente evocaría, por tanto, una "figura", pero no lo sería. [ ref.  deseado] .

Notas y referencias

  1. Fritz Reinhardt y Heinrich Soeder, Atlas of Mathematics , Pocket Book, p.  13 .
  2. Jean-Pierre Kahane , (ed.) La enseñanza de las ciencias matemáticas: Comisión para la reflexión sobre la enseñanza de las matemáticas [ detalle de las ediciones ], Cap. 3, Geometría.
  3. Alain Michel, Geometrización de la teoría física: sobre la génesis de un problema, en Kouneiher & al.
  4. Jean-Jacques Szczeciniarz, Filosofía y geometría: el surgimiento de la geometría, sus efectos filosóficos, en Kouneiher & al.
  5. Gerhard Heinzmann, La geometría y el principio de idoneidad: una relectura de Ferdinand Gonseth, en Kouneiher & al.
  6. Mueller-Jourdan 2007 , p.  73
  7. Henri Poincaré , Ciencia e hipótesis , Champs Flammarion,.
  8. hasta cierto límite porque algunas geometrías no encajan en este marco.
  9. Hasta cierto punto y aproximadamente, esto también ayuda a distinguir de  ; el interior del exterior.
  10. Jean-Pierre Provost y Gérard Vallée, Maths in Physics: Physics through the Filter of Mathematics , París, Éditions Dunod , coll.  "Sup Sciences",, 1 st  ed. , 331  p. ( ISBN  2-10-004652-7 ) , pág.  51.
  11. Denis Rolland, Arquitectura rural en Picardía: Soissonnais , CREER, 1998 ( ISBN  978-2-909797-25-0 ) , p.  49 .

Ver también

Bibliografía

  • Charles Mugler,   Sobre la historia de algunas definiciones de la geometría griega y la relación entre geometría y óptica (Primera parte)  , Antigüedad clásica , vol.  26, n o  2, p.  331-345 ( leído en línea , consultado el 28 de enero de 2020 ).
  • Charles Mugler,   Sobre la historia de algunas definiciones de la geometría griega y la relación entre geometría y óptica (continuación)  , Antigüedad clásica , vol.  27, n o  1,, p.  76-91 ( leído en línea , consultado el 28 de enero de 2020 )
  • Pascal Mueller-Jourdan , Una iniciación en la filosofía de la antigüedad tardía: lecciones de Pseudo-Elias , Fribourg / Paris, Éditions du Cerf ,, 143  p. ( ISBN  978-2-204-08571-7 ). Libro utilizado para escribir el artículo
  • Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometría, traducción y edición: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series , vol. 4, Sociedad Matemática Europea, 2010.
  • Jean-Paul Collette, Historia de las matemáticas , vol.  2, Vuibert,( ISBN  2-7613-0118-8 ) , Capítulo 10: La renovación de la geometría XIX XX  siglo .
  • A. Dahan-Dalmedico y J. Peiffer , Una historia de las matemáticas: caminos y laberintos ,[ detalle de ediciones ]
  • Joseph Kouneiher Dominique Flament Philippe Nabonnand y Jean-Jacques Szczeciniarz ( eds. ), Geometría del XX XX  historia y antecedentes del siglo [[[Referencia: Geometría en el XX °  siglo de historia y orígenes (Joseph Kouneiher Dominique Flament Philippe Nabonnand, Jean-Jacques Szczeciniarz , dir.) | Detalle de ediciones]]]

enlaces externos


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