Eje mayor

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} \; {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \; \ {{M \ in {\ mathcal {P}} \; | \; {{\ overline {FM}} + {\ overline {F'M}} = cte \; {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \; 2a}} \ }}$

Etimología

La línea cuyo eje mayor es un segmento es uno de los dos ejes de simetría (en latín: eje , en singular) de la elipse.

El eje mayor es mayor ( mayor ) que el eje menor .

Definición

El eje mayor de una elipse es su diámetro mayor , un segmento que cruza tanto el centro como los dos focos de la elipse y la une en sus dos puntos más opuestos. El semieje mayor corresponde a la mitad del eje mayor y une el centro y un borde de la elipse a través de uno de los focos.

Del mismo modo, el segmento perpendicular al eje mayor, que pasa por el centro y se une a la elipse, es su eje menor . Los ejes son equivalentes elípticos de los diámetros de un círculo , mientras que los semiejes son análogos de los radios .

La longitud del semieje mayor y la del semieje menor están vinculadas por la excentricidad y el "parámetro" de la elipse, generalmente indicado como p , que representa el medio latus recto (cuerda paralela a la directriz y que pasa por el foco ): ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle e}$

${\ Displaystyle b = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle p = a (1-e ^ {2})}$

${\ Displaystyle ap = b ^ {2}}$

Conceptos relacionados

Círculo principal

El círculo con centro , el centro de una elipse y diámetro , el eje mayor de la elipse, es el círculo principal de la elipse. ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle O}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle d = 2a}$

La elipse es la imagen del círculo principal por la base Ox y la relación de afinidad ortogonal . ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle b / a}$

Nociones equivalentes

Siendo el círculo una elipse de excentricidad lineal cero, el eje mayor de un círculo es su diámetro y su semieje mayor su radio.

Los parámetros de una elipse, incluidos el semieje mayor (a) y el semieje menor (b).

Los parámetros de una hipérbola, incluido el eje transversal (a) y su eje conjugado (b).

La hipérbola es una cónica de excentricidad lineal mayor que 1. El eje transversal de una hipérbola, segmento de la línea que cruza el centro y los dos focos de la hipérbola, es el equivalente al semieje mayor d 'una elipse. El eje conjugado de una hipérbola, segmento de la línea comprendido entre uno de los vértices de la hipérbola y una de las asíntotas de la curva del mismo vértice, es el equivalente al eje semieje menor de una elipse.

Astronomía

Periodo orbital

En astronomía , el semieje mayor es un elemento orbital importante, lo que permite definir parcialmente una órbita . En general, en el contexto de un problema de dos cuerpos , el cuadrado del período orbital de un cuerpo de masa que orbita otro cuerpo de masa es: ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}} a ^ {3} \,}$

o :

• ${\ Displaystyle a}$ es la longitud del semieje mayor;
• ${\ Displaystyle G}$es la constante gravitacional .

Si uno de los cuerpos es lo suficientemente pequeño como para descuidar su masa en comparación con el otro:

${\ Displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {a ^ {3} / \ mu}}}$

donde es el parámetro gravitacional estándar . ${\ Displaystyle \ mu}$

En este caso, para todas las órbitas con el mismo semieje mayor, el período es el mismo independientemente de la excentricidad.

Por tanto, obtenemos la siguiente proporcionalidad:

${\ Displaystyle T ^ {2} \ propto a ^ {3}}$

que corresponde a la tercera ley de Kepler .

Distancia promedio

El semieje mayor no corresponde necesariamente a la distancia media entre los dos cuerpos en órbita, porque esta distancia depende del método utilizado:

• Calculando el promedio de la distancia sobre la anomalía excéntrica , en realidad encontramos el eje semi-mayor.
• El promedio sobre la anomalía verdadera da el eje semi-menor .
• El promedio de la anomalía promedio conduce al valor .${\ Displaystyle a \ left (1 + {\ frac {e ^ {2}} {2}} \ right)}$

Además, el "radio medio de la elipse", que de hecho designa el radio del círculo con la misma área, es . ${\ Displaystyle {\ sqrt {ab}} = a {\ sqrt [{4}] {1-e ^ {2}}}}$

Ver también

Artículos relacionados

• Elementos orbitales  :
  • Anomalía media
  • Argumento de Periapsis
  • Excentricidad orbital
  • Inclinación orbital
  • Longitud del nodo ascendente
  • Periapsis
  • Apoapsis
• Hipérbola

Enlace externo

• (en)   Semi-eje mayor / Semi-menor de una elipse   , en mathopenref.com (con animación interactiva)