B-spline

En matemáticas , un B-spline es una combinación lineal de splines positivos con un soporte compacto mínimo. Las B-splines son la generalización de las curvas de Bézier , que a su vez pueden ser generalizadas por NURBS .

Definición

Dados m +1 nodos t i en [0, 1] con $0 \ leq t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ ldots \ leq t_ {m} \ leq 1$ una curva spline de grados es una curva paramétrica $no$ ${\ mathbf {S}} \ ,: \, [0,1] \ to {\ mathbb {R}} ^ {d}$ compuesto por funciones B-spline de grado n ${\ Displaystyle \ mathbf {S} (t) = \ sum _ {i = 0} ^ {mn-1} b_ {i, n} (t). \ mathbf {P} _ {i} \ ,, \, t \ in [t_ {n}, t_ {mn}]}$ , donde los P i forman un polígono llamado polígono de control ; el número de puntos que componen este polígono es igual am - n .

Las funciones m - n B-spline de grado n se definen por inducción en el grado inferior: $b _ {{j, 0}} (t): = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mathrm {si}} \ quad t_ {j} \ leqslant t <t _ {{j + 1 }} \ \ 0 & {\ mathrm {de lo contrario}} \ end {matriz}} \ right.$ $b _ {{j, n}} (t): = {\ frac {t-t_ {j}} {t _ {{j + n}} - t_ {j}}} b _ {{j, n- 1}} (t) + {\ frac {t _ {{j + n + 1}} - t} {t _ {{j + n + 1}} - t _ {{j + 1}}}} b _ {{j + 1, n-1}} (t).$

Cuando los nodos son equidistantes, es decir cuando están en progresión aritmética, se dice que las B-splines son “uniformes”: este es el caso de las curvas de Bézier que son B-splines uniformes, cuyos nodos t i (para i entre 0 y m ) forman una secuencia aritmética de 0 a 1 con un paso constante 1 / m , y donde el grado n de la curva de Bézier no puede ser mayor que m .

Par extension, lorsque deux nœuds successifs et sont confondus, on pose : cela a pour effet de définir une discontinuité de la tangente, pour le point de la courbe paramétré par une valeur de t , donc d'y créer un sommet d'angle non plato ; sin embargo, a menudo es más sencillo definir esta "B-spline extendida" como la unión de dos B-splines definidas con nodos distintos, estas splines simplemente unidas por este vértice común, sin introducir ninguna dificultad en la evaluación paramétrica aquí. B-splines para ciertos valores del parámetro t . Pero esto permite considerar cualquier polígono simple como un B-spline extendido. $t_j$ $t _ {{j + 1}}$ ${\ frac {0} {0}} = 0$

Propiedades

La forma de las funciones básicas está determinada por la posición de los nodos.

La curva está dentro de la envolvente convexa de los puntos de control.

A B-spline de grado n $b _ {{i, n}} (t)$ es distinto de cero en el intervalo [ t i , t i + n + 1 ]: $b _ {{i, n}} (t) = \ left \ {{\ begin {matrix}> 0 & {\ mathrm {si}} \ quad t _ {{i}} \ leqslant t <t _ {{ i + n + 1}} \\ 0 & {\ mathrm {de lo contrario}} \ end {matriz}} \ right.$

En otras palabras, mover un punto de control solo localmente cambia la forma de la curva.

B-splines en una dimensión

Las B-splines se pueden utilizar como funciones básicas en la teoría de aproximaciones. La B-spline de grado n viene dada por: ${\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ beta ^ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k} {\ frac {(n + 1)} {(n + 1-k)! k!}} \ left (xk + {\ frac {n + 1} {2}} \ right) _ {+} ^ {n}}$ , donde (y) + es una versión extendida de la función de parte positiva : $(x) _ {+} ^ {n} = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x <0 \\ {\ tfrac 12} & {\ text {si}} x = 0 {\ texto {et}} n = 0 \\ 1 & {\ text {si}} x> 0 {\ text {et}} n = 0 \\ x ^ {n} & {\ text {si}} x \ geqslant 0 {\ text {y}} n \ geqslant 1 \ end {cases}}$

Reconocemos en particular el spline de grado 0 como la función de puerta .

Estas funciones no son interpolantes, pero su alta regularidad en un medio compacto las convierte en candidatas interesantes en la aproximación de funciones.

Referencias

(en) P. Thevenaz, Blu T. y M. Unser, " interpolación revisitada " , IEEE Transactions on Medical Imaging , vol. 19, n o 7,julio 2000( DOI 10.1109 / 42.875199 )

Vínculos internos

enlaces externos

(es) Splines: un marco unificador para el procesamiento de imágenes (tutorial sobre B-splines)