Área (geometría)



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En matemáticas , el área es una cantidad relativa a ciertas figuras del plano o superficies en geometría en el espacio .

El desarrollo de esta noción matemática está vinculado a la racionalización del cálculo del tamaño de las superficies agrícolas, mediante técnicas de levantamiento . Esta evaluación, junto con una unidad de medida, se conoce hoy como área .

De manera informal, el área permite expresar una relación de magnitud de una figura con respecto a una unidad, mediante cortes y encolados, desplazamientos y retrocesos y paso al límite por aproximación. La medida de un área puede ser un número real positivo o infinito para algunas superficies, como el plano en su conjunto.

Se han desarrollado diversas técnicas para medir un área, desde el método de los indivisibles hasta el cálculo integral y métodos probabilísticos como el método de Monte-Carlo .

Definicion formal

En un espacio euclidiano bidimensional, un dominio tiene un área si es un conjunto medible para la medida de Jordan y su área es igual a esta medida.

Propiedades

El área S de una superficie plana sigue cuatro propiedades:

  1. El área de una superficie plana acotada es un número positivo o cero .
  2. Al elegir una unidad de longitud , el área del cuadrado del lado 1 es igual a 1.
  3. El área es aditiva . Esto significa que, dadas las áreas de dos superficies disjuntas A y B , el área de su unión es la suma de sus áreas:
    S ( UNAB ) = S ( A ) + S ( B ).
    Esta propiedad se puede interpretar de la siguiente manera: si “recortamos” una figura, obtenemos dos figuras cuya suma de las áreas es igual al área de la figura inicial.
  4. El área es invariante por isometría . Esto significa que una figura se puede mover o voltear sin modificar su área.

La propiedad de aditividad se extiende, por inducción , a cualquier número natural n mayor que dos cualquiera: si A 1 , A 2 ... A n son dos por dos superficies disjuntas de áreas respectivas S ( A 1 ), S ( A 2 ) … S ( A n ), entonces

S ( A 1A 2 ∪ ... ∪ A n ) = S ( A 1 ) + S ( A 2 ) + ... + S ( A n )

que se anota más rigurosamente:

Pero esta propiedad de aditividad finita no es suficiente, aunque solo sea para probar la fórmula para calcular el área de un disco (ver más abajo). Por lo tanto, se extiende a una familia infinita contable de superficies planas ( A n ) nN dos por dos disjuntas cuyas áreas se supone que son conocidas, con el resultado análogo al anterior:

Luego hablamos de σ-aditividad ("  sigma-aditividad  ").

Cálculo de área

Se eligió previamente una unidad de longitud (denotada 1u.l.), definimos la unidad de área (denotada 1u.a.) por 1u.a. = (1u.l.) 2 . Todas las áreas se miden en unidades de área. La cifra básica para calcular un área es el cuadrado unitario, con lado 1u.l. ; te permite calcular el área del rectángulo . Usando el área del rectángulo, es posible determinar el área de un triángulo rectángulo (visto como un medio rectángulo) o de un paralelogramo , luego la de cualquier triángulo y, por lo tanto, de cualquier polígono .

La fórmula para el área de un disco es más compleja de demostrar: requiere pasar por un límite de continuación . La idea de acercarnos sucesivamente a una superficie compleja mediante una serie de superficies más simples (en general, rectángulos o polígonos) es fundamental. Una superficie a la que se puede acercar "correctamente" mediante rectángulos, hasta el punto de que se puede deducir su área mediante un cálculo de límite, se dice que es quarrable .

En ciertos casos, el análisis viene en ayuda de la geometría, cuando el razonamiento mediante el corte y el encolado ya no es suficiente. Algunos cálculos de área requieren el uso de integrales (noción de "área bajo la curva"), que a veces se pueden calcular a partir de las primitivas de una función .

Otros casos son más patológicos  : los matemáticos han establecido una teoría de la medición para generalizar resultados en áreas. Para los fractales , las áreas no son computables o insatisfactorias. La noción de dimensión de Hausdorff generaliza la de área, para un objeto plano fractal.

Superficies habituales

A continuación se dan las fórmulas y demostraciones de cálculo de áreas habituales más comunes, que ilustran el razonamiento geométrico que se usa a menudo para resolver problemas de área: "cortar y pegar", a veces imaginando un número infinito de cortes por consideraciones de límites.

Rectángulo

Demostración

Un rectángulo cuya longitud y anchura son números enteros m y n puede ser visto como compuesta de m líneas que contienen cada uno n cuadrados de la unidad. Por tanto, su área es igual a m × n .

Si las dimensiones del rectángulo son m / p y n / q fracciones , consideramos que tenemos "corte" el rectángulo de dimensiones m y n en p partes iguales, entonces cada una de estas partes de nuevo en q partes iguales. El rectángulo de dimensiones m y n , por tanto, contiene p × q veces la de dimensiones m / p y n / q . Por tanto, el área de este último rectángulo es igual ametro/pag × no/q.

Este resultado se generaliza en el caso donde la longitud y el ancho del rectángulo son números reales , pero el razonamiento es más abstracto: requiere un paso al límite, al considerar que cualquier número real es el límite de una serie de números racionales. .

Caso especial de la plaza

Un cuadrado es un rectángulo cuya longitud y ancho son iguales al mismo número llamado lado del cuadrado. Un cuadrado de lado c tiene un área igual ac × c , que se denota por c 2 . A la inversa, cualquier número de la forma c 2 (donde c es positivo) puede considerarse como el área de un cuadrado de lado c , lo que explica por qué c 2 se lee "  c al cuadrado" o "el cuadrado de c  ".

Triángulo

La fórmula más común para calcular el área de un triángulo es:

Área de un triángulo  :  el área de un triángulo es la mitad del producto de su base y su altura.

Cualquier triángulo rectángulo cuyos catéteres (o lados cortos) medir una y b puede ser considerado como un medio de un rectángulo de dimensiones a y b divididas en dos por una de sus diagonales. Por tanto, el área de este triángulo rectángulo es igual a .

De manera más general, cualquier triángulo de altura de un triángulo hy de lado asociado b (en este caso, el lado se llama base ) es la mitad de un rectángulo de dimensiones h y b , lo que da la fórmula clásica para calcular el área d 'de Un triangulo:

Otros métodos permiten calcular el área de un triángulo y, por lo tanto, el área de cualquier polígono , utilizando el hecho de que cualquier polígono se puede dividir en un número finito de triángulos. En particular, dividiendo un polígono regular en triángulos cuyo vértice es su centro, obtenemos las fórmulas habituales para calcular el área de un polígono regular .

Disco

Teorema  :  el área de un disco con radio R es igual a π × R 2 .

Nos convencemos de este resultado dividiendo el disco en un número arbitrariamente grande de triángulos.

Considerando n puntos A 1 , A 2A n regularmente espaciados en un círculo con centro O y radio R , obtenemos un polígono regular con n lados formado por n triángulos isósceles con la misma área OA 1 A 2 , OA 2 A 3 , etc. Por tanto, el área del polígono regular es n veces la de uno de estos triángulos. Si la altura de cada uno de sus triángulos es h n , el área de cada triángulo es1/2h norte × A 1 A 2 . Al multiplicar por n , el área del polígono es igual a la mitad de la altura h n multiplicada por el perímetro del polígono. Cuando el número n de puntos tiende hacia el infinito, la altura h n tiende hacia R , y el perímetro del polígono hacia el del círculo, es decir 2π R , lo que da el resultado anunciado.

Conociendo el radio del círculo, otro método, utilizado por Arquímedes, consiste en dividir el disco en sectores , como se muestra en la figura de la derecha.

Cada sector tiene una forma aproximadamente triangular y los sectores se pueden reorganizar para formar un paralelogramo. La altura de este paralelogramo es r , y el ancho es la mitad de la circunferencia del círculo, o π r . Por lo tanto, el área total del disco es π r 2

Aunque este método de división en sectores es solo una aproximación, el error se vuelve cada vez más pequeño a medida que el círculo se divide en más sectores. El límite de la suma de las áreas de los paralelogramos aproximados es exactamente π r 2 , que es el área total del disco.

Integral

El plano euclidiano está provisto de un sistema de coordenadas ortonormal , para una función numérica positiva y continua f , la integral de Riemann de f sobre un intervalo [ a  ; b ] permite expresar fácilmente el área del dominio delimitada por:

Esta área es entonces igual a I (1u.a.) Donde el número I denota la integral

NB Cuando el sistema de coordenadas cartesiano deja de ser ortonormal, la medida de la superficie (área) anterior será igual a I (Mu.a.) Donde Mu.a designa el área de la "celda elemental" del sistema de coordenadas (c 'es decir, el área del paralelogramo construido sobre los dos vectores base del sistema de coordenadas): la integral, por lo tanto, corresponde a la cantidad de "celdas elementales" contenidas en la superficie medida.

Esta área se puede evaluar mediante métodos numéricos acercándose al área bajo la curva mediante superficies habituales: rectángulos o trapezoides en particular. En ciertos casos, un cálculo de límite permite determinar el valor exacto de la integral, mediante un razonamiento similar al utilizado anteriormente para el disco.

Un razonamiento que combina consideraciones de áreas y cálculo diferencial permite demostrar que

donde F es una antiderivada de f sobre [ a  ; b ] . Así, conocer las primitivas de una función permite ampliar el conjunto de áreas calculables por “división” visto anteriormente.

Así, el razonamiento de áreas y el cálculo diferencial se alimentan y enriquecen mutuamente. Por lo tanto, los cálculos de áreas tienen un impacto en muchas áreas de las matemáticas, a través de integrales, incluidas las probabilidades o estadísticas al calcular el valor promedio de una función.

Método de Montecarlo

Si el cálculo de áreas permite mejorar el conocimiento de las probabilidades a través de integrales, lo contrario también es cierto. Sea una superficie S , cuya área se conoce, que contiene otra, L de área desconocida. El método de Monte Carlo implica el envío de puntos aleatorios en S . Hay entonces el número total n S de los puntos y el número n L que se encuentran, por casualidad , en L . Es probable que la relación de las áreas L y S está cerca de la relación de n L en n S . El margen de error será estadísticamente todo el más pequeño como el número de puntos n S es grande.

Problemas de área

Cuadrando el circulo

Una de las áreas problema ha sobrevivido a los siglos, al menos desde Anaxágoras ( V º  siglo  BC. Hasta 1882, cuando) Ferdinand von Lindemann demostró que π es un número trascendental  : el de la cuadratura del círculo que consiste en la construcción, con una regla y un compás , un cuadrado de área igual al de un disco dado.

Confusión entre área y perímetro

El alcance es, con el área, una de las dos medidas principales de las figuras geométricas planas. A pesar de que no se expresan en la misma unidad, es común confundir estas dos nociones o creer que cuanto mayor es una, más también es la otra. De hecho, la ampliación (o reducción) de una figura geométrica aumenta (o disminuye) simultáneamente su área y su perímetro. Por ejemplo, si un pedazo de tierra se muestra en un mapa a una escala de 1: 10,000, el perímetro real de la tierra se puede calcular multiplicando el perímetro de la representación por 10,000 y el área multiplicando el de la representación por 10. 000 2 . Sin embargo, no existe un vínculo directo entre el área y el perímetro de ninguna figura. Por ejemplo, un rectángulo que tiene un área igual a un metro cuadrado puede tener como dimensiones, en metros: 0.5 y 2 (por lo tanto un perímetro igual a 5  m ) pero también 0.001 y 1000 (por lo tanto un perímetro de más de 2000  m ). Proclo ( V º  siglo ) los informes de que los agricultores griegos han compartido campos "equitativamente" a lo largo de su perímetro, pero con diferentes áreas. Sin embargo, la producción de un campo es proporcional al área, no al perímetro: algunos campesinos ingenuos han podido obtener campos con perímetros largos, pero un área mediocre (y por lo tanto una cosecha).

Isoperimetría, área mínima

La isoperimetría se ocupa en particular de la cuestión de encontrar la mayor superficie posible, para un perímetro dado. La respuesta es intuitiva, es el disco . Esto explica por qué, en particular, los ojos en la superficie de un caldo tienen forma circular.

Este problema aparentemente inofensivo requiere teorías sofisticadas para obtener una demostración rigurosa. El problema isoperimétrico a veces se simplifica limitando las superficies autorizadas. Por ejemplo, buscamos el cuadrilátero o el triángulo con el área más grande posible, siempre para un perímetro dado. Las respectivas soluciones son el cuadrado y el triángulo equilátero . En general, el polígono con n vértices que tiene el área más grande, en un perímetro dado, es el que se acerca más al círculo , es el polígono regular .

La isoperimetría no se limita a estas preguntas. También buscamos un área de área lo más grande posible para un perímetro dado, con diferentes geometrías. Por ejemplo, en el caso de un medio plano , la respuesta es el medio disco.

Este concepto da lugar a una familia de teoremas, conocidos como isoperimétricos , a incrementos conocidos como desigualdades isoperimétricas , así como a una relación, denominada cociente isoperimétrico . La desigualdad isoperimétrica indica que una superficie con perímetro py área a satisface el siguiente aumento:

El término de la izquierda, se llama cociente isoperimétrico, es igual a 1 si y solo si la superficie es un disco.

Si el origen de esta cuestión tiene al menos 2.900 años, no fue hasta 1895 , utilizando métodos derivados del teorema de Minkowski, que la cuestión se resolvió definitivamente en su forma antigua. Estos métodos permiten demostrar el teorema isoperimétrico y generalizarlo a dimensiones superiores en el caso de la geometría euclidiana .

El problema de la isoperimetría en el espacio tridimensional consiste en encontrar el mayor volumen contenido en una superficie de un área determinada. La respuesta es la esfera , que se traduce notablemente en forma de pompas de jabón.

Consulte el artículo isoperimetría para conocer los aspectos básicos de esta pregunta. Algunas respuestas, haciendo uso de herramientas matemáticas más sofisticadas, se proponen en el artículo El teorema isoperimétrico .

Una superficie mínima es una superficie de espacio tridimensional que, bajo ciertas limitaciones, minimiza el área en la vecindad de cada uno de sus puntos. Esto significa que una pequeña variación en esta área hace que el área sea más grande. Para un conjunto dado de restricciones, puede haber varias superficies mínimas. Las superficies mínimas son tomadas espontáneamente por una película de jabón que descansa sobre un marco porque tales superficies también minimizan las fuerzas ejercidas sobre la película. La búsqueda de tales superficies se llama en matemáticas Problema de meseta , requiere razonamiento de cálculo diferencial .

Área grande

Por el contrario, surge el problema de obtener, para un volumen dado, la figura con la mayor superficie posible. Existe una solución matemáticamente simple: una superficie sin espesor tiene volumen cero. Estas formas se encuentran en la naturaleza: una hoja de planta verde suele ser muy delgada pero ancha, para exponer la mayor superficie posible al sol, para promover la fotosíntesis . Pero una gran área del limbo de la hoja también promueve la transpiración , las plantas que tienen que luchar contra períodos de sequía ( pinos , cactus, etc.) por lo tanto, a menudo tienen hojas más gruesas para reducir su área y, por lo tanto, luchar contra la desecación.

Otra posible estrategia es tomar un sólido y perforarlo con una gran cantidad de agujeros. Por ejemplo, la esponja Menger se construye a partir de un cubo que se divide en tres porciones iguales a lo largo de cada una de las tres dimensiones. Esto da veintisiete cubos iguales, luego quitamos los cubos centrales. Obtenemos entonces un nuevo sólido, de menor volumen y mayor superficie que el anterior, compuesto por veinte cubos. Luego repetimos el mismo proceso para cada uno de estos veinte cubos, luego nuevamente para los cubos así obtenidos, etc. Repitiendo el proceso indefinidamente, obtenemos un objeto fractal que tiene un área infinita y un volumen igual a cero, mientras que tiene dimensiones (largo, ancho, profundidad) iguales a las del cubo inicial. En la naturaleza se encuentran formas muy dentadas como la esponja de Menger, cuando se trata de favorecer los intercambios entre dos ambientes: por ejemplo los pulmones de los mamíferos (para maximizar el intercambio de gases en un volumen reducido), branquias , intestinos ...

La superficie específica de un material es su área de superficie por unidad de masa: cuanto más grande es la superficie específica, más puede intercambiar el objeto con su entorno, más poroso es. Específicamente, la superficie específica es una característica física importante del suelo , que determina su capacidad para retener nutrientes e intercambiarlos con las plantas.

Historia

Gran antigüedad

Según Heródoto , la geometría en el antiguo Egipto se originó en la necesidad de distribuir equitativamente las superficies de los campos cultivados después de las inundaciones del Nilo . Los egipcios conocían las fórmulas habituales para calcular las áreas de los polígonos y la mayoría de los problemas geométricos conservados de este período se refieren a problemas de áreas.

En Babilonia, el área A se calculó a partir del perímetro P de un círculo usando un procedimiento equivalente a la fórmula:

Incluso cuando conocían el diámetro de un círculo, los escribas siempre pasaban por el cálculo de su perímetro (multiplicando el diámetro por 3) para luego obtener su área. El procedimiento fue el siguiente, como en este ejemplo, tomado de la resolución de un problema en el que se pide determinar el volumen de un tronco cilíndrico cuyo diámetro era 1 +2/3 :

Método Babilónico  -  Triple 1 +2/3, vendrán la parte superior del tronco, y 5, la circunferencia del tronco. Toma el cuadrado de 5 y llegará el 25. Multiplicar 25 por1/12, la constante y 2 +1/12, la zona, vendrá.

En Egipto, el cálculo se hizo a partir del diámetro D  :

El razonamiento probablemente fue inscribir un octágono y un círculo en un cuadrado . La figura opuesta ilustra este razonamiento: si el lado del cuadrado es el diámetro D del disco, el octágono construido en el tercio del lado del cuadrado tiene un área de

.

El área del disco se considera un poco más grande que la del octágono, es decir,

.

Grecia antigua

( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 ab
razonando sobre áreas de cuadrados.
Esta fórmula ya la conocía Arquímedes .

Mundo árabe-musulmán

Al-Khwârizmî , en su Abrégé du Calcul par la Restauration et la Comparison , analiza y resuelve las ecuaciones cuadráticas mediante consideraciones geométricas sobre áreas de cuadrados, continuando así la tradición del álgebra geométrica que se remonta a la Antigüedad.

Área

El área de un espacio de piso o una superficie física plana o izquierda es su medida física expresada en una unidad de medida . La unidad correspondiente del Sistema Internacional es el metro cuadrado o uno de sus múltiplos o submúltiplos, como ares o hectáreas .

Esta medida a veces se denomina con el término "superficie" en sí, que comparte la misma etimología.

Los cálculos de área vinculados al concepto de rendimiento agrícola y a la tributación fiscal motivaron el concepto de área en geometría . El modelado de un terreno mediante una superficie geométrica simple permite una evaluación eficiente de su área.

La superficie de las entidades administrativas (por ejemplo en Francia, la de un municipio , un departamento, etc.) puede tomar varios valores diferentes según se mida limitándose al suelo o teniendo en cuenta el agua. superficies.

Notas y referencias

  1. Zalgaller Kudryavtsev .
  2. Faraut 2006 , Prólogo.
  3. Estos son, por ejemplo, los tres que se recuerdan en Faraut 2006 , Prólogo.
  4. Perrin .
  5. El uso de este término informático para una práctica que data al menos del período Paleo-Babilónico puede parecer extraño, pero está atestiguado en Christine Proust , "  Hoyrup, 2002  ", Éducmath ,( leer en línea ).
  6. Una demostración de casos enteros y fraccionarios, basada en ejemplos, se puede encontrar en Tannery 1903 , p.  93-94. Para obtener una versión más completa, consulte Perrin , p.  9.
  7. Perrin , pág.  9.
  8. Amiot 1870 , p.  159.
  9. Amiot 1870 , p.  160.
  10. Amiot 1870 , p.  162-163.
  11. Ver un razonamiento similar, por ejemplo, en Tannery 1903 , p.  100-101 .
  12. Existen otras definiciones más generales. En particular, la impartida por el Programa de Enseñanza de las Matemáticas en el último año de la serie científica en Francia (Decreto del 20-7-2001. Publicado en el DO del 4-8-2001 , p.  67).
  13. Programa de enseñanza de las matemáticas en la clase final del ciclo científico en Francia (Decreto del 20-7-2001. Publicado en el DO de 4-8-2001 , p.  67).
  14. Curtiembre 1903 , p.  277 y siguientes para una presentación completa con demostraciones.
  15. Collette, volumen 1 , p.  55.
  16. Dominique Barataud, Área y perímetro  " , archivo de actividades educativas elaborado por el think tank nacional sobre la enseñanza de las matemáticas en sistemas de relevo , en http://eduscol.education.fr/ .
  17. (en) Thomas Little Heath , Una historia de las matemáticas griegas , vol.  2: De Aristarco a Diofanto , Dover ,( 1 st  ed. 1921) ( ISBN  978-0-48616265-2 , leer en línea ) , p.  206.
  18. Bernard Teissier , Volumes des corps convexes, géométrie et algebre  " , sobre el Instituto de Matemáticas Jussieu (lección impartida el jueves 7 de octubre de 1999, escrita por C. Reydy), p.  2 .
  19. El problema isoperimétrico  " , sobre IREM d'Orléans , p.  2 .
  20. "El problema isoperimétrico", sobre IREM d'Orléans , p.  1.
  21. Teissier 1999 , p.  6.
  22. Troyanov 2009 , p.  318, 336.
  23. Consulte ¿Qué es un área mínima , videos del Discovery Palace .
  24. Hopkins , 2003 , p.  159.
  25. Hopkins , 2003 , p.  148-149.
  26. Versteegh et al. 2005 , pág.  73.
  27. Hopkins 2003 , p.  78.
  28. Joseph y col. 2009 , c.  21.
  29. Dahan-Dalmedico y Pfeiffer , p.  120-121.
  30. Collette, volumen 1 , p.  41-42.
  31. Traducción libre y adaptación de Robson 2008 , p.  sesenta y cinco.
  32. Collette, volumen 1 , p.  95
  33. Tabla de unidades SI derivada del sitio web de la Oficina Internacional de Pesas y Medidas .
  34. "Surface", Diccionario histórico de la lengua francesa , Dictionnaires Le Robert 1992.

Ver también

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Bibliografía

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