Teoría de conjuntos de Kripke-Platek

La teoría de conjuntos de Kripke-Platek es un sistema de axiomas de primer orden para la teoría de conjuntos , desarrollado por Saul Kripke y Richard Platek . Tiene tres esquemas de axiomas , cada uno de los cuales equivale a una lista infinita de axiomas de primer orden.

Axiomas

Axioma de extensionalidad : dos conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales.
Axioma de inducción : φ ( x ) es una fórmula de primer orden:

{\ Displaystyle [\ forall x [\ forall y \ in x, \ varphi (y) \ Rightarrow \; \ varphi (x)]] \ Rightarrow \; \ forall x \ varphi (x)}

Axioma del conjunto vacío : Hay un conjunto sin elemento.
Axioma de la pareja : Si x y y son conjuntos, existe un conjunto denotado { x , y } que tiene exactamente x y y para los elementos .
Axioma de la reunión : Para cada conjunto X hay un conjunto U X cuyos elementos son los elementos de X .
Axioma de Σ 0 - separación : Para cualquier conjunto X y cualquier Σ 0 - forma de fórmula ( x ), hay un conjunto de elementos de X que satisfacen φ ( x ).
Axioma de Σ 0 -colección : Sea Σ 0- la fórmula ( x , y ) tal que para todo x hay una y que satisface φ ( x , y ); a continuación, para cada X hay un conjunto Y de Y tal que φ ( x , y ) para un x de X .

Aquí, una fórmula Σ 0- es una fórmula en la que cualquier cuantificación es de la forma o , las variables cubiertas por los cuantificadores describen un conjunto. ${\ Displaystyle \ forall u \ in v}$ ${\ Displaystyle \ existe u \ in v}$

Por lo tanto, esta teoría es significativamente más débil que la teoría ZFC habitual , ya que no incluye los axiomas del conjunto de partes, del infinito y de la elección, y utiliza formas debilitadas de comprensión y esquemas de reemplazo.

El axioma de inducción es más fuerte que el axioma fundacional de ZF.

La existencia del producto cartesiano se deriva del esquema de colección, el esquema de separación y los axiomas de par y unión.

Conjuntos y ordinales elegibles

Se dice que un conjunto E es admisible si es transitivo y si es un modelo de la teoría de Kripke-Platek. ${\ Displaystyle \ langle E, \ in \ rangle \, \!}$

Se dice que un ordinal α es admisible si L α es un conjunto admisible.