Teorema de factorización de Weierstrass

En matemáticas , y más precisamente en análisis , el teorema de factorización de Weierstrass , nombrado en honor a Karl Weierstrass , afirma que las funciones enteras pueden ser representadas por un producto infinito , llamado producto de Weierstrass , que involucra sus ceros .

El teorema de factorización de Weierstrass

De la siguiente expansión de series enteras para $u \in] -1; 1 [$ :

{\ Displaystyle \ ln (1-u) = - \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {u ^ {n}} {n}} = - u - {\ frac {u ^ {2}} {2}} - {\ frac {u ^ {3}} {3}} - \ ldots - {\ frac {u ^ {n}} {n}} - \ ldots}

deducimos que la función truncada en los $m$ primeros términos

{\ Displaystyle E (u, m) = (1-u) \ mathrm {e} ^ {u + u ^ {2} / 2 + \ ldots + u ^ {m} / m}}

es aproximadamente igual a 1 sobre [–1; 1], excepto en una vecindad de $u = 1$ donde admite un cero de orden 1. Estos factores $E ( u , m )$ se denominan factores primarios de Weierstrass. Con ellos, Weierstrass mostró que para cualquier función entera $f$ de orden finito $ρ$ y desapareciendo sobre números complejos $a n \neq 0$ , existe un polinomio $P ( s )$ de grado menor o igual a $ρ$ , y un entero $m < ρ$ tal que tenemos:

{\ Displaystyle f (s) = s ^ {p} \ exp (P (s)) \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} E \ left ({\ frac {s} {a_ {n}} }, m \ right)}

El factor $s p$ corresponde a funciones que tienen un cero de orden $p$ en 0.

A partir de entonces, Borel dijo $m$ y el grado del polinomio P . El grado de P es igual a la parte entera del orden $ρ$ si $ρ$ no es entero. Puede tomar el valor $ρ$ o el valor $ρ -1$ si el orden $ρ$ es entero. El entero $m$ está acotado por $ρ$ . Al menos uno de los dos números enteros es igual a $ρ$ si el orden es entero. Este teorema fue generalizado por Hadamard a funciones meromórficas .

Teorema de Hadamard

El teorema de factorización de Hadamard relacionado con funciones meromórficas de orden finito $ρ$ es el siguiente:

Para cualquier función meromórfica $f ( s )$ de orden finito $ρ$ existen dos enteros $m 1$ y $m 2$ menores que $ρ$ , y un polinomio $q ( s )$ de grado menor que $ρ$ tal que , donde $p$ $1$ $($ $s$ $)$ y $p$ $2$ $($ $s$ $)$ son productos de funciones canónicas de órdenes $m$ $1$ y $m$ $2$ construidas sobre los ceros $a$ $i$ y los polos $b$ $i$ de $f$ . ${\ Displaystyle f (s) = \ mathrm {e} ^ {q (s)} {\ frac {p_ {1} (s)} {p_ {2} (s)}}}$

{\ Displaystyle p_ {1} (s) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {E \ left ({\ frac {s} {a_ {n}}}, m_ {1} \ right) }, \ qquad p_ {2} (s) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {E \ left ({\ frac {s} {b_ {n}}}, m_ {2} \ right )}}

con . ${\ Displaystyle E (u, m) = (1-u) \ mathrm {e} ^ {u + u ^ {2} / 2 + \ ldots + u ^ {m} / m}}$

Es una simple consecuencia del teorema de factorización de Weierstrass y del siguiente teorema:

Cualquier función meromórfica es el cociente de dos funciones enteras.

Ejemplos de factorizaciones y aplicaciones

La forma dada por el teorema de factorización a menudo se puede reescribir (ver la sección correspondiente del artículo " Producto infinito "):

{\ Displaystyle f (z) = z ^ {m} \; \ mathrm {e} ^ {\ phi (z)} \; \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {u_ {n}}} \ right)}

, donde las

u n

son los ceros de

f

; en la práctica, la dificultad radica con mayor frecuencia en determinar la función

ϕ ( z )

Tenemos en particular

${\ Displaystyle \ sin \ pi z = \ pi z \ prod _ {n \ neq 0} \ left (1 - {\ frac {z} {n}} \ right) \ mathrm {e} ^ {z / n} = \ pi z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2}}} \ right)}$
${\ Displaystyle \ cos \ pi z = \ prod _ {n \ neq 0} \ left (1 - {\ frac {2z} {2n-1}} \ right) \ mathrm {e} ^ {2z / (2n- 1)} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {4z ^ {2}} {(2n-1) ^ {2}}} \ right)}$
Para la inversa de la función gamma , tenemos la fórmula análoga (fórmula debida a Schlömilch ) ${\ Displaystyle 1 / \ Gamma (z) = z \; \ mathrm {e} ^ {\ gamma z} \; \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z } {n}} \ derecha) \; \ mathrm {e} ^ {- z / n}}$

El producto infinito correspondiente a la función seno fue descubierto por Leonhard Euler , quien lo utilizó para resolver el problema de Basilea , y obtener de manera más general, identificando el desarrollo del producto con el de la función seno de la serie de Taylor , los valores de la Función zeta de Riemann con enteros pares:

\ zeta (2k) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac1 {n ^ {2k}} \ = \ \ frac {| B_ {2k} | \ (2 \ pi) ^ {2k}} {2 \, (2k)!}

, donde

B 2 k

son los números de Bernoulli .

Observando $x n$ la solución de la ecuación $x = tan x$ entre $n π$ y $n π + π / 2$ (para $n$ entero estrictamente positivo), también podemos obtener la expansión en el producto infinito:

{\ Displaystyle \ sin xx \ cos x = {\ frac {x ^ {3}} {3}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2 }} {x_ {n} ^ {2}}} \ right)}

, del cual se extrae (por identificación con el desarrollo en la serie de Taylor) el resultado .

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2}}} = {\ frac {1} {10}}}

Notas y referencias

Walter Rudin , Análisis real y complejo [ detalle de ediciones ], pág.283
Roger Godement, Análisis matemático , t. II, 340-342 pág.
Revue Tangente Sup , n. ° 62, p. 16 .

Ver también

Artículo relacionado

Teorema de Mittag-Leffler

Bibliografía

(in) Walter Rudin , Real and Complex Analysis , 3 e ed., Boston, McGraw Hill, 1987, p. 301-304

enlaces externos

(en) Eric W. Weisstein , " Teorema del producto Weierstrass " , en MathWorld
(en) Eric W. Weisstein , " Producto Hadamard " , en MathWorld