Teorema de wigner

El teorema de Wigner es el teorema básico de la teoría de matrices aleatorias y da el comportamiento asintótico general del espectro de una matriz de Wigner .

El cuadro

Sea una matriz aleatoria simétrica de tamaño , cuyas entradas por encima de la diagonal son variables independientes e idénticamente distribuidas . Suponemos que estas variables están centradas (su expectativa es cero) y cuya varianza es igual a . Según el teorema espectral , la matriz está diagonalizada y tiene valores propios reales (no necesariamente distintos), que están ordenados en orden descendente . Tenga en cuenta la ley espectral empírica de la matriz : en otras palabras, ${\ Displaystyle M_ {n} = (X_ {i, j}) _ {i, j \ leqslant n}}$ $n \ veces n$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {n}}}$ $M_ {n}$ $no$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} ^ {n} \ geqslant ... \ geqslant \ lambda _ {n} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mu _ {n}}$ ${\ Displaystyle M_ {n} / {\ sqrt {n}}}$

μno=1no∑I=1noδλIno{\ Displaystyle \ mu _ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ delta _ {\ lambda _ {i} ^ {n}}} ${\ Displaystyle \ mu _ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ delta _ {\ lambda _ {i} ^ {n}}}$ donde está el símbolo de Dirac . La ley espectral empírica es una ley de probabilidad que en sí misma es aleatoria: por cada realización de la variable aleatoria , valdrá un cierto valor. En particular, permite conocer la localización de los autovalores: por ejemplo, si es un intervalo, entonces es igual a la proporción de autovalores de contenido en el intervalo . $\delta$ $M_ {n}$ $[a, b]$ ${\ Displaystyle \ mu _ {n} ([a, b])}$ $M_ {n}$ $[a, b]$

Finalmente, recordemos que la ley del semicírculo es la ley de probabilidad cuya densidad con respecto a la medida de Lebesgue es la función . ${\ Displaystyle \ mu (x) = \ mathbb {I} _ {| x | \ leqslant 2} {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {4-x ^ {2}}}}$

Declaración del teorema de Wigner

En el marco presentado anteriormente, el teorema de Wigner dice que

la ley converge hacia la ley del semicírculo . Una versión débil da convergencia en el sentido de momentos : para cualquier entero , tenemos

\ mu _ {n}

k

mi[∫RXkDμno(X)]⟶∫RXkρ(X)DX{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ int _ {\ mathbb {R}} x ^ {k} d \ mu _ {n} (x) \ right] \ longrightarrow \ int _ {\ mathbb {R} } x ^ {k} \ rho (x) dx} ${\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ int _ {\ mathbb {R}} x ^ {k} d \ mu _ {n} (x) \ right] \ longrightarrow \ int _ {\ mathbb {R} } x ^ {k} \ rho (x) dx}$ cuando tiende al infinito. $no$

Evidencia

Para probar la versión débil, utilizamos una prueba combinatoria basada en números catalanes ; los momentos siguen su paridad: $\ mu$

∀r∈NO,∫XrDμ(X)=∫02Xr4-X22πDX={0Si r=2k+112k+1(2kk)Si r=2k.{\ Displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {N}, \ int x ^ {r} d \ mu (x) = \ int _ {0} ^ {2} x ^ {r} {\ frac {\ sqrt { 4-x ^ {2}}} {2 \ pi}} dx = \ left \ {{\ begin {array} {ll} 0 & {\ mbox {si}} r = 2k + 1 \\ {\ frac { 1} {2k + 1}} {\ binom {2k} {k}} & {\ mbox {si}} r = 2k. \ End {array}} \ right.} ${\ Displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {N}, \ int x ^ {r} d \ mu (x) = \ int _ {0} ^ {2} x ^ {r} {\ frac {\ sqrt { 4-x ^ {2}}} {2 \ pi}} dx = \ left \ {{\ begin {array} {ll} 0 & {\ mbox {si}} r = 2k + 1 \\ {\ frac { 1} {2k + 1}} {\ binom {2k} {k}} & {\ mbox {si}} r = 2k. \ End {array}} \ right.}$

También existe el método resolutivo . Observamos que la prueba de la familia de

funciones devuelve el problema al método de los momentos . O bien . Podemos considerar la familia de funciones de prueba y reducir el problema a una ecuación para la traza de la resolvente, en relación con los de Cauchy-Stieltjes transformar de una ley sobre definido por:

{\ Displaystyle \ {x \ mapsto x ^ {r}, r \ in \ mathbb {N} \}}

{\ Displaystyle \ mathbb {C} _ {+}: = \ {z \ in \ mathbb {C}, Im (z)> 0 \}}

{\ Displaystyle \ {x \ mapsto 1 / (xz), z \ in \ mathbb {C} _ {+} \}}

{\ Displaystyle S _ {\ nu}: \ mathbb {C _ {+}} \ flecha derecha \ mathbb {C}}

\desnudo

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

Sν(z): =∫1X-zDν(z){\ Displaystyle S _ {\ nu} (z): = \ int {\ frac {1} {xz}} d \ nu (z)} ${\ Displaystyle S _ {\ nu} (z): = \ int {\ frac {1} {xz}} d \ nu (z)}$

Notas y referencias

Djalil Chafaï, " Introducción a las matrices aleatorias "