Teorema del radón (geometría)
El teorema de Radon , o lema Radon , en conjuntos convexos establece que cualquier conjunto que contiene elementos admite una partición en dos partes cuyos cascos convexa y se encuentran.
A={a1,...,aD+2}{\ Displaystyle A = \ {a_ {1}, \ dots, a_ {d + 2} \}}
D+2{\ Displaystyle d + 2}
RD{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}
A1,A2{\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}}
VSonov(A1){\ Displaystyle \ mathrm {Conv} (A_ {1})}
VSonov(A2){\ Displaystyle \ mathrm {Conv} (A_ {2})}![{\ Displaystyle \ mathrm {Conv} (A_ {2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab4c1fb47bc9bc54e97b94c710d2f73299e4d77)
Declaración y definiciones
Cualquier conjunto que contenga elementos de admite una partición en dos partes cuyas envolventes son convexas y se encuentran. Esta partición se denomina entonces partición Radon , y un punto de intersección de las envolventes se denomina punto Radon (no es a priori uno de los puntos ).
A={a1,...,aD+2}{\ Displaystyle A = \ {a_ {1}, \ dots, a_ {d + 2} \}}
D+2{\ Displaystyle d + 2}
RD{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}
A1,A2{\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}}
VSonov(A1){\ Displaystyle \ mathrm {Conv} (A_ {1})}
VSonov(A2){\ Displaystyle \ mathrm {Conv} (A_ {2})}
aI{\ Displaystyle a_ {i}}![tengo}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f)
Ejemplo
Tomemos el ejemplo . En este caso el conjunto se compone de cuatro puntos. La partición de puede dar un conjunto de tres puntos y un singleton, el primero formando un triángulo que contiene el último punto. O la partición consta de dos conjuntos, cada uno formado por dos puntos, los segmentos se cruzan en un punto.
D=2{\ Displaystyle d = 2}
A{\ Displaystyle A}
A{\ Displaystyle A}![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
Prueba
Asumimos eso . Considere el sistema:
X={a1,...,aD+2}⊂RD{\ Displaystyle X = \ {a_ {1}, \ dots, a_ {d + 2} \} \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {d}}![{\ Displaystyle X = \ {a_ {1}, \ dots, a_ {d + 2} \} \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7389bddcab18f0726461ed7ac10fcd22f145cca8)
∑j=1D+2λjaj=0{\ Displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {d + 2} \ lambda _ {j} a_ {j} = 0}
∑j=1D+2λj=0{\ Displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {d + 2} \ lambda _ {j} = 0}
de incógnitas reales : equivale a un sistema lineal de ecuaciones con incógnitas , ya que la primera ecuación, si se desarrolla en un sistema para cada componente de (vectores en ), se transforma inmediatamente en ecuaciones lineales tradicionales. Por tanto, existe una solución distinta de cero de este sistema. Arreglemos tal solución. Entonces planteemos:
λ1,...,λD+2{\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {d + 2}}
D+1{\ Displaystyle d + 1}
D+2{\ Displaystyle d + 2}
λ1,...,λD+2{\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {d + 2}}
aI{\ Displaystyle a_ {i}}
RD{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}
D{\ Displaystyle d}
λ1,λ2,...,λD+2{\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ dots, \ lambda _ {d + 2}}![{\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ dots, \ lambda _ {d + 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f087bba211321795b76ec220b5c1688b579d5ebb)
I1={I∣λI>0}{\ Displaystyle I_ {1} = \ {i \, \ mid \, \ lambda _ {i}> 0 \}}
I2={I∣λI≤0}{\ Displaystyle I_ {2} = \ {i \, \ mid \, \ lambda _ {i} \ leq 0 \}}
Dado que la suma de es cero mientras que no son todos cero, y no están vacíos.
λI{\ Displaystyle \ lambda _ {i}}
λI{\ Displaystyle \ lambda _ {i}}
I1{\ Displaystyle I_ {1}}
I2{\ Displaystyle I_ {2}}![I_ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3506ae39df854f347365bae6f326ef4f565be5)
La partición requerida de es entonces y
. De hecho, es inmediato comprobar desde el sistema que:
A{\ Displaystyle A}
A1={aI∣I∈I1}{\ Displaystyle A_ {1} = \ {a_ {i} \, \ mid \, i \ en I_ {1} \}}
A2={aI∣I∈I2}{\ Displaystyle A_ {2} = \ {a_ {i} \, \ mid \, i \ en I_ {2} \}}![{\ Displaystyle A_ {2} = \ {a_ {i} \, \ mid \, i \ en I_ {2} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1b0471ef9d8e456f6e2dfc76e7bfa6e0406d81)
∑I∈I1aIλI∑I∈I1λI=∑I∈I2aIλI∑I∈I2λI{\ Displaystyle {\ frac {\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I_ {1}} a_ {i} \ lambda _ {i}} {\ displaystyle \ sum _ {i \ in I_ {1}} \ lambda _ {i}}} = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {i \ in I_ {2}} a_ {i} \ lambda _ {i}} {\ displaystyle \ sum _ {i \ in I_ {2}} \ lambda _ {i}}}}
y esta fórmula proporciona un punto común para las envolventes convexas de y de .
A1{\ Displaystyle A_ {1}}
A2{\ Displaystyle A_ {2}}![A_ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec73b8bc9abc3efb934f5a6ec2803713771f4bc)
Historia
Este resultado fue publicado por primera vez por Johann Radon en 1921. Aparece allí como un resultado intermedio en la demostración del teorema de Helly , que explica el nombre actual del lema .
Teorema de tverberg
Helge Tverberg (de) demostró en 1966 una generalización de este teorema para particiones de subconjuntos en r . El teorema de Tverberg establece que:
A{\ Displaystyle A}![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
Un conjunto de puntos de admite una partición en subconjuntos cuya intersección de las envolventes convexas no está vacía.A{\ Displaystyle A}
1+(D+1)(r-1){\ Displaystyle 1+ (d + 1) (r-1)}
RD{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}
r{\ Displaystyle r}
Notas y referencias
-
(De) J. Radon , " Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten " , Math. Ana. , vol. 83,1921, p. 113-115
-
(en) Jiri Matousek , Conferencias sobre geometría discreta [ ediciones minoristas ]
-
(en) H. Tverberg , " Una generalización del teorema de Radon " , J. London Math. Soc. , vol. 41,1966, p. 121-128
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">