Teorema de Moivre-Laplace

En la teoría de la probabilidad , de acuerdo con el teorema de Moivre-Laplace , si la variable sigue una ley binomial de orden y parámetro , entonces la variable $X_ {n}$ $no$ $p \ in] 0,1 [$

Z_ {n} = {\ frac {X_ {n} -np} {{\ sqrt {np (1-p)}}}}

converge en derecho hacia un derecho normal centrado y reducido . ${\ mathcal {N}} (0,1)$

Abraham de Moivre fue el primero en establecer este teorema en 1733 en el caso especial ; y Laplace pudo generalizarlo en 1812 para cualquier valor entre 0 y 1. Este es un caso especial del teorema del límite central . $p = {\ frac 12}$ $pag$

Demostración

Prueba del teorema de Moivre-Laplace

Sea una secuencia de variables binomiales . $X_ {n}$ $X_ {n} \ sim {\ mathcal {B}} (n, \, p)$

La función característica de es: $X_ {n}$

\ varphi _ {{X_ {n}}} (t) = (p {\ mathrm e} ^ {{{\ mathrm i} t}} + q) ^ {n}

El de es:

Z_ {n} = {\ frac {X_ {n} -np} {{\ sqrt {npq}}}}

\ varphi _ {{Z_ {n}}} (t) = (p {\ mathrm e} ^ {{{\ frac {{\ mathrm i} t} {{\ sqrt {npq}}}}}}} + q) ^ {{n}} {\ mathrm e} ^ {{{\ frac {- {\ mathrm i} tnp} {{\ sqrt {npq}}}}}}

Calculemos el logaritmo de esta función:

$\ ln \ varphi _ {{Z_ {n}}} (t) = n \ ln {\ big [} (p {\ mathrm e} ^ {{{\ frac {{\ mathrm i} t} {{\ sqrt {npq}}}}}} + q) {\ grande]} - {\ frac {{\ mathrm i} tnp} {{\ sqrt {npq}}}} = n \ ln {\ grande [} (p ( {\ mathrm e} ^ {{{\ frac {{\ mathrm i} t} {{\ sqrt {npq}}}}}} - 1) +1) {\ big]} - {\ frac {{\ mathrm i} tnp} {{\ sqrt {npq}}}}$ .

Desarrolla el orden exponencial a 2 e , se deduce que:

$\ ln \ varphi _ {{Z_ {n}}} (t) \ approx n \ ln {\ bigg [} 1 + p {\ bigg (} {\ frac {{\ mathrm i} t} {{\ sqrt { npq}}}} - {\ frac {t ^ {2}} {2npq}} {\ bigg)} {\ bigg]} - {\ frac {{\ mathrm i} tnp} {{\ sqrt {npq}} }}$ .

Luego, el desarrollo del logaritmo a 2 e incluye:

$\ ln \ varphi _ {{Z_ {n}}} (t) \ approx n {\ bigg (} {\ frac {{\ mathrm i} pt} {{\ sqrt {npq}}}} - {\ frac { pt ^ {2}} {2npq}} + {\ frac {p ^ {2} t ^ {2}} {2npq}} {\ bigg)} - {\ frac {{\ mathrm i} tnp} {{\ sqrt {npq}}}} = - {\ frac {t ^ {2}} {2q}} + {\ frac {pt ^ {2}} {2q}} = {\ frac {t ^ {2}} { 2q}} (p-1) = - {\ frac {t ^ {2}} {2}}$ .

Se ha demostrado que:

\ ln \ varphi _ {{Z_ {n}}} (t) \ approx {\ frac {-t ^ {2}} {2}}

y deducimos que

\ varphi _ {{Z_ {n}}} (t) \ approx {\ mathrm e} ^ {{{\ frac {-t ^ {2}} {2}}}}

Ésta es la función característica de la distribución normal centrada reducida . ${\ mathcal {N}} (0,1)$

Solicitud

En otras palabras, si sigue una distribución binomial de parámetros nyp y si es la función de distribución de entonces, para cualquier t real , tenemos: $X_ {n}$ $\ Phi$ ${\ mathcal {N}} (0,1)$

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \ operatorname {P} \ left ({\ frac {X_ {n} -np} {{\ sqrt {npq}}}} \ leq t \ right) = \ Phi (t)

lo que significa que, para n lo suficientemente grande ,

\ operatorname {P} \ left ({\ frac {X_ {n} -np} {{\ sqrt {npq}}}} \ leq t \ right) \ approx \ Phi (t)

que da, planteando , la siguiente aproximación para la probabilidad de tener el mayor éxito: $t = {\ frac {x-np} {{\ sqrt {npq}}}}$ $X$

\ operatorname {P} (X_ {n} \ leq x) \ approx \ Phi \ left ({\ frac {x-np} {{\ sqrt {np (1-p)}}}} \ right)

Esta aproximación generalmente es buena para . $np (1-p) \ geq 10$

En la práctica, sin embargo, debemos prestar atención al hecho de que las variables son discretas. Gráficamente, esto se traduce en el hecho de que los extremos de las varillas del diagrama de distribución binomial están cerca de la curva de densidad de la distribución normal . Se puede obtener un valor aproximado calculando el área bajo la curva de densidad entre las líneas de abscisas y . $X_ {n}$ $X_ {n} \ sim {\ mathcal {B}} (n, \, p)$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (np, npq)}$ ${\ mathrm {P}} (X_ {n} = x)$ $x - {\ frac 12}$ $x + {\ frac 12}$

\ operatorname {P} (X_ {n} = x) \ approx \ operatorname {P} \ left ({\ frac {x - {\ frac {1} {2}} - np} {{\ sqrt {npq}} }} \ leq N \ leq {\ frac {x + {\ frac {1} {2}} - np} {{\ sqrt {npq}}}} \ derecha)

\ operatorname {P} (X_ {n} \ leq x) \ approx \ operatorname {P} \ left (N \ leq {\ frac {x + {\ frac {1} {2}} - np} {{\ sqrt {npq}}}} \ derecha)

Este procedimiento se denomina " corrección de continuidad ".

Ejemplo

$X_ {n} \ sim {\ mathcal {B}} (50, \, 0 {,} 3)$ ; ; $np = 15$ $nq = 35$

De las tablas, el valor exacto de . ${\ mathrm {P}} (X_ {n} = 10) = 0 {,} 038 \, 619$

La fórmula de aproximación con una ley da el resultado: ${\ mathcal {N}} (np, {\ sqrt {npq}}) = {\ mathcal {N}} (15, {\ sqrt {10 {,} 5}})$

\ operatorname {P} \ left ({\ frac {9 {,} 5-15} {{\ sqrt {10 {,} 5}}}} \ leq N \ leq {\ frac {10 {,} 5-15 } {{\ sqrt {10 {,} 5}}}} \ derecha)

\ operatorname {P} (- 1 {,} 7 \ ​​leq N \ leq -1 {,} 39) = \ operatorname {P} (1,39 \ leq N \ leq 1 {,} 7) = 0 { ,} 955 \, 4-0 {,} 917 \, 7 = 0 {,} 037 \, 7

El error de aproximación es pequeño.

Porque , la aproximación habitual proporciona ${\ mathrm {P}} (X_ {n} \ leq 10) = 0 {,} 078 \, 9$

{\ mathrm {P}} (N \ leq -1 {,} 39) = {\ mathrm {P}} (N \ geq 1 {,} 39) = 1 - {\ mathrm {P}} (N \ leq 1 {,} 39) = 0 {,} 082 \, 3

Si no hubiéramos corregido la continuidad de la aproximación hubiéramos tenido:

\ operatorname {P} \ left (N \ leq {\ frac {10-15} {{\ sqrt {10 {,} 5}}}} \ right) = \ operatorname {P} (N \ leq -1 {, } 54) = 1- \ operatorname {P} (N \ leq 1 {,} 54) = 0 {,} 061 \, 8

Este último valor es bastante impreciso.

Ver también

Bibliografía

Denis Lantier, Didier Trotoux, “La Ley de los Grandes Números: el teorema de De Moivre-Laplace”, en Contribución a una aproximación histórica a la enseñanza de las matemáticas: actas de la 6 ª universidad de verano interdisciplinario en la historia de las matemáticas , Besançon, University Press de Franche-Comté / Universidad de Franche-Comté, coll. "Las publicaciones del IREM de Besançon", 1995, 490 p. ( ISBN 2-909963-136 y 978-2909963136 ) , pág. 259-294 [ leer en línea ] [PDF] .