Descomposición primaria

La descomposición primaria es una generalización de la descomposición de un número entero en factores primos . Esta última descomposición, conocida desde Gauss (1832) con el nombre de teorema fundamental de la aritmética , se extiende naturalmente al caso de un elemento de un anillo principal . Una descomposición más general es la de un ideal de un anillo de Dedekind como producto de ideales primarios ; fue obtenido en 1847 por Kummer (en el todavía difícil formalismo de los "números ideales") durante su investigación sobre el último teorema de Fermat , y luego formalizado casi definitivamente alrededor de 1871 por Dedekind , a quien debemos la noción de ideal. La descomposición primaria, que es el tema de este artículo, es aún más general; se debe a Lasker que, en un grueso artículo publicado en 1905, consideró la descomposición de ideales de "anillos afines" (es decir, de álgebras de tipo finito sobre un campo conmutativo ) y de ideales de anillos de series convergentes , y a Emmy Noether quien, en un notable artículo de 1921, colocó esta descomposición primaria en su marco final, el de los anillos que ahora llamamos noetherianos . La teoría de E. Noether trataba de la descomposición primaria de un ideal en un anillo noetheriano; Este marco se ha ampliado en los elementos matemáticos de Bourbaki donde por primera vez se ha considerado la descomposición primaria de un tipo de módulo sobre un anillo noetheriano. Existe una teoría de la descomposición primaria en anillos no conmutativos denominados abetos ( anillos ideales libres ) y, en particular, en anillos principales no conmutativos . Sin embargo, no hay descomposición primaria en ningún anillo noetheriano no conmutativo, como demostró Krull en 1928.

Introducción

Comencemos por examinar la factorización en el anillo ℤ de los enteros relativos, lo que nos permitirá introducir algunas nociones esenciales. Sea n un número entero relativo. Puede escribirse de forma única como

no=±∏1≤I≤kpagImetroI{\ Displaystyle n = \ pm \ prod \ limits _ {1 \ leq i \ leq k} p_ {i} ^ {m_ {i}}}

donde son enteros estrictamente positivos y donde son números primos distintos. Tenga en cuenta el ideal de ℤ generado por n y el ideal generado pormetroI{\ Displaystyle m_ {i}}pagI{\ Displaystyle p_ {i}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}qI{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}pagImetroI.{\ Displaystyle p_ {i} ^ {m_ {i}}.}

Los ideales tienen la siguiente propiedad: si son tales que , y si , entonces existe un entero tal que (simplemente tome ). Se dice que un ideal que verifica esta propiedad es primario . qI{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}r,s∈Z{\ Displaystyle r, s \ in \ mathbb {Z}}rs∈qI{\ Displaystyle rs \ in {\ mathfrak {q}} _ {i}}r∉qI{\ Displaystyle r \ notin {\ mathfrak {q}} _ {i}}metro>0{\ Displaystyle m> 0}smetro∈qI{\ Displaystyle s ^ {m} \ in {\ mathfrak {q}} _ {i}}metro=metroI{\ Displaystyle m = m_ {i}}

O bien . Este ideal es primo, ya que es generado por un número primo; más específicamente ,, y si son tales que y si , entonces . Este ideal primo se llama radical de y se anota . Se dice que el ideal es primario . La descomposición de n en factores primos anteriores se puede escribir pagI=(pagI){\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} = \ left (p_ {i} \ right)}pagI⫋Z{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} \ subsetneqq \ mathbb {Z}}r,s∈Z{\ Displaystyle r, s \ in \ mathbb {Z}}rs∈pagI{\ Displaystyle rs \ in {\ mathfrak {p}} _ {i}}r∉pagI{\ Displaystyle r \ notin {\ mathfrak {p}} _ {i}}s∈pagI{\ Displaystyle s \ in {\ mathfrak {p}} _ {i}}pagI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}qI{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}qI{\ Displaystyle {\ sqrt {{\ mathfrak {q}} _ {i}}}}qI{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}pagI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}

a=⋂1≤I≤kqI{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ bigcap \ límites _ {1 \ leq i \ leq k} {\ mathfrak {q}} _ {i}}

y se dice que esta descomposición es primaria . Se dice que el primer ideal está asociado con . El conjunto de ideales principales asociados con está determinado de forma única por . Asimismo, el conjunto de ideales primarios involucrados en la descomposición primaria de está determinado únicamente porpagI=qI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} = {\ sqrt {{{\ mathfrak {q}} _ {i}}}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}qI{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}a.{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}.}

Descomposición primaria de un ideal

Teoremas de descomposición primaria y unicidad

Pasemos ahora al caso general. En lo que sigue, todos los anillos son conmutativos. De cualquier Un anillo y un ideal de A . Como antes, diremos que es primario si tiene la siguiente propiedad: si son tales que , y si , entonces existe un número entero tal queq{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}q{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}r,s∈A{\ Displaystyle r, s \ in A}rs∈q{\ Displaystyle rs \ in {\ mathfrak {q}}}r∉q{\ Displaystyle r \ notin {\ mathfrak {q}}}metro>0{\ Displaystyle m> 0}smetro∈q.{\ Displaystyle s ^ {m} \ in {\ mathfrak {q}}.}

• Por ejemplo, los ideales primarios en ℤ son y donde p es un número primo y es un entero estrictamente positivo.(0){\ Displaystyle \ left (0 \ right)}(pagmetro){\ Displaystyle \ left (p ^ {m} \ right)}metro{\ Displaystyle m}

El radical de un ideal de A es el conjunto a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}

a={X∈A|∃metro∈NO:Xmetro∈a}{\ Displaystyle {\ sqrt {\ mathfrak {a}}} = \ left \ {x \ in A | \ existe m \ in \ mathbb {N}: x ^ {m} \ in {\ mathfrak {a}} \ derecho \}}

(donde ℕ es el conjunto de enteros estrictamente positivos). Demostramos que es un ideal, y más precisamente que se trata de la intersección de todos los ideales primos que contiene. En particular, el radical del ideal primario es el ideal primo más pequeño que contiene . (Vemos aquí una primera diferencia con el caso particular  : un ideal primo diferente de ya no es necesariamente máximo, y por lo tanto pueden existir ideales primos tales como .) Nótese que si es un ideal primo, el ideal generado por productos (donde y es un número entero ) no es necesariamente un ideal primario, aunque su radical es ; ya la inversa, un ideal primario de un radical no es necesariamente un poder de . En contraste, los poderes de un ideal máximo son primarios. a{\ Displaystyle {\ sqrt {\ mathfrak {a}}}}a.{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}.}q{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}q.{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}.}A=Z{\ Displaystyle A = \ mathbb {Z}}{0}{\ Displaystyle \ left \ {0 \ right \}}pag,pag′{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}, {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime}}{0}⫋pag⫋pag′{\ Displaystyle \ left \ {0 \ right \} \ subsetneqq {\ mathfrak {p}} \ subsetneqq {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime}}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}pagmetro{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {m}}X1...Xmetro{\ Displaystyle x_ {1} ... x_ {m}}XI∈pag{\ Displaystyle x_ {i} \ in {\ mathfrak {p}}}metro{\ Displaystyle m}≥2{\ Displaystyle \ geq 2}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}q{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}} metro{\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}metro{\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}

De cualquier Un anillo y un ideal de A . Una descomposición primaria de es una expresión a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}

a=⋂1≤I≤kqI{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ bigcap \ límites _ {1 \ leq i \ leq k} {\ mathfrak {q}} _ {i}}

donde los ideales son primordiales. Si estos ideales son tales que (i) los ideales primarios son distintos y (ii) , se dice que esta descomposición primaria se reduce . Si admite una descomposición primaria (en cuyo caso decimos que es descomponible ), podemos reducirnos al caso en que éste se reduce ignorando los términos redundantes y agrupándolos que tienen el mismo radical, porque si y son dos ideales primarios que tienen mismo radical , luego es nuevamente -primario (demostración fácil). qI{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}pagI=qI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} = {\ sqrt {{{\ mathfrak {q}} _ {i}}}}qI⊉⋂j≠Iqj{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i} \ nsupseteq \ bigcap \ nolimits _ {j \ neq i} {\ mathfrak {q}} _ {j}} (1≤I≤k){\ Displaystyle \ left (1 \ leq i \ leq k \ right)}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}qI{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i}}q1{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {1}}q2{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {2}}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}q1∩q2{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {1} \ cap \ mathbf {q} _ {2}}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}

Por , denote el conjunto de tal que . Es inmediato que es un ideal y tenemos el siguiente resultado: X∈A{\ Displaystyle x \ in A}(a:X){\ Displaystyle \ left ({\ mathfrak {a}}: x \ right)}y∈A{\ Displaystyle y \ in A}Xy∈a{\ Displaystyle xy \ in {\ mathfrak {a}}}(a:X){\ Displaystyle \ left ({\ mathfrak {a}}: x \ right)}

Primer teorema de unicidad  :  suponga que el ideal esdescomponible y seauna descomposición primaria reducida de. O bien. Los ideales primosson aquellos que forman parte del conjunto de ideales() y, por tanto, son independientes de la descomposición particular de. a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}a=⋂1≤I≤kqI{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ bigcap \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq k} {\ mathfrak {q}} _ {i}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}pagI=qI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} = {\ sqrt {{{\ mathfrak {q}} _ {i}}}} (1≤I≤k){\ Displaystyle \ left (1 \ leq i \ leq k \ right)}pagI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}(a:X){\ Displaystyle {\ sqrt {\ left ({\ mathfrak {a}}: x \ right)}}}X∈A{\ Displaystyle x \ in A}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}

Al igual que en la introducción, diremos que los ideales primos se asocian con . Un ideal es primario si y solo si tiene un solo ideal primario asociado con él. Entre estos ideales primarios ( ), hay mínimos (hemos visto, de hecho, que por lo tanto pueden existir ideales primarios como ). Se denominan ideales primarios aislados , mientras que los demás se denominan sumergidos . pagI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}q{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}pagI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}(1≤I≤k){\ Displaystyle \ left (1 \ leq i \ leq k \ right)}pag,pag′{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}, {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime}}{0}⫋pag⫋pag′{\ Displaystyle \ left \ {0 \ right \} \ subsetneqq {\ mathfrak {p}} \ subsetneqq {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime}}

Tenemos el siguiente resultado:

Segundo teorema de unicidad  :  seaun ideal descomponible,una descomposición primaria reducida deyun conjunto de ideales primos aislados asociados con. Entonceses independiente de la descomposición. a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}a=⋂1≤I≤kqI{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ bigcap \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq k} {\ mathfrak {q}} _ {i}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}{pagI1,...,pagIr}{\ Displaystyle \ left \ {{\ mathfrak {p}} _ {i_ {1}}, ..., {\ mathfrak {p}} _ {i_ {r}} \ right \}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}qI1∩...∩qIr{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {i_ {1}} \ cap ... \ cap {\ mathfrak {q}} _ {i_ {r}}}

Se dice que un anillo A es laskeriano si cualquier ideal de A es descomponible.

Teorema de Lasker-Noether  :  un anillo noetheriano es laskeriano.

Interpretación en geometría algebraica

La terminología utilizada anteriormente proviene de la geometría algebraica : sea k un campo conmutativo algebraicamente cerrado y un ideal de . Este ideal es de tipo finito, porque según el teorema de la base de Hilbert , el anillo A es noetheriano. El conjunto de tales que para cualquier polinomio es un conjunto algebraico en "espacio afín" ; se dice que este conjunto algebraico está asociado con el ideal , y se anota . El teorema de los ceros de Hilbert demuestra que , de ahí la importancia de los ideales radiciels , es decir, aquellos que son iguales a su raíz. Para cualquier conjunto algebraico , denote la raíz ideal (determinada unívocamente) tal que . (Para aclarar lo que se ha dicho, la aplicación del conjunto de ideales radiales de A al conjunto de subconjuntos algebraicas de , estos conjuntos de ser ordenado por la inclusión, es una biyección decreciente cuya recíproca biyección es ). Un conjunto algebraico se dice que es ser irreductible si no está vacío y si no es una unión de dos subconjuntos algebraicos y distintos de . Un conjunto algebraico irreducible se llama variedad algebraica . Un conjunto algebraico se puede expresar como la unión de un número finito de variedades algebraicas , ..., determinadas de forma única si se requiere la condición para . A continuación, se denominan componentes irreducibles de . Un conjunto algebraico es irreducible si y solo si el ideal es primo. Los ideales primos aislados corresponden a los componentes irreductibles de mientras que los ideales primos inmersos corresponden a variedades inmersas en los componentes irreducibles. Sean ( ) los ideales primos aislados asociados con el ideal  ; tenemos donde están los componentes irreductibles de . a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}A=k[X1,...,Xno]{\ Displaystyle A = k \ left [X_ {1}, ..., X_ {n} \ right]}(X1,...,Xno)∈kno{\ Displaystyle \ left (x_ {1}, ..., x_ {n} \ right) \ in k ^ {n}}F(X1,...,Xno)=0{\ Displaystyle f \ left (x_ {1}, ..., x_ {n} \ right) = 0}F∈a{\ Displaystyle f \ in {\ mathfrak {a}}}kno{\ Displaystyle k ^ {n}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}Z(a){\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}Z(a)=Z(a){\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right) = {\ mathcal {Z}} \ left ({\ sqrt {\ mathfrak {a}}} \ right)}V{\ Displaystyle V}I(V){\ Displaystyle {\ mathfrak {I}} \ left (V \ right)}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}Z(a)=V{\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right) = V}a↦Z(a){\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} \ mapsto {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}kno{\ Displaystyle k ^ {n}}V↦I(V){\ Displaystyle V \ mapsto {\ mathfrak {I}} \ left (V \ right)}V∈kno{\ Displaystyle V \ en k ^ {n}}V1{\ Displaystyle V_ {1}}V2{\ Displaystyle V_ {2}}V{\ Displaystyle V}V{\ Displaystyle V}V1{\ Displaystyle V_ {1}}Vr{\ Displaystyle V_ {r}}VI⊉Vj{\ Displaystyle V_ {i} \ nsupseteq V_ {j}}I≠j{\ Displaystyle i \ neq j}VI{\ Displaystyle V_ {i}}V{\ Displaystyle V}V=Z(a){\ Displaystyle V = {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}I(V){\ Displaystyle {\ mathfrak {I}} \ left (V \ right)}V{\ Displaystyle V}pagI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}1≤I≤k′{\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq k '}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}Z(a)=⋃1≤I≤k′Z(pagI){\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right) = \ bigcup \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq k ^ {\ prime}} {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p}} _ {i} \ right)}Z(pagI){\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p}} _ {i} \ right)}Z(a){\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}

• Ejemplo : Vamos , , , . El conjunto algebraico es la línea ; es una variedad que coincide con , mientras que es el conjunto , es decir, el origen. Todo se desvanece en una multiplicidad originalmente, y por el contrario todas con esta propiedad es un múltiplo , . Tenemos las dos descomposiciones primarias reducidas distintas , lo que muestra que no hay unicidad de la descomposición primaria reducida. El primer ideal está sumergido, lo que corresponde al hecho de que el primer ideal , en cambio, está aislado. Tenga en cuenta que, aunque el ideal no es primario, el conjunto algebraico es una variedad algebraica. Tenga en cuenta también que es un ejemplo de un ideal primario que no es un poder de su radical .A=k[X,Y]{\ Displaystyle A = k \ left [X, Y \ right]}a=(X2,XY){\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ left (X ^ {2}, XY \ right)}pag1=(X){\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1} = \ left (X \ right)}pag2=(X,Y){\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {2} = \ left (X, Y \ right)}Z(a){\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}X=0{\ Displaystyle x = 0}Z(pag1){\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p}} _ {1} \ right)}Z(pag2){\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p}} _ {2} \ right)}X=0,y=0{\ Displaystyle x = 0, y = 0}F∈a{\ Displaystyle f \ in {\ mathfrak {a}}}X=0{\ Displaystyle x = 0}≥2{\ Displaystyle \ geq 2}F∈A{\ Displaystyle f \ in A}gramoX{\ displaystyle gX}gramo∈pag2{\ Displaystyle g \ in {\ mathfrak {p}} _ {2}}a=pag1∩pag22=pag1∩(X2,Y){\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = {\ mathfrak {p}} _ {1} \ cap {\ mathfrak {p}} _ {2} ^ {2} = {\ mathfrak {p}} _ {1 } \ cap \ left (X ^ {2}, Y \ right)}pag2{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {2}}Z(pag2)=(0,0)⊊Z(pag1).{\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p}} _ {2} \ right) = \ left (0,0 \ right) \ varsubsetneq {\ mathcal {Z}} \ left ({ \ mathfrak {p}} _ {1} \ derecha).}pag1{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1}}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}Z(a){\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}(X2,Y){\ Displaystyle \ left (X ^ {2}, Y \ right)}(X,Y){\ Displaystyle \ left (X, Y \ right)}

Spec, Supp y Ass

En lo que sigue, A denota un anillo conmutativo.

Espectro primario de un anillo

Deje X el conjunto de ideales primos de A . Para cada subconjunto P de A incluir todos los ideales primos de A que contiene P . Si es el ideal generado por P , tenemos , y este conjunto sigue siendo igual a . La aplicación está disminuyendo por la inclusión de las relaciones en X y A . Fue , y se muestra fácilmente, que las partes son conjuntos cerrados de una topología en X , denominada topología de Zariski . V(PAG){\ Displaystyle {\ mathcal {V}} \ left (P \ right)}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}V(PAG)=V(a){\ Displaystyle {\ mathcal {V}} \ left (P \ right) = {\ mathcal {V}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}V(a){\ Displaystyle {\ mathcal {V}} \ left ({\ sqrt {\ mathfrak {a}}} \ right)}PAG↦V(PAG){\ Displaystyle P \ mapsto {\ mathcal {V}} \ left (P \ right)}V(0))=X{\ Displaystyle {\ mathcal {V}} \ left (0) \ right) = X}V(A)=0{\ Displaystyle {\ mathcal {V}} \ left (A \ right) = 0}V(PAG){\ Displaystyle {\ mathcal {V}} \ left (P \ right)}

Este conjunto X , provisto de la topología de Zariski, se denomina espectros primos de A y se denota . Spagmivs(A){\ Displaystyle Spec \ left (A \ right)}

Soporte de un módulo

Ya sea M un A -módulo y un ideal primo de A . pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}

El conjunto es una parte multiplicativa de A , es decir , si , entonces (de hecho, si , entonces o , por definición de un ideal primo). Se puede así formar los restos de anillo que consisten en fracciones , , , es decir el anillo de fracciones , , . Recuerda eso si, y solo si existe tal que . S=A-pag{\ Displaystyle S = A - {\ mathfrak {p}}}s,t∈S{\ Displaystyle s, t \ in S}st∈S{\ Displaystyle st \ in S}st∈pag{\ Displaystyle st \ in {\ mathfrak {p}}}s∈pag{\ Displaystyle s \ in {\ mathfrak {p}}}t∈pag{\ Displaystyle t \ in {\ mathfrak {p}}} S-1A=Apag{\ Displaystyle S ^ {- 1} A = A _ {\ mathfrak {p}}}X/s{\ displaystyle x / s}X∈A{\ Displaystyle x \ in A}s∈S{\ Displaystyle s \ in S}X/s{\ displaystyle x / s}X∈A{\ Displaystyle x \ in A}s∉pag{\ Displaystyle s \ notin {\ mathfrak {p}}}X/s=0{\ Displaystyle x / s = 0}t∈A-pag{\ Displaystyle t \ in A - {\ mathfrak {p}}}tX=0{\ displaystyle tx = 0}

Denotamos el producto tensorial , que canónicamente está dotado de una estructura de módulo. Cualquier elemento de es de la forma . Para que sea ​​cero, es necesario y suficiente que exista tal que . METROpag{\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}}}Apag⊗METRO{\ Displaystyle A _ {\ mathfrak {p}} \ otimes M}Apag{\ Displaystyle A _ {\ mathfrak {p}}}METROpag{\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}}}metro/s{\ displaystyle m / s} (metro∈METRO,s∈A-pag){\ Displaystyle \ left (m \ en M, s \ en A - {\ mathfrak {p}} \ right)}metro/s{\ displaystyle m / s}t∈A-pag{\ Displaystyle t \ in A - {\ mathfrak {p}}}smetro=0{\ displaystyle sm = 0}

Llamamos apoyo de M , y denotamos por el conjunto de ideales primarios de A tal que .Stupagpag(METRO){\ Displaystyle Supp \ left (M \ right)}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}METROpag≠0{\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} \ neq 0}

Para cualquier submódulo N de M , denote el cancelador de N , es decir, el ideal formado por los elementos a de A tales que , y denote el cancelador de Am . Indiquemos, sin ser exhaustivos, algunas propiedades del soporte: Anono(NO){\ Displaystyle Ann \ left (N \ right)}aNO=0{\ Displaystyle aN = 0}Anono(metro){\ Displaystyle Ann \ left (m \ right)}

Propiedades de los medios  - 

(I)

Stupagpag(METRO)=⋃metro∈METROV(Anono(metro)).{\ Displaystyle Supp \ left (M \ right) = \ bigcup \ limits _ {m \ in M} {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (m \ right) \ right).}

(ii) En particular, si M es de tipo finito, tenemos y este conjunto está cerrado enStupagpag(METRO)=V(Anono(METRO)){\ Displaystyle Supp \ left (M \ right) = {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (M \ right) \ right)}Spagmivs(A).{\ Displaystyle Spec \ left (A \ right).}

(iii) si, y solo siMETRO≠{0}{\ Displaystyle M \ neq \ left \ {0 \ right \}}Stupagpag(METRO)≠∅.{\ Displaystyle Supp \ left (M \ right) \ neq \ varnothing.}

(iv) Si , entoncespag∈Stupagpag(METRO){\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in Supp \ left (M \ right)}V(pag)⊂Stupagpag(METRO).{\ Displaystyle {\ mathcal {V}} \ left ({\ mathfrak {p}} \ right) \ subset Supp \ left (M \ right).}

Demostración

(i): Tenemos si, y sólo si no hay t en y m en M tal que . Esto equivale a decir que si , entonces , o que si ( ), entonces , sigue siendo para todo . Esto prueba que METROpag≠0{\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} \ neq 0}A-pag{\ Displaystyle A - {\ mathfrak {p}}}tmetro=0{\ displaystyle tm = 0}tmetro=0{\ displaystyle tm = 0}t∈pag{\ Displaystyle t \ in {\ mathfrak {p}}}t∈Anono(metro){\ Displaystyle t \ en Ann \ left (m \ right)}metro∈METRO{\ Displaystyle m \ in M}t∈pag{\ Displaystyle t \ in {\ mathfrak {p}}}Anono(metro)⊂pag{\ Displaystyle Ann \ left (m \ right) \ subconjunto {\ mathfrak {p}}}metro∈METRO{\ Displaystyle m \ in M}

Stupagpag(METRO)=⋃metro∈METROV(Anono(metro)){\ Displaystyle Supp \ left (M \ right) = \ bigcup \ limits _ {m \ in M} {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (m \ right) \ right)}.

(ii): Si M es de tipo finito, generado por , entonces metro1,...,metrok{\ Displaystyle m_ {1}, ..., m_ {k}}

⋃metro∈METROV(Anono(metro))=⋃1≤I≤kV(Anono(metrok))=V(Anono(METRO)){\ Displaystyle \ bigcup \ limits _ {m \ in M} {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (m \ right) \ right) = \ bigcup \ limits _ {1 \ leq i \ leq k} {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (m_ {k} \ right) \ right) = {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (M \ right) \ right)},

conjunto que está cerrado por definición de topología de Zariski. Spagmivs(A){\ Displaystyle Spec \ left (A \ right)}

(iii): Si existe en M , entonces existe un ideal máximo que contiene según el teorema de Krull . Este ideal máximo es primordial, por lo tanto . Lo contrario es obvio. metro≠0{\ Displaystyle m \ neq 0}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}Anono(metro){\ Displaystyle Ann \ left (m \ right)}Stupagpag(METRO)⊃V(Anono(metro))≠∅{\ Displaystyle Supp \ left (M \ right) \ supset {\ mathcal {V}} \ left (Ann \ left (m \ right) \ right) \ neq \ varnothing}

(iv): Si y , entonces de la prueba de (i). pag∈Stupagpag(METRO){\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in Supp \ left (M \ right)}pag′⊃pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime} \ supset {\ mathfrak {p}}}pag′∈Stupagpag(METRO){\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime} \ in Supp \ left (M \ right)}

• Ejemplo : considerando el anillo A como un módulo en sí mismo, tenemos . De manera más general, sea un ideal de A ; entonces .Stupagpag(A)=Spagmivs(A){\ Displaystyle Supp \ left (A \ right) = Spec \ left (A \ right)}a{\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}Stupagpag(A/a)=V(a){\ Displaystyle Supp \ left (A / {\ mathfrak {a}} \ right) = {\ mathcal {V}} \ left ({\ mathfrak {a}} \ right)}

Ideales primarios asociados con un módulo

Sea A un anillo y M un módulo A. Decimos que un ideal primo está asociado con M si existe un elemento m de M tal que . Tenga en cuenta el conjunto de ideales primos asociados con M .pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}pag=Anono(metro){\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = Ann \ left (m \ right)}Ass(METRO){\ Displaystyle Ass \ left (M \ right)}

• Ejemplo : Sea k un campo conmutativo cerrado algebraicamente, y un subconjunto algebraico de (ver arriba ). Se dice que una función es regular en si es la restricción a una función polinomial en . Tenga en cuenta el anillo de funciones regulares en . Dos funciones polinomiales tienen la misma restricción sobre si, y solo si su diferencia pertenece a ; por lo tanto, es isomorfo al álgebra , y puede identificarse con él (este álgebra se reduce, es decir, su nilradical se reduce a ). Sean , ..., los componentes irreductibles de . Los principales ideales asociados son los ideales , ..., . Estos son, por tanto, los ideales primordiales aislados ya mencionados.A=k[X1,...,Xno]{\ Displaystyle A = k \ left [X_ {1}, ..., X_ {n} \ right]}V{\ Displaystyle V}kno{\ Displaystyle k ^ {n}}F:V→k{\ Displaystyle f: V \ rightarrow k}V{\ Displaystyle V}V{\ Displaystyle V}kno{\ Displaystyle k ^ {n}}A(V){\ Displaystyle \ mathbf {A} \ left (V \ right)}V{\ Displaystyle V}V{\ Displaystyle V}a=I(V){\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = {\ mathfrak {I}} \ left (V \ right)}A(V){\ Displaystyle \ mathbf {A} \ left (V \ right)}A/a{\ Displaystyle A / {\ mathfrak {a}}}{0}{\ Displaystyle \ left \ {0 \ right \}}V1{\ Displaystyle V_ {1}}Vr{\ Displaystyle V_ {r}}V{\ Displaystyle V}A/a{\ Displaystyle A / {\ mathfrak {a}}}I(V1){\ Displaystyle {\ mathfrak {I}} \ left (V_ {1} \ right)}I(Vr){\ Displaystyle {\ mathfrak {I}} \ left (V_ {r} \ right)}

Sí , entonces . Por el contrario, si A es noetheriano y , entonces . Si A es noetheriano y M es de tipo finito, entonces es finito. METRO={0}{\ Displaystyle M = \ left \ {0 \ right \}}Ass(METRO)=∅{\ Displaystyle Ass \ left (M \ right) = \ varnothing}Ass(METRO)=∅{\ Displaystyle Ass \ left (M \ right) = \ varnothing}METRO={0}{\ Displaystyle M = \ left \ {0 \ right \}}Ass(METRO){\ Displaystyle Ass \ left (M \ right)}

Relación entre Supp y Ass

Mostramos lo siguiente: Cualquier ideal primo de A que contenga un elemento de pertenece a . Si A es noetheriano, a la inversa, todo ideal contiene un elemento de . En este caso ,, estos dos conjuntos tienen los mismos elementos mínimos, y estos últimos coinciden con los elementos mínimos del conjunto de ideales primos que contienen . pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}Ass(METRO){\ Displaystyle Ass \ left (M \ right)}Stupagpag(METRO){\ Displaystyle Supp \ left (M \ right)}pag∈Stupagpag(METRO){\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in Supp \ left (M \ right)}Ass(METRO){\ Displaystyle Ass \ left (M \ right)}Ass(METRO)⊂Stupagpag(METRO){\ Displaystyle Ass \ left (M \ right) \ subset Supp \ left (M \ right)}Anono(METRO){\ Displaystyle Ann \ left (M \ right)}

Si A es noetheriano y M es de tipo finito, tenemos

Anono(METRO)=⋂pag∈Stupagpag(METRO)pag=⋂pag∈Ass(METRO)pag.{\ Displaystyle {\ sqrt {Ann \ left (M \ right)}} = \ bigcap \ limits _ {{\ mathfrak {p}} \ in Supp \ left (M \ right)} {\ mathfrak {p}} = \ bigcap \ limits _ {{\ mathfrak {p}} \ in Ass \ left (M \ right)} {\ mathfrak {p}}.}

Descomposición primaria de un módulo

Submódulos primarios

Sea M un módulo A y Q un submódulo propio de M (es decir, un submódulo de M diferente de M ). Decimos que Q es -primario en M si se satisface la siguiente condición: si y son tales que y , entonces , dónde es el ideal primo . Decimos que el ideal primero pertenece al módulo principal Q .pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}a∈A{\ Displaystyle a \ in A}metro∈METRO{\ Displaystyle m \ in M}ametro∈Q{\ Displaystyle am \ in Q}metro∉Q{\ Displaystyle m \ notin Q}a∈pag.{\ Displaystyle a \ in {\ mathfrak {p}}.}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}Anono(METRO/Q){\ Displaystyle {\ sqrt {Ann \ left (M / Q \ right)}}}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}

Tenga en cuenta que si, y solo si, existe un entero s tal que , es decir . Si el anillo A es noetheriano, el ideal es de tipo finito, por lo que s puede tomarse independiente de a , por lo que esta condición es equivalente a . a∈pag{\ Displaystyle a \ in {\ mathfrak {p}}}as∈Anono(METRO/Q){\ Displaystyle a {^ {s}} \ en Ann (M / Q)}asMETRO⊂Q{\ Displaystyle a {^ {s}} M \ subconjunto Q}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}pagsMETRO⊂Q{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} {^ {s}} M \ subconjunto Q}

• Suponga A noetherian y M de tipo finito. Entonces Q es -primario en M si, y solo si es co - primario , es decir, se reduce a un solo elemento, a saber .pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}METRO/Q{\ Displaystyle M / Q}Ass(METRO/Q){\ displaystyle Ass (M / Q)}Ass(METRO/Q)={pag}{\ Displaystyle Ass \ left (M / Q \ right) = \ left \ {{\ mathfrak {p}} \ right \}}

• Sea M un módulo y submódulos que son primarios (para el mismo ). Entonces es primario.Q1,...,Qr{\ Displaystyle Q_ {1}, ..., Q_ {r}}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}Q1∩...∩Qr{\ Displaystyle Q_ {1} \ cap ... \ cap Q_ {r}}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}

• Decimos que un submódulo N de M es irreductible si no se puede escribir en la forma con . Si A es un anillo noetheriano, entonces un submódulo irreducible de M es un submódulo primario.NO=NO1∩NO2{\ Displaystyle N = N_ {1} \ cap N_ {2}}NOI≠NO{\ Displaystyle N_ {i} \ neq N}

Descomposición primaria

O M un módulo y N un submódulo M . Decimos que N admite una descomposición primaria en M si N se puede escribir como una intersección finita de submódulos primarios en M :

NO=Q1∩...∩Qr{\ Displaystyle N = Q_ {1} \ cap ... \ cap Q_ {r}}.

Usando la propiedad mencionada anteriormente, podemos agrupar aquellos que son primarios para el mismo , y luego eliminar los elementos redundantes, para obtener una descomposición primaria donde los ideales primos pertenecientes a los diferentes son todos distintos. Se dice que esta descomposición primaria se reduce . Ya sea una descomposición primaria reducida, o bien el ideal primo perteneciente a Si ( ), decimos que el ideal primo está aislado (y que está sumergido en el caso opuesto). El siguiente resultado generaliza los dos teoremas de unicidad establecidos anteriormente: QI{\ Displaystyle Q_ {i}}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}QI{\ Displaystyle Q_ {i}}NO=Q1∩...∩Qr{\ Displaystyle N = Q_ {1} \ cap ... \ cap Q_ {r}}pagI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}QI.{\ Displaystyle Q_ {i}.}pagI⊉pagj{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} \ nsupseteqq {\ mathfrak {p}} _ {j}}I≠j{\ Displaystyle i \ neq j}pagI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}

Teorema de unicidad de descomposición primaria  - 

Sea N un submódulo de M y

NO=Q1∩...∩Qr=Q1′∩...∩Qs′{\ Displaystyle N = Q_ {1} \ cap ... \ cap Q_ {r} = Q_ {1} ^ {\ prime} \ cap ... \ cap Q_ {s} ^ {\ prime}}

dos descomposiciones primarias reducidos por N .

(i) Entonces, y el conjunto de ideales principales a los que pertenece coincide con el conjunto de ideales principales a los que pertenecen (estos ideales principales están, por tanto, determinados de forma única). r=s{\ Displaystyle r = s}Q1,...,Qr{\ Displaystyle Q_ {1}, ..., Q_ {r}}Q1′,...,Qs′{\ Displaystyle Q_ {1} ^ {\ prime}, ..., Q_ {s} ^ {\ prime}}

(ii) Si es el conjunto de ideales primos aislados que pertenecen a estas descomposiciones, entonces for , en otras palabras, los módulos primarios correspondientes a los ideales primos aislados son únicos. {pag1,...,pagmetro}{\ Displaystyle \ left \ {{\ mathfrak {p}} _ {1}, ..., {\ mathfrak {p}} _ {m} \ right \}}QI=QI′{\ Displaystyle Q_ {i} = Q_ {i} ^ {\ prime}}I=1,...,metro{\ Displaystyle i = 1, ..., m}

Se dice que un módulo A- M es laskeriano si es de tipo finito y si algún submódulo de M admite una descomposición primaria.

Teorema de Lasker-Noether  :  si A es un anillo noetheriano, cualquiermódulo A de tipo finito es laskeriano.

Tenga en cuenta nuevamente el siguiente punto:

Propiedad de descomposición primaria reducida  :  si A es un anillo noetheriano y

NO=Q1∩...∩Qr{\ Displaystyle N = Q_ {1} \ cap ... \ cap Q_ {r}}, Ass(METRO/QI)={pagI}{\ Displaystyle Ass \ left (M / Q_ {i} \ right) = \ left \ {{\ mathfrak {p}} _ {i} \ right \}}

es una descomposición primaria reducida de un submódulo adecuado N de M , entoncesAss(METRO/NO)={pag1,...,pagr}.{\ Displaystyle Ass \ left (M / N \ right) = \ left \ {{\ mathfrak {p}} _ {1}, ..., {\ mathfrak {p}} _ {r} \ right \}. }

Por tanto, esta descomposición primaria reducida se puede escribir en la forma

NO=⋂pag∈Ass(METRO/NO)Q(pag){\ Displaystyle N = \ bigcap \ limits _ {{\ mathfrak {p}} \ in Ass \ left (M / N \ right)} Q \ left ({\ mathfrak {p}} \ right)}

donde para todos , es -primario en M . pag∈Ass(METRO/NO){\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in Ass \ left (M / N \ right)}Q(pag){\ Displaystyle Q \ left ({\ mathfrak {p}} \ right)}pag{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}

Por otro lado, tenemos el resultado a continuación, que generaliza el teorema de la estructura de grupos cíclicos :

Sumergir el cociente en una suma directa  :  considere la descomposición primaria reducida anterior. Hay un monomorfismo

METRO/NO↪⨁pag∈Ass(METRO/NO)METRO/Q(pag).{\ Displaystyle M / N \ hookrightarrow \ bigoplus \ limits _ {{\ mathfrak {p}} \ in Ass \ left (M / N \ right)} M / Q \ left ({\ mathfrak {p}} \ right) .}

Si A es un anillo principal y N es un ideal de A , este monomorfismo es un isomorfismo . METRO=A{\ Displaystyle M = A}

Demostración

O bien . Dado que , hay un mapa lineal inducido F:METRO→METROr:metro↦(metro,...,metro){\ Displaystyle f: M \ rightarrow M ^ {r}: m \ mapsto \ left (m, ..., m \ right)}NO=⋂1≤I≤rQI{\ Displaystyle N = \ bigcap \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq r} Q_ {i}}

F¯:METRO/NO→METROr/∏1≤I≤rQI≅⨁1≤I≤rMETRO/QI{\ Displaystyle {\ bar {f}}: M / N \ rightarrow M ^ {r} / \ prod \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq r} Q_ {i} \ cong \ bigoplus _ {1 \ leq i \ leq r} M / Q_ {i}}

que es inyectable. En el caso donde es un anillo principal, cada uno tiene la forma donde es primo en A y donde es un número entero. Entonces tenemos para , de lo cual se sigue que es sobreyectiva según el teorema del resto chino . METRO=A{\ Displaystyle M = A}QI{\ Displaystyle Q_ {i}}(pagImetroI){\ Displaystyle \ left (p_ {i} ^ {m_ {i}} \ right)}pagI{\ Displaystyle p_ {i}}metroI≥1{\ Displaystyle m_ {i} \ geq 1}QI+Qj=A{\ Displaystyle Q_ {i} + Q_ {j} = A}I≠j{\ Displaystyle i \ neq j}F¯{\ Displaystyle {\ bar {f}}}

Interpretación en geometría algebraica

Terminemos con una interpretación de la descomposición primaria de un módulo a la luz de la geometría algebraica. Las notaciones son las mismas que en la primera interpretación dada arriba sobre la descomposición primaria de un ideal. Deje que M sea un A -módulo, N un submódulo de M , y . O entonces  ; se dice que este conjunto algebraico está asociado con el módulo . Haciéndonos pasar por arriba , tenemos dónde . Entonces, al posar , tenemos a=Anono(METRO/NO){\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = Ann \ left (M / N \ right)}pag=a{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ sqrt {\ mathfrak {a}}}}V=Z(pag){\ Displaystyle V = {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p}} \ right)}METRO/NO{\ Displaystyle M / N}Ass(METRO/NO)={pag1,...,pagr}{\ Displaystyle Ass \ left (M / N \ right) = \ left \ {{\ mathfrak {p}} _ {1}, ..., {\ mathfrak {p}} _ {r} \ right \}}pag=⋂1≤I≤rpagI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = \ bigcap \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq r} {\ mathfrak {p}} _ {i}}Ass(METRO/QI)={pagI}{\ Displaystyle Ass \ left (M / Q_ {i} \ right) = \ left \ {{\ mathfrak {p}} _ {i} \ right \}}VI=Z(pagI){\ Displaystyle V_ {i} = {\ mathcal {Z}} \ left ({\ mathfrak {p_ {i}}} \ right)}

V=⋃1≤I≤rVI{\ Displaystyle V = \ bigcup \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq r} V_ {i}}.

Si los ideales primos están aislados, las variedades algebraicas son los componentes irreducibles del conjunto algebraico V . La dimensión del conjunto algebraico V se define como su dimensión de Krull (como espacio topológico, cuando está dotado de la topología de Zariski). pagI{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}VI{\ Displaystyle V_ {i}}

Si y , tenemos , en consecuencia, la segunda interpretación dada aquí generaliza la primera. METRO=A{\ Displaystyle M = A}NO=a{\ Displaystyle N = {\ mathfrak {a}}}a=Anono(METRO/NO){\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} = Ann \ left (M / N \ right)}

Notas, referencias y bibliografía

Notas y referencias

1. Gauss 1832.
2. Kummer 1847.
3. Bourbaki 2006a, “Álgebra conmutativa. Teoría de los números algebraicos ”.
4. Dedekind, 1876.
5. Lasker 1905.
6. Noether, 1921.
7. Bourbaki 2006b (primera edición: 1961).
8. Cohn, 2006, §3.5.
9. Para obtener más detalles, consulte L. Lesieur y R. Croisot 1963.
10. Atiyah y Macdonald 1969, Prop. 1,14.
11. Atiyah y Macdonald 1969, Prop. 4.2.
12. Atiyah y Macdonald 1969, Thm. 4.5.
13. Atiyah y Macdonald 1969, Thm. 4.10.
14. Bourbaki 2006b, §IV.2, Ejerc. 23.
15. Podemos especificar que se trata de una variedad algebraica afín . Algunos autores denominan variedad algebraica a lo que aquí llamamos conjunto algebraico , de acuerdo con la terminología empleada por Hartshorne (1977) y Lang (2002).
16. Hartshorne 1977, Prop. 1.5 y Cor. 1.6.
17. Hartshorne 1977, Cor. 1.4.
18. Atiyah y Macdonald 1969, Cap. 4; Reid 1995, §7.10; Eisenbud 1999, §3.8.
19. Bourbaki, 2006b, n ° II.4.3.
20. Bourbaki, 2006b, n ° II.2.2.
21. Dieudonné 1974, §I.2; Eisenbud 1999, §1.6. Para otros autores, por ejemplo Hartshorne 1977, §I.3, la noción de función regular es diferente.
22. Bourbaki 2006b, n ° IV.1.1.
23. Bourbaki, 2006b, n ° IV.1.4, Cor. de Thm.2.
24. Bourbaki, 2006b, n ° IV.1.3, Prop. 7 y Cor. 1; n ° IV.1.4, Thm. 2.
25. Lang 2002, §X.2.
26. Matsumura 1999, §6.
27. Matsumura 1999, Exerc. 6.8.
28. Lang 2002, Cap. X, Prop. 3.1.
29. Matsumura 1999, Thm. 6.8.
30. Lang 2002, Cap. X, Thm. 3.2.
31. Matsumura 1999, Thm.6.8; Bourbaki 2006b, §IV.2, Thm.1.

Bibliografía

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Ver también

Artículos relacionados

• Teoremas de unicidad