El teorema de imposibilidad de Arrow , también llamado "paradoja de Arrow" (llamado así por el economista estadounidense Kenneth Arrow ) es una confirmación matemática, bajo condiciones específicas, planteada paradoja y descrita en 1785 por Nicolas de Condorcet . Supongamos que cada votante solo puede expresar su opinión de manera cualitativa, indicando cómo clasifica las opciones consideradas en relación entre sí. Entre dos opciones, el votante indica cuál prefiere o si es indiferente entre las dos, en cambio no puede expresar la intensidad de su preferencia. En este contexto, no existe un proceso de elección social indiscutible, lo que permite expresar una jerarquía coherente de preferencias para una comunidad a partir de la agregación de preferencias individuales expresadas por cada miembro de esta misma comunidad. Para Condorcet , no existe un sistema simple que garantice esta consistencia. Arrow intenta demostrar, sujeto a la aceptación de sus supuestos, que no existe ningún sistema que garantice la coherencia, excepto uno donde el proceso de elección social coincide con el de un solo individuo, a veces apodado dictador , independiente del resto de la población.
Nicolás de Condorcet enunció en 1785 en su libro Ensayo sobre la aplicación del análisis a la probabilidad de decisiones rendidas a la pluralidad de votos la paradoja de Condorcet , es decir, la idea según la cual surge la definición de una posición común a varios votantes. contra dificultades lógicas, en particular el incumplimiento de la regla de la transitividad .
Este teorema se debe a Kenneth Arrow , ganador en 1972 del premio del Banco de Suecia en Ciencias Económicas en Memoria de Alfred Nobel comúnmente llamado Premio Nobel de Economía , que ha expuesto en su tesis y lo ha publicado en 1951 en su libro Social Choice. y valores individuales ( Elección social y valores individuales ).
Si un individuo con preferencias clasifica una opción A antes que una opción B, la presencia de una tercera opción C, en igualdad de condiciones, no debería en principio invertir esta preferencia. Se dice que esto manifiesta la coherencia de su elección.
FormalizaciónPara los matemáticos, lo que los economistas llaman "preferencias" corresponde a un preorden total . En particular, puede ser un orden total (luego se habla de “preferencias estrictas”).
De manera similar, las "preferencias" de un individuo corresponden al orden que un individuo establece entre las opciones disponibles para él o ella. Se dice que estas preferencias son estrictas cuando el individuo nunca clasifica dos opciones empatadas. Para que la descripción de esta noción sea completa, se asume que el orden que un individuo establece entre las distintas opciones existentes no se modifica por la adición de opciones adicionales.
Un perfil de preferencia es el nombre que se le da a un "grupo" de preferencias individuales. Llamamos preferencias sociales a las preferencias que son válidas a nivel social.
Se trata de agregar un conjunto de preferencias individuales en una preferencia colectiva, en otras palabras, un conjunto de órdenes individuales en un orden social . Por definición, el orden agregado debe, por tanto, depender únicamente de las preferencias individuales, en el sentido dado anteriormente a esta palabra: no debe intervenir la intensidad de las preferencias individuales, ni la naturaleza de los objetos clasificados, ni ningún criterio externo.
Algunos ejemplos :
Llamamos a la función de elección social la operación de paso de las preferencias individuales a una preferencia colectiva.
El teorema de Arrow se conoce de la siguiente forma.
Para al menos tres opciones de elección y dos individuos, no existe una función de elección social que satisfaga las siguientes propiedades:
En otra versión del teorema, la unanimidad se puede reemplazar por las siguientes dos hipótesis:
En todos los casos, hay ranking de candidatos y no puntuación de ellos, que será una de las causas de la inestabilidad, un candidato ampliamente preferido al que le sigue por un elector que no destaca en su ranking de un candidato que prefiere un poco al que lo sigue.
La demostración es muy técnica y se basa en varios lemas que se deducen de casos particulares. Muy a menudo, asumimos la existencia de un procedimiento de elección social que verifica las condiciones de universalidad, unanimidad e indiferencia ante opciones irrelevantes, y mostramos que este procedimiento coincide con las elecciones de un individuo dado.
Más precisamente, denote X a toda la población. Se dice que una parte F de esta población es decisiva, si la función de elección social da como resultado la lista de preferencias de los individuos de la parte F, cuando estos tienen las mismas preferencias individuales. Entonces mostramos que el conjunto de estas partes decisivas F forma un ultrafiltro sobre X. Cuando X es finito, el ultrafiltro es trivial, lo que significa que existe entre los elementos del ultrafiltro una parte decisiva formada por un solo individuo x , y que cualquier parte F es decisiva si y solo si esta parte contiene este individuo x . Finalmente, mostramos que la función de elección social coincide con las elecciones de x .
Este teorema no es un resultado positivo: no permite una ilustración sistemática, pero señala que para las elecciones no binarias, siempre habrá situaciones problemáticas. Por lo tanto, una función de elección social que exhibe las propiedades elementales mencionadas anteriormente será a menudo sensible a opciones irrelevantes. Sin embargo, tenga en cuenta que nuestras propias elecciones a veces también están influenciadas por opciones irrelevantes y que, en general, esto no afecta nuestra eficiencia.
Si este teorema no molesta a los partidarios de los regímenes dictatoriales (que están dispuestos a confiar en un "hombre fuerte" para dirigir razonablemente al pueblo) y poco molesta a los liberales (que rechazan la idea de transformar las preferencias individuales en preferencias colectivas), sin embargo , se utiliza a menudo contra los partidarios de la democracia (replican erróneamente, ya porque muchos perfiles de preferencia no son preordenes totales en la realidad, por lo que el teorema de Arrow no se aplica, pero sobre todo porque uno puede obtener funciones de elección social que satisfagan hipótesis similares tan pronto como uno se permite Hacer comparaciones interpersonales. En esta sección se describe lo que se puede obtener al relajar las hipótesis del teorema sin dejar de estar dentro del marco de preferencias no comparables. La siguiente sección vuelve al tema de la comparabilidad.
¿Son razonables los supuestos del teorema de Arrow? Sí, en el sentido de que sería razonable aceptarlos. No, en el sentido de que no sería razonable exigirlos: la mayoría de estas propiedades no son básicas ni elementales.
Como cualquier teoría científica, el resultado de Arrow se basa en suposiciones, que se expresan matemáticamente dentro de un marco formal particular. Si los supuestos no se cumplen, el teorema no se aplica.
Los escritos (Arrow, 1950, 1951) en los que Arrow demuestra su teorema tienen como tema los posibles fundamentos de una teoría económica del bienestar que es utilizable para el análisis económico pero que prescinde de las comparaciones interpersonales de utilidad, explícita o implícitamente utilizadas en utilitarismo. enfoques o análisis de costo-beneficio . El marco formal del teorema de la imposibilidad es el de las preferencias ordinales puras: no se tiene en cuenta la intensidad de las preferencias ni la posible comparación entre individuos. No tener en cuenta la intensidad de las preferencias permite considerarlas como (indirectamente) observables a través de las elecciones. Ésta es la "teoría de las preferencias reveladas": decir que un agente prefiere A a B es simplemente decir que, entre A y B y en igualdad de condiciones, elige A. En el marco estrictamente arroviano, no podemos expresar para Por ejemplo, que Jules prefiere A a B, Jim prefiere B a A pero que en el pasaje de A a B, Jim pierde más de lo que Jules gana .
Por lo tanto, Arrow profundiza este marco de pensamiento para demostrar que hace que sea imposible agregar "razonablemente" tales preferencias. Por ejemplo, con respecto a la votación, los procedimientos que permiten las comparaciones interpersonales no entran dentro del alcance del teorema, y K. Arrow ha argumentado a favor de la votación de tres valores en cuatro niveles. Este retorno a variantes del utilitarismo se justifica por la imposibilidad arroviana. Esta idea dio origen a la familia de votos por valores , como el voto por aprobación , el voto por notas o el juicio mayoritario , que proponen sustituir la clasificación de opciones por un juicio individualizado por opción.
Con estos enfoques, a cada opción se le da una mención ya sea binaria (aprueba, rechaza), numérica (en una escala fija, por ejemplo -1.0, 1) o verbal (por ejemplo: muy buena, buena, suficiente, no suficiente, inaceptable). , etc.). Así, cada votante asigna un juicio para cada opción. Al final, la agregación se realiza a nivel global, calculando el juicio promedio (caso de voto por puntaje) o la mediana (caso de juicio mayoritario) para cada opción. Este juicio promedio o mediano se compara luego a nivel global, desplazando así la clasificación de preferencias a la última etapa de cálculo, y así evita las paradojas formalizadas por el teorema de imposibilidad de Arrow. De hecho, el teorema de Arrow formaliza una paradoja durante la agregación de decisiones, pero una decisión sobre una agregación de juicios individualizados no se ve afectada por este teorema. Estos métodos han sido objeto de experimentos in situ por parte de instituciones como durante las elecciones presidenciales francesas .
Mientras que el teorema de Arrow se ocupa de la cuestión de determinar una función de elección social con el objetivo de elaborar una lista de preferencias colectivas a partir de las listas de preferencias individuales, una cuestión más frecuente es elegir colectivamente un solo miembro elegido de las listas de preferencias individuales. preferencias entre varios candidatos. Este es el propósito del teorema de Gibbard-Satterthwaite . Esto establece el siguiente resultado relacionado con un procedimiento para designar al ganador en una elección:
Por tanto, el procedimiento de designación no puede manipularse si y solo si es dictatorial.
En la práctica, los procedimientos de designación son manipulables y es común que un votante con las preferencias A> B> C vote por B para asegurarse de no ver a C elegido.
En el caso de las carreras de motor, cada coche gana puntos en cada evento según su orden de llegada. El mayor total gana la competencia. Este dispositivo pasa de una clasificación a una clasificación ; es universal, soberano, monótono, pero no es indiferente a alternativas irrelevantes.
Dos establos ( A y B ) de dos autos cada uno ( A1 , A2 y B1 , B2 ) están al final de una competencia, la última carrera está a punto de terminar. El líder A1 lleva a B1 por dos puntos en la clasificación general, pero está detrás de él y ya no espera alcanzarlo. Muy por delante de ellos, A2 y B2 están solos. Los puntos a la llegada se otorgan de la siguiente manera:
1 st 10
2 y 9
3 y 6
4 y 5
...
A1 debería ganar la competición, ya que B1 solo tendrá un punto mejor. Pero, en ese momento, el gerente del establo B puede pedirle a B2 que abandone la carrera: entonces B1 será segundo en esta carrera, y tres puntos mejor que A , ¡ganará la competencia! Si lo hace, incluso podemos imaginar que A2 está tentado a darse por vencido para permitir que A1 solo llegue a un punto en B1 , en segunda y primera posición respectivamente.
Esta situación muestra claramente que un sistema de puntos acumulativos no es indiferente a las alternativas irrelevantes, o incluso que el procedimiento de designación del ganador es manipulable, en el sentido de Gibbard-Satterthwaite.
Asimismo, podemos esperar que los comités de expertos que seleccionan un proyecto según varios criterios sean monótonos y soberanos, indiferentes a opciones irrelevantes:
Sin embargo, la ponderación no garantiza la independencia de las alternativas extranjeras. Para poder adjudicar válidamente un contrato, para cada criterio, es necesario tener dos niveles de atractivo (o posiblemente desempeño) en ellos. Sin la introducción de estos dos niveles de rendimiento, según Jean-Claude Vansnick, las ponderaciones introducidas no permiten asegurar la importancia de las operaciones matemáticas realizadas (incluida, en particular, la falta de garantía de respeto por la indiferencia hacia opciones irrelevantes).
" ¿El teorema de Arrow ... descuida el uso de comparaciones interpersonales en las evaluaciones de bienestar social?" ... Sí. Tener, además, este tipo de información permite la suficiente delicadeza para escapar de imposibilidades de este tipo. ... incluso formas débiles de comparabilidad permitirían juicios consistentes de bienestar social, satisfaciendo todos los requisitos de Arrow. "