Temperatura termodinámica

Temperatura Llave de datos

Unidades SI	Kelvin (K)
Dimensión	Θ
Naturaleza	Tamaño escalar intensivo
Símbolo habitual	$T$
Enlace a otros tamaños	${\ Displaystyle \ mathrm {d} S = {\ frac {\ delta Q} {T}}}$ ${\ Displaystyle T = \ izquierda ({\ frac {\ parcial U} {\ parcial S}} \ derecha) _ {V}}$ ${\ Displaystyle T = (k \ beta) ^ {- 1}}$

La temperatura termodinámica es una formalización del concepto experimental de temperatura y es uno de los principales valores de la termodinámica . Está intrínsecamente ligado a la entropía .

Denominada normalmente por T , la temperatura termodinámica se mide en Kelvin (símbolo: K). A menudo calificada como " temperatura absoluta ", constituye una medida absoluta porque refleja directamente el fenómeno físico fundamental que la subyace: la agitación de las partículas que constituyen la materia (traslación, vibración, rotación, niveles de energía electrónica). Su punto de origen, o cero absoluto , corresponde por definición al estado de la materia donde estas partículas tienen una entropía mínima, que generalmente corresponde a una energía mínima.

Concepto de temperatura histórica

La temperatura es una noción que ha evolucionado con el conocimiento de la materia. Podemos distinguir varias etapas del concepto.

Termodinámica de medios en equilibrio

Nos interesan aquí los estados de equilibrio termodinámicos y las posibilidades (o la imposibilidad) de pasar de uno a otro mediante una transformación cuasiestática, es decir, realizada por una secuencia de estados de equilibrio. Esta parte de la termodinámica debería lógicamente llamarse termostática, pero esta palabra se define como un adjetivo en otro sentido.

En el XVII ° siglo - XVIII ª siglo la aparición del termómetro puede cuantificar nociones estado caliente o frío de un medio, asciende a disposición de la percepción del cuerpo. La temperatura termométrica es lo que mide el dispositivo: un efecto, en este caso la expansión de un líquido. El vínculo con la temperatura se establece mediante la elección de una escala de referencia: este es el problema de la termometría . Pero esto no dice nada sobre la naturaleza de la temperatura y da poca indicación de sus propiedades.
Al mismo tiempo, Joseph Black estableció el vínculo entre temperatura y calor mediante la introducción de capacidad térmica . Si nos ponemos a volumen constante

{\ Displaystyle \ delta Q = C_ {V} \ mathrm {d} T}

Esta ley muestra que la temperatura es una cantidad sustituible de calor y, por tanto, de energía interna en ausencia de trabajo .

El trabajo en las máquinas térmicas en el XIX ° siglo , especialmente los de Carnot , demostró la imposibilidad de ciclos monothermes. El segundo principio de termodinámica establecido por Rudolf Clausius llevó a la introducción de la noción de entropía S vinculada a una variación en el calor δQ recibido por el sistema y a la temperatura termodinámica T. Para una transformación reversible

{\ Displaystyle \ mathrm {d} S = {\ frac {\ delta Q} {T}}}

Esta definición permite cancelar los intercambios de calor entre dos medios de igual temperatura, pero no es suficiente para definir una temperatura termodinámica de una manera única. Caso de un gas ideal a volumen constante

Dos parámetros son suficientes para definir el estado termodinámico de un gas ideal, por ejemplo, la energía interna U y el volumen V :

{\ Displaystyle S = S (U, V)}

Consideremos la interacción entre dos sistemas aislados del exterior, separados por una pared diatérmica que no deja pasar ninguna partícula pero permite intercambios de calor (ver figura). Si inicialmente los dos sistemas no están en equilibrio, se produce un intercambio de calor entre A y B hasta que se alcanza el equilibrio. Los volúmenes de A y B permanecen invariantes la variación de la entropía total, suma de las variaciones de las entropías de A y B, depende solo de las variaciones de las energías internas de A y B

{\ Displaystyle \ mathrm {d} S = \ izquierda ({\ frac {\ parcial S _ {\ mathrm {A}}} {\ parcial U _ {\ mathrm {A}}}} \ derecha) _ {V _ {\ mathrm {A}}} \ mathrm {d} U _ {\ mathrm {A}} + \ left ({\ frac {\ parcial S _ {\ mathrm {B}}} {\ parcial U _ {\ mathrm {B}}}} \ derecha) _ {V _ {\ mathrm {B}}} \ mathrm {d} U _ {\ mathrm {B}}}

Dado que el sistema está aislado, el cambio en la energía interna total es cero; se sigue que , de donde ${\ Displaystyle \ mathrm {d} U _ {\ mathrm {A}} = - \ mathrm {d} U _ {\ mathrm {B}}}$

{\ Displaystyle \ mathrm {d} S = \ izquierda [\ izquierda ({\ frac {\ parcial S _ {\ mathrm {A}}} {\ parcial U _ {\ mathrm {A}}}} \ derecha) - \ izquierda ({\ frac {\ parcial S _ {\ mathrm {B}}} {\ parcial U _ {\ mathrm {B}}}} \ derecha) \ derecha] \ mathrm {d} U _ {\ mathrm { A}}}

Además, como el sistema está en equilibrio, su entropía es máxima: todas las derivadas parciales de la entropía son cero y:

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ parcial S _ {\ mathrm {A}}} {\ parcial U _ {\ mathrm {A}}}} \ right) _ {V _ {\ mathrm {A}} } = \ izquierda ({\ frac {\ parcial S _ {\ mathrm {B}}} {\ parcial U _ {\ mathrm {B}}}} \ derecha) _ {V _ {\ mathrm {B}}} }

En ausencia de trabajo del sistema considerado podemos escribir

{\ Displaystyle \ delta Q = \ mathrm {d} U = T \ mathrm {d} S}

Entonces

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ parcial U} {\ parcial S}} \ derecha) _ {V} = T}

y por lo tanto T A = T B

Tenga en cuenta que este resultado podría obtenerse para cualquier función monótona f (T) tal que

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ parcial U} {\ parcial S}} \ derecha) _ {V} = f (T)}

La elección corresponde a la elección de una escala de temperatura que debe justificarse. ${\ Displaystyle f (T) = T}$

Varias obras, en particular las debidas a Carathéodory, permiten encontrar la expresión que vincula la temperatura con la entropía a partir de criterios matemáticos. De hecho, queremos hacer que dS sea un diferencial exacto para que la variación en la entropía de un estado a otro sea independiente del camino seguido, lo que no es el caso de δQ. La cantidad que aparece naturalmente es T -1 , una cantidad que encontramos como potencial en intercambios fuera de equilibrio (ver más abajo). El último paso es entonces definir una escala de temperatura. Esto se basa en las propiedades de un gas ideal, lo que garantiza la coherencia del enfoque. Temperatura y entropía

Busque un factor integrador

Buscamos una cantidad (factor integrador) w, función de las variables de estado, que permita pasar de la cantidad elemental de calor δQ a una diferencial exacta dS, definiéndose entonces S como entropía del sistema y sobre la que puede basarse en un razonamiento como el del recuadro anterior.

{\ Displaystyle w (U, V, p) \ delta Q = \ mathrm {d} S}

Se tiene

{\ Displaystyle \ mathrm {d} S = w \ mathrm {d} U + wp \, \ mathrm {d} V}

El criterio utilizado es el teorema de Schwarz.

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ U parcial \ V parcial}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ V parcial \ U parcial}}}

Aquí

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ U parcial \ parcial V}} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial U}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} { \ V parcial}} \ derecha) _ {U} = {\ frac {\ parcial} {\ U parcial}} \ izquierda (wp \ derecha) = w \ izquierda ({\ frac {\ parcial p} {\ parcial U }} \ derecha) _ {V} + p \ izquierda ({\ frac {\ parcial w} {\ parcial U}} \ derecha) _ {V}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ parcial V \ parcial U}} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial V}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} { \ parcial U}} \ derecha) _ {V} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial w} {\ parcial V}} \ derecha) _ {U}}

Entre todos los posibles factores integradores elegimos una cantidad T (U, V, p) que definiremos como temperatura

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ parcial w} {\ parcial U}} \ right) _ {V} = {\ frac {\ mathrm {d} w} {\ mathrm {d} T}} \ left ({\ frac {\ parcial T} {\ parcial U}} \ derecha) _ {V} = {\ frac {1} {C_ {V}}} {\ frac {\ mathrm {d} w} {\ mathrm {d} T}}}

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ parcial w} {\ parcial V}} \ right) _ {U} = {\ frac {\ mathrm {d} w} {\ mathrm {d} T}} \ left ({\ frac {\ parcial T} {\ parcial V}} \ derecha) _ {U} = \ mu {\ frac {\ mathrm {d} w} {\ mathrm {d} T}}}

Hemos definido las cantidades:

C V capacidad calorífica isocórica ,
μ Coeficiente de Joule-Gay-Lussac (o coeficiente isoenergético de Joule-Thomson).

w es, por tanto, solución de la ecuación

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} w} {w}} = \ mathrm {d} \ ln w = {\ frac {\ left ({\ frac {\ parcial p} {\ parcial U}} \ derecha) _ {V}} {\ mu - {\ frac {p} {C_ {V}}}}} \ mathrm {d} T = {\ frac {\ left ({\ frac {\ parcial p} {\ parcial T}} \ derecha) _ {V}} {\ mu C_ {V} -p}} \ mathrm {d} T = {\ frac {1} {\ lambda}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial p} {\ parcial T}} \ derecha) _ {V} \ mathrm {d} T}

Unicidad

Observamos que esta ecuación define la temperatura hasta una constante multiplicativa, de hecho, si establecemos

{\ Displaystyle w (T) = \ kappa w (\ theta)}

λ no cambia desde

{\ Displaystyle C_ {V} (\ theta) \ mu (\ theta) = C_ {V} (T) \ mu (T)}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ ln w (\ theta)} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ ln w (T)} {\ mathrm {d} T}} {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ frac {1} {\ lambda}} \ left ({\ frac {\ parcial p} {\ parcial T}} \ derecha) _ {V} {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ frac {1} {\ lambda}} \ izquierda ({ \ frac {\ parcial p} {\ parcial \ theta}} \ derecha) _ {V}}

lo que conduce a una ecuación idéntica para w (θ).

Escalera

Por tanto, se ha demostrado que existe una variable de estado T tal que es un diferencial exacto. Queda por especificar eligiendo una escala de referencia, que está implícitamente vinculada a una ecuación de estado. Por razones obvias, tomaremos μ = 0. La ecuación en w se simplifica a ${\ Displaystyle {\ frac {\ delta Q} {T}}}$

{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ ln w = - {\ frac {1} {p}} \ left ({\ frac {\ parcial p} {\ parcial T}} \ right) _ {V} \ mathrm { d} T}

Tomemos el caso de una transformación de isovolumen del estado 1 al estado 2, la expresión de w se convierte en

{\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {2} \ mathrm {d} \ ln \ left ({\ frac {1} {T}} \ right) = - \ ln {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} = - \ int _ {1} ^ {2} {\ frac {1} {p}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial p} {\ parcial T}} \ derecha) _ { V} dT = - \ ln {\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}}}

Reconocemos la ley de Gay-Lussac para el gas perfecto

{\ Displaystyle {\ frac {T_ {2}} {T_ {1}}} = {\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}}}

La ecuación de estado del gas ideal es, naturalmente, la mejor opción para la escala de referencia.

Tenga en cuenta que S y Q son cantidades extensivas , la relación no lineal que las une hace que T sea una cantidad intensiva.

En la década de 1870, Ludwig Boltzmann enunció el Teorema H y la ecuación de Boltzmann para el desarrollo temporal de funciones de distribución microscópicas. Estas relaciones fundamentales permiten el vínculo entre las descripciones microscópicas y macroscópicas de la física. La entropía representa el número de configuraciones microscópicas posibles para un sistema dado y la temperatura el parámetro que, con el número de partículas por unidad de volumen, caracteriza por completo este sistema en equilibrio termodinámico a través de la función de distribución de Maxwell para la traslación y la de Boltzmann para el otros grados de libertad.

Si consideramos la traslación, la temperatura se define a partir de la velocidad cuadrática media de las partículas a nivel microscópico mediante la siguiente expresión de la teoría cinética de los gases

{\ Displaystyle {\ frac {3} {2}} kT = {\ frac {1} {2}} m {\ overline {v ^ {2}}}}

Si consideramos las poblaciones n i de estados microscópicos de energía E i, la temperatura viene dada por

{\ Displaystyle kT = - {\ frac {E_ {j} -E_ {i}} {\ ln \ left ({\ frac {n_ {j}} {n_ {i}}} \ right)}}, \, \; \; \; \ forall i, j}

Estos dos valores son idénticos en virtud del teorema de equipartición de energía. Temperatura a nivel microscópico

En física estadística, la función de partición de un sistema formado por un conjunto de N estados microscópicos de energía E i , cada uno ocupado n i veces, está dada hasta una constante de normalización por

{\ Displaystyle \ Omega = {\ frac {N!} {\ Pi _ {i} n_ {i}!}} \ ,, \; \; \; \; \; N = \ sum _ {i} n_ { I}}

La energía interna de este sistema es

{\ Displaystyle U = {\ frac {E} {N}} = \ sum _ {i} {\ frac {n_ {i}} {N}} E_ {i}}

Suponemos que el número N es lo suficientemente grande para que podamos considerar Ω (n) como una función y usar la aproximación de Stirling . Entonces tenemos

{\ Displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ log \ Omega & = & \ log N! - \ sum _ {i} \ log n_ {i}! \\ [0.6em] & \ approx & N \ log N - \ sum _ {i} n_ {i} \ log n_ {i} \ end {array}}}

El estado de equilibrio viene dado por Ω = constante es decir

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ log \ Omega} {\ mathrm {d} n_ {i}}} = - \ sum _ {i} \ left (1+ \ log {\ frac {n_ { i}} {N}} \ right) = 0}

Este problema se trata como un problema extremo de log Ω con las limitaciones de conservación del número de partículas y de la energía . Usando dos multiplicadores de Lagrange α y β para las tensiones en N y E, respectivamente, se obtiene ${\ Displaystyle \ mathrm {d} N = \ sum _ {i} \ mathrm {d} n_ {i} = 0}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} E = \ sum _ {i} E_ {i} \ mathrm {d} n_ {i} = 0}$

{\ Displaystyle \ sum _ {i} \ left (\ log n_ {i} + \ alpha + \ beta E_ {i} \ right) = 0}

Siendo los estados independientes, esta ecuación solo se verifica si es cierta para cada estado. Por tanto, su solución es

{\ Displaystyle n_ {i} = e ^ {- \ alpha} e ^ {- \ beta E_ {i}}}

La energía vale

{\ Displaystyle U = {\ frac {\ sum _ {i} E_ {i} e ^ {- \ beta E_ {i}}} {\ sum _ {i} e ^ {- \ beta E_ {i}}} }}

Al diferenciar mostramos la redistribución de una determinada energía en los distintos niveles de ocupación (calor) y la variación de energía ligada a la variación de volumen (trabajo)

{\ Displaystyle \ mathrm {d} U = \ underbrace {\ sum _ {i} E_ {i} \ mathrm {d} \ left ({\ frac {n_ {i}} {N}} \ right)} _ { \ delta Q} + \ underbrace {\ sum _ {i} {\ frac {n_ {i}} {N}} \ mathrm {d} E_ {i}} _ {- \ delta W}}

Definimos la entropía canónica por

{\ Displaystyle S (E_ {i}, \ beta) = k (\ ln \ Omega + \ beta U) + S_ {0}}

podemos definir un diferencial exacto

{\ Displaystyle \ mathrm {d} S = \ sum _ {i} \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial E_ {i}}} \ derecha) _ {\ beta} \ mathrm {d} E_ {i} + \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial \ beta}} \ derecha) _ {E_ {i}} \ mathrm {d} \ beta = k \ beta \ delta Q}

De ahí el valor de β por identificación con la expresión clásica de la termodinámica ${\ Displaystyle \ mathrm {d} S = {\ frac {\ delta Q} {T}}}$

{\ Displaystyle k \ beta = {\ frac {1} {T}}}

El razonamiento se aplica de la misma manera para el sistema continuo que constituye la traslación de las partículas, siendo reemplazadas las cantidades discretas por las distribuciones de energía y poblaciones de partículas de masa my velocidad v

{\ Displaystyle E_ {i} = {\ frac {1} {2}} mv_ {i} ^ {2}}

y, de acuerdo con la ley de distribución de velocidades de Maxwell

{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ left ({\ frac {n_ {i}} {N}} \ right) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \, \ beta ^ {\ frac {3} {2}} \, E_ {i} ^ {\ frac {1} {2}} \, e ^ {- \ beta E_ {i}} \ mathrm {d} E_ {i}}

Termodinámica de desequilibrio

Hablamos aquí de termodinámica de no equilibrio , es decir, caminos que permiten pasar de un estado de equilibrio a otro mediante procesos de transporte o relajación en un medio próximo al equilibrio termodinámico. Siendo esta última condición necesaria para expresar los flujos en forma de leyes lineales.

En el XVIII ° siglo , Fourier estableció la ley del mismo nombre parece temperatura del potencial escalar a conocer el flujo de calor

{\ Displaystyle \ mathbf {q} = - \ lambda \, \ nabla T}

De hecho, la termodinámica del no equilibrio muestra que esta expresión debe escribirse

{\ Displaystyle \ mathbf {q} = \ lambda '\, \ nabla \ left ({\ frac {1} {T}} \ right)}

T -1 es la afinidad , que constituye el potencial ligado a la energía U. T -1 también aparece en los fenómenos de difusión de la materia a través del gradiente donde μ es el potencial químico . ${\ Displaystyle \ nabla \ left ({\ frac {\ mu} {T}} \ right)}$

Notas sobre el concepto de temperatura

Cero absoluto

El cero absoluto, que correspondería a una materia totalmente fija, está prohibido por el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica que prohíbe cualquier estado en el que se conozca simultáneamente posición y velocidad. Por tanto, la descripción continua del grado de libertad de traducción no es relevante para temperaturas muy bajas. Para contar los estados, no puede tomar una caja más pequeña que la longitud de Planck .

Dado que la temperatura está indisolublemente ligada a la entropía, es este valor el que guiará una definición del cero absoluto como temperatura asociada a la entropía mínima.

{\ Displaystyle \ lim \ limits _ {T \ to 0} S = k \ ln g_ {0}}

donde g 0 es la degeneración del nivel de energía más bajo. Si podemos considerar que, en teoría, g 0 = 1, este no es el caso en la práctica donde pequeñas perturbaciones del sistema medido eliminarán la degeneración y evitarán la obtención del cero absoluto. El valor más bajo de 450 p K se alcanzó en el gas de sodio en el Instituto de Tecnología de Massachusetts por el equipo de Wolfgang Ketterle .

Tercer principio de termodinámica

La entropía microscópica de un sistema está dada por

{\ Displaystyle S = k \ ln \ Omega + {\ frac {U} {T}} + S_ {0}}

donde Ω es la función de partición y S 0 una constante de integración arbitraria que se considerará igual a cero.

Tenemos (ver recuadro anterior)

{\ Displaystyle U = - {\ frac {\ parcial \ ln \ Omega} {\ parcial \ beta}} = kT \, {\ frac {\ parcial \ ln \ Omega} {\ parcial \ ln T}}}

{\ Displaystyle \ Omega = \ sum _ {i} {\ frac {n_ {i}} {N}} e ^ {- {\ frac {E_ {i}} {kT}}}}

De ahí el límite correspondiente a la energía mínima

{\ Displaystyle \ lim \ limits _ {T \ to 0} S = k \ ln g_ {0}}

donde g 0 es la degeneración del nivel fundamental.

Escala de temperatura absoluta

El segundo principio de la termodinámica permitió definir la temperatura y una escala de referencia para ella, a partir de la ecuación de estado del gas ideal (ver recuadro “Temperatura y entropía”). Por tanto, el principal instrumento de medida es, naturalmente, un termómetro de hidrógeno, un gas cuyo comportamiento es cercano al de un gas ideal y que no es muy sensible al fenómeno de la adsorción por pared como lo son los gases nobles . Como sabemos cómo definir el cero absoluto, queda por definir un punto de referencia. El estándar actual opta por utilizar el punto triple de un agua de una composición isotópica dada como constituyendo por definición el valor 273,16K.

Temperatura de radiación

La radiación está formada por fotones que se comportan termodinámicamente como un gas. Los intercambios de materia-radiación pueden permitir a esta última adquirir un equilibrio termodinámico caracterizado por la distribución de Planck a la temperatura T del medio material que constituye la temperatura de la radiación. Debe verse que, en ausencia de interacción fotón-fotón para asegurar los intercambios de energía, es necesario multiplicar las interacciones fotón-materia para lograr el equilibrio termodinámico. Esta radiación se llama radiación de cuerpo negro . Se obtiene mediante el uso de un recinto cerrado . La radiación que se encuentra en muchas áreas se aleja de las mismas comprendiendo rayos de emisión o absorción.

El equilibrio termodinámico de la radiación corresponde a una distribución angular de esta última isótropa. Por el contrario, un rayo de luz de frecuencia ν corresponde a una entropía mínima .

{\ Displaystyle S = {\ frac {4 \ pi \ ln 2 \, k \ nu ^ {2}} {c ^ {3}}}}

Esto tiende a cero cuando se avanza hacia las longitudes de onda largas.

Medio a varias temperaturas

El equilibrio termodinámico implica la existencia de una temperatura única para todos los grados de libertad del medio: traslación, descrita por la estadística de Maxwell , rotación, vibración y energía interna, descrita por la estadística de Boltzmann . En ciertas situaciones creadas por la introducción de energía en el sistema, se crean estados cercanos al equilibrio que pueden describirse razonablemente bien mediante varias temperaturas. Este es, por ejemplo, el caso de un plasma frío con diferentes temperaturas de traslación de electrones y partículas pesadas: iones, átomos, moléculas. Podemos separar localmente los distintos grados de libertad realizando una fuerte relajación (ver figura) en función de los diferentes tiempos característicos de los distintos acoplamientos entre ellos. Tal sistema se relaja rápidamente hacia el equilibrio termodinámico.

Entorno en el que la temperatura no es un parámetro relevante

En el caso de que la energía inyectada en el medio sea muy alta, la distribución microscópica difiere notablemente de las distribuciones de equilibrio. Sin embargo, se pueden crear estados estacionarios como en el efecto Sunyaev-Zel'dovich a partir de múltiples interacciones de Compton (comptonización). Este medio tiene una entropía y una energía interna para cada componente, electrones y fotones . Por tanto, podemos asociarle dos temperaturas, pero estas son de poco interés porque no permiten caracterizar las correspondientes distribuciones de energía.

Temperatura negativa

Algunos sistemas cuánticos relacionados con la resonancia magnética nuclear en cristales o gases ultrafríos tienen distribuciones de energía particulares que pueden estar completamente pobladas en el estado de energía más baja (cero absoluto) pero también en el estado de energía más alta. En ambos casos, la entropía es cero por definición. Entre los dos extremos, la entropía es finita, de modo que S es una función de U primero aumentando y luego disminuyendo. Si adoptamos la definición estándar de temperatura, esto conduce a un valor infinito en la máxima entropía, seguido de valores negativos para altas energías. Este problema está relacionado con la definición de entropía de Boltzmann pero desaparece si se usa una definición alternativa dada por Willard Gibbs .

Este problema ilustra la dificultad de definir la temperatura.

Notas y referencias

Notas

Expresión válida en el caso de una transformación reversible.
Expresión válida en el caso de una transformación isocórica.
Pero no de la ecuación de estado, cuya justificación depende del enfoque microscópico.
También se puede utilizar entalpía en lugar de energía interna.

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