Espiral de Arquímedes

La espiral de Arquímedes es la siguiente curva de ecuación polar :

\ rho = a \ theta.

La espiral de Arquímedes es la curva descrita por un punto en movimiento uniforme a lo largo de una línea recta en rotación misma uniformemente alrededor de un punto. El ritmo de los discos de vinilo es una espiral de Arquímedes.

La espiral dibujada en el lado opuesto es una espiral definida para ángulos positivos. La espiral de la ecuación $r = -t / π$ definida para ángulos negativos sería la imagen de la anterior por un eje de simetría (Ox). Tendría la misma forma pero giraría en la dirección opuesta.

La curva de la ecuación polar:

$\ rho = a \ theta + b$

es también una espiral de Arquímedes. Es la espiral precedente que ha sufrido una rotación de ángulo - b / a .

Construcción mecánica

Podemos imaginar una construcción mecánica de una espiral de Arquímedes colocando la hoja de papel sobre una base provista de un movimiento de rotación uniforme alrededor de un eje vertical que pasa por O. El lápiz, por su parte, se aleja del centro. O siguiendo un uniforme movimiento rectilíneo. Los dos movimientos se pueden unir mediante un sistema de tornillo sin fin .

Ley de áreas

El área barrida por un rayo en el intervalo $[0, θ ]$ es

{\ frac {a ^ {2} \ theta ^ {3}} 6}.

Tenga cuidado, esto no corresponde al área de la espiral porque el rayo corre el riesgo de barrer la misma porción del plano varias veces.

Problemas famosos

Trisección de ángulo

Una espiral de Arquímedes no resuelve "el" problema de la trisección del ángulo : para un ángulo dado $θ$ , es imposible construir el ángulo $θ / 3$ con una regla y un compás . Por otro lado, es posible construir el ángulo $θ / 3$ con una regla, un compás Y una espiral de Arquímedes: basta con ubicar el punto M de la espiral asociado al ángulo $θ$ , para construir un círculo de centro O y radio OM / 3. Este círculo interseca la espiral en un punto P asociado con el ángulo $θ / 3$ .

Molienda circular

Rectificar el círculo es un problema análogo a cuadrarlo. Encontrar la cuadratura del círculo es buscar el cuadrado que tiene la misma área que un círculo dado. Buscar la rectificación del círculo es buscar un segmento recto que tenga la misma longitud que el perímetro del círculo. En uno de los casos (la cuadratura) se trata de representar $\sqrt π$ por una longitud, en el otro caso (la rectificación), se trata de representar $π$ por una longitud. La espiral de Arquímedes permite realizar la segunda construcción.

Usamos la propiedad de la tangente a la espiral en el punto M asociado con el ángulo $θ$ . Podemos demostrar que el ángulo $α$ formado por esta tangente con la recta (OM) no es constante, como ocurre en una espiral logarítmica , sino que varía en función de $θ$ según la siguiente ley:

$\ tan (\ alpha) = \ theta.$

Entonces es suficiente dibujar la tangente a la espiral en el punto M asociado con $π$ . Se encuentra con la línea (Oy) en P. Entonces obtenemos la razón $\ pi = {\ frac {OP} {OM}}.$

Cuestiones no resueltas

Los dos párrafos anteriores podrían hacer creer que Arquímedes, gracias a su espiral, habría resuelto los dos problemas clásicos de la trisección del ángulo y de la cuadratura del círculo. Pero no lo es. Los matemáticos de la época buscaban métodos de resolución de regla y brújula y despreciaban las resoluciones mecánicas . Es por esto que la espiral de Arquímedes no se consideró una herramienta de resolución y fue rechazada al igual que otras cuadrátrices y otras trisectrices.

Además, la tangente a la gráfica en espiral solo cambió el problema.

Ver también

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