Seno integral

La función seno integral , denominada $Si$ , es una función especial de la física matemática introducida por Fresnel en el estudio de las vibraciones de la luz, se define para cualquier $x$ real por la integral :

{\ Displaystyle \ operatorname {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin (t)} {t}} ~ \ mathrm {d} t}

donde la función $sin$ es la función sinusoidal .

Histórico

Esta función fue utilizada por Oscar Xavier Schlömilch (para representar ciertas integrales definidas) con la notación moderna $Si ( x )$ de 1846. Una primera tabulación de esta función (para $x = 1,\dots, 10$ ), debida a Carl Anton Bretschneider , fue reeditado por Schlömilch en 1848. Jean Denis Fenolio publicó en 1857 una memoria que sugiere varias fórmulas para el cálculo numérico de la función $Si ( x )$ . Davide Besso (ru) publicó en 1868 una tabla de valores de $Si ( x )$ para $x$ múltiplo entero de $π$ . Una tabulación más precisa que las de Bretschneider y Besso fue publicada en 1870 por JWL Glaisher, quien también da una historia del uso de esta función en la literatura matemática. Las tablas detalladas de funciones trigonométricas integral , exponencial integral y seno completo fueron publicadas en 1940 por la Agencia Federal de Obras (en) , bajo la dirección de Arnold D. Lowan. La introducción al volumen 1 de estas tablas contiene (pág. 26) una bibliografía de aplicaciones de estas funciones en física e ingeniería .

Propiedades

La función es continua, infinitamente diferenciable en ℝ, y $\ forall x \ in \ mathbb {R}, \ {\ mathrm {Si}} '(x) = {\ frac {\ sin (x)} {x}} = {\ mathrm {sinc}} (x)$ donde está la función del seno cardinal . ${\ mathrm {sinc}}$
La función $Si$ se puede desarrollar en series enteras en ℝ, y tenemos $\ forall x \ in \ mathbb {R}, \ {\ mathrm {Si}} (x) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} (- 1) ^ {n} { \ frac {x ^ {{2n + 1}}} {(2n + 1)! (2n + 1)}}.$ Este desarrollo permite extender la función $Si$ a una función completa .
$\ lim _ {{x \ to + \ infty}} {\ mathrm {Si}} (x) = \ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {\ sin (t)} t} ~ {\ mathrm d} t = {\ frac {\ pi} {2}}$ . Esta es la integral de Dirichlet .
Una fórmula interesante: $\ pi \ int _ {1} ^ {n} {{n \ elija x} ~ {\ mathrm d} x} = {\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} {{n + 1 \ elija k + 1} {\ mathrm {Si}} (k \ pi)}} - {\ mathrm {Si}} (\ pi), ~ {\ text {con}} ~ {n \ elija x} = {\ frac {n!} {\ Gamma (x + 1) \ Gamma (nx + 1)}}$ ( coeficiente binomial generalizado ).

Referencias

O. Schlömilch , “ Nota sobre algunas integrales definidas ”, J. Reine angew. Matemáticas. , vol. 33, n o 316,1846( leer en línea )
(de) O. Schlömilch, Analytische Studien vol. 1 , 1848, pág. 196
JD Fenolio, Ensayo sobre el seno integral , Turín , Royal Printing, 1857
(it) D. Besso, "Sull'integral seno e l'Integral coseno", en Giornale di matematiche ( Battaglini (it) ) , vol. 6, 1868, pág. 313
(in) JWL Glaisher, "Tablas de los valores numéricos del seno integral, el coseno-integral y el exponencial-integral" en Philos. Trans. R. Soc. , Vuelo. 160, 1870, pág. 387
(en) Arnold L. Lowan (ed.), Tablas de seno, coseno e integrales exponenciales , t. 1 y t.2 , Nueva York, 1940

Ver también

Bibliografía

(en) Eugen Jahnke (de) y Fritz Emde (de) , Tablas de funciones superiores , McGraw Hill, 1960, p. 18
(en) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas [ detalle de la edición ] ( leer en línea )

enlaces externos

(en) Sine Integral en functions.wolfram.com
(en) Eric W. Weisstein , " Sine integral " , en MathWorld
(en) NM Temme, " Integrales exponenciales, logarítmicas, de seno y coseno " en dlmf.nist.gov
(en) " La función especial Si (x) ", en el Diccionario dinámico de funciones matemáticas