Matriz S (matemáticas)

En matemáticas , una -matriz es una matriz cuadrada real cuya imagen del orto positivo interseca el interior de este ortante . Estas matrices aportan propiedades particulares a los problemas de complementariedad lineal . S{\ Displaystyle \ mathbf {S}}

Definiciones

Las propiedades equivalentes que pueden servir como definición para matrices-requieren que especifiquemos algunas notaciones y recordemos la definición de un problema de complementariedad lineal. S{\ Displaystyle \ mathbf {S}}

• Para un vector , la notación significa que todos los componentes del vector son positivos y la notación significa que todos los componentes del vector son estrictamente positivos.X∈Rno{\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}X⩾0{\ Displaystyle x \ geqslant 0}XI{\ Displaystyle x_ {i}}X>0{\ Displaystyle x> 0}
• Dada una matriz cuadrada real de orden y un vector , un problema de complementariedad lineal consiste en encontrar un vector tal que , y (lo que equivale a decir que el producto de Hadamard de y es cero), que escribimos abreviado de la siguiente manera:METRO∈Rno×no{\ Displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}q∈Rno{\ Displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}X∈Rno{\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}X⩾0{\ Displaystyle x \ geqslant 0}METROX+q⩾0{\ Displaystyle Mx + q \ geqslant 0}X⊤(METROX+q)=0{\ Displaystyle x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0}X{\ Displaystyle x}METROX+q{\ Displaystyle Mx + q}
  
  CL(METRO,q):0⩽X⊥(METROX+q)⩾0.{\ Displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}
  
  

S{\ Displaystyle \ mathbf {S}}-matriz  -  Decimos que una matriz cuadrada real es una -matriz si se cumple una de las siguientes propiedades equivalentes: METRO∈Rno×no{\ Displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}S{\ Displaystyle \ mathbf {S}}

1. hay tal que ,X⩾0{\ Displaystyle x \ geqslant 0}METROX>0{\ displaystyle Mx> 0}
2. hay tal que ,X>0{\ Displaystyle x> 0}METROX>0{\ displaystyle Mx> 0}
3. ∀q∈Rno{\ Displaystyle \ forall \, q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}, el problema es factible.CL⁡(METRO,q){\ Displaystyle \ operatorname {CL} (M, q)}

Denotamos el conjunto de matrices de cualquier orden. Llamamos -matricidad a la propiedad de una matriz a la que perteneceS{\ Displaystyle \ mathbf {S}}S{\ Displaystyle \ mathbf {S}}S{\ Displaystyle \ mathbf {S}}S.{\ Displaystyle \ mathbf {S}.}

La letra S se refiere a Stiemke.

Apéndices

Nota

1. Cottle, Pang y Stone (2009), página 140.

Artículo relacionado

• Complementariedad lineal

Bibliografía

• (en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). El problema de la complementariedad lineal . Clásicos en Matemáticas Aplicadas 60. SIAM, Filadelfia, PA, EE. UU.

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