Serie trigonométrica

Una serie trigonométrica es una secuencia particular de polinomios trigonométricos . La serie tiene una frecuencia fundamental f , y sumamos sucesivamente funciones trigonométricas de frecuencia nf para valores enteros de n .

Por tanto, la suma parcial de orden n de la serie tiene la siguiente forma

S_ {n} = \ sum _ {{p = -n}} ^ {n} c_ {p} \ exp \ left ({\ mathrm i} {\ frac {2p \ pi} {T}} x \ right)

si trabajamos con notaciones complejas. Pero también usamos comúnmente

S_ {n} = \ sum _ {{p = 0}} ^ {n} a_ {p} \ cos \ left ({\ frac {2p \ pi} {T}} x \ right) + \ sum _ {{ p = 1}} ^ {n} b_ {p} \ sin \ left ({\ frac {2p \ pi} {T}} x \ right)

si tenemos una serie trigonométrica con valores reales.

El ejemplo más clásico de una serie trigonométrica es la serie de Fourier asociada con una función periódica integrable.

Teorema de unicidad de Cantor

A Georg Cantor le debemos el teorema de unicidad de las series trigonométricas, demostrado en 1870 .

Teorema : si una serie trigonométrica converge en cualquier punto hacia la función nula , entonces todos sus coeficientes son cero. Por tanto, dos series trigonométricas que tienen el mismo límite simple tienen los mismos coeficientes.

El propio Cantor amplió su resultado, haciéndolo válido cuando hay convergencia en cualquier punto excepto en un número finito (además, al tratar de generalizar este resultado, Cantor se verá inducido a introducir la noción de número ordinal ).

Siguieron otras extensiones. Llamamos conjunto de unicidad a un subconjunto de la línea real, definido módulo $2π$ , sobre el complemento del cual se extiende el resultado de unicidad de Cantor.

En 1909 , Young demostró que los conjuntos contables son conjuntos de unicidad;
sabemos desde su definición por Lebesgue que los conjuntos de unicidad son de medida cero (para la medida de Lebesgue );
en 1916 , Dmitry Menchoff (en) da un ejemplo de un conjunto de medida nula que no es un conjunto de unicidad;
Desde entonces se han agregado muchos resultados más precisos.

Enlace con la serie Fourier

Según un teorema de Lebesgue de 1902, si una serie trigonométrica simplemente converge a una función acotada, entonces es la serie de Fourier de esa función. Como ilustra el resultado de Menchoff señalado anteriormente, este teorema sería defectuoso si la convergencia simple fuera reemplazada por convergencia en casi todas partes .

Estos teoremas de unicidad no deben confundirse con el teorema de inyectividad del coeficiente de Fourier: dos funciones que tienen los mismos coeficientes de Fourier son iguales en casi todas partes . Consulte el artículo de la serie Fourier .

El problema de la existencia de una descomposición.

Si f es una función medible, finita en casi todas partes, un teorema de Menchoff muestra que existe una serie trigonométrica que converge af en casi todas partes.

Notas y referencias

D. Menchoff , " Sobre la singularidad del desarrollo trigonométrico ", CR Acad. Sci. París , vol. 163,1916, p. 433-436
D. Menchoff , “ Sobre la representación de funciones medibles por series trigonométricas ”, Mat. Sb. , vol. 9 (51), n o 3,1941, p. 667-692 ( leer en línea )

Ver también

Bibliografía

(en) Nina Bari , Tratado sobre series trigonométricas , Macmillan ,1964
Jean-Pierre Kahane y Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, series de Fourier y wavelets [ detalle de ediciones ]
Bernhard Riemann , "Historia de la investigación relacionada con la representación mediante una serie trigonométrica de una función dada arbitrariamente" , en Memorias publicadas después de la muerte de Riemann ( leer en línea )
(en) Antoni Zygmund , Serie trigonométrica , CUP ,2002, 3 e ed. , 747 p. ( ISBN 978-0-521-89053-3 , leer en línea )