Cuadrupolo electrostático

En electrostática , un cuadrupolo es una distribución de cargas tal que los baricentros de cargas positivas y negativas son los mismos.

Análisis de cuadrupolo

Sea una distribución de cargas en los puntos . Esta distribución con soporte compacto crea un potencial a gran distancia de las cargas (por , con longitud característica de la distribución) . (D){\ Displaystyle ({\ mathcal {D}})}qI{\ Displaystyle q_ {i}}PAGI{\ Displaystyle P_ {i}}(D){\ Displaystyle ({\ mathcal {D}})}r≫a{\ Displaystyle r \ gg a}a{\ Displaystyle a}V1(r){\ Displaystyle V_ {1} (r)}

Definimos :

• rI→=OPAGI→{\ Displaystyle {\ vec {r_ {i}}} = {\ vec {OP_ {i}}}}
• q=∑IqI{\ Displaystyle q = \ sum _ {i} q_ {i}} la suma de los cargos
• pag→(O)=∑IqIrI→{\ Displaystyle {\ vec {p}} (O) = \ sum _ {i} q_ {i} {\ vec {r_ {i}}}}, independiente de si , nulo si se elige el baricentro de las cargasO{\ Displaystyle O}q=0{\ Displaystyle q = 0}O{\ Displaystyle O}
• JO=∑IqIrI2{\ Displaystyle J_ {O} = \ sum _ {i} q_ {i} r_ {i} ^ {2}}, el momento de inercia con respecto a O{\ Displaystyle O}
• J^(X→)=∑IqIrI→∧(X→∧rI→){\ Displaystyle {\ hat {J}} ({\ vec {X}}) = \ sum _ {i} q_ {i} {\ vec {r_ {i}}} \ wedge ({\ vec {X}} \ wedge {\ vec {r_ {i}}})}, el operador lineal de inercia en comparación con O{\ Displaystyle O}
• Q^=2JoX-3J^X{\ Displaystyle {\ hat {Q}} = 2J_ {o} X-3 {\ hat {J}} X}, el operador lineal cuadrupolar en O{\ Displaystyle O}

Se puede comprobar que hay rastro: . Q^{\ Displaystyle {\ hat {Q}}}Tr Q^=0{\ displaystyle {\ textrm {Tr}} \ {\ hat {Q}} = 0}

En el caso de una distribución de carga continua, la expresión del componente del tensor de cuadrupolo es QIj{\ Displaystyle Q_ {ij}}

QIj=∫ρ(3rIrj-‖r‖2δIj)D3r→{\ Displaystyle Q_ {ij} = \ int \ rho \ left (3r_ {i} r_ {j} - \ | r \ | ^ {2} \ delta _ {ij} \ right) {\ textrm {d}} ^ {3} {\ vec {r}}}, donde está el símbolo de Kronecker . δIj{\ Displaystyle \ delta _ {ij}}

Desarrollo cuadrupolar

Teorema:

V1(r→)=14πϵ0(qr+pag→⋅tu→r2+tu→⋅(Q^tu→)2r3)+o(1r3){\ Displaystyle V_ {1} ({\ vec {r}}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q} {r}} + { \ frac {{\ vec {p}} \ cdot {\ vec {u}}} {r ^ {2}}} + {\ frac {{{\ vec {u}} \ cdot \ left ({\ hat { Q}} {\ vec {u}} \ right)} {2r ^ {3}}} \ right) + o \ left ({\ frac {1} {r ^ {3}}} \ right)}, con tu→=r→r{\ Displaystyle {\ vec {u}} = {\ frac {\ vec {r}} {r}}}

En gravimetría, este teorema se llama fórmula de MacCullagh .

Caso especial: eje de simetría

Cuando tiene una simetría de revolución, las expresiones del momento cuadripolo se simplifican y es diagonal. (D){\ Displaystyle ({\ mathcal {D}})}Q^{\ Displaystyle {\ hat {Q}}}

Si asumimos simetría alrededor del eje , entonces la matriz de momentos es y . (Oz){\ Displaystyle (Oz)}QX,X=Qy,y=-Qo/2{\ Displaystyle Q_ {x, x} = Q_ {y, y} = - Q_ {o} / 2}Qz,z=Qo{\ Displaystyle Q_ {z, z} = Q_ {o}}

Si no es cero, elegimos en , y luego: q{\ Displaystyle q}O{\ Displaystyle O}GRAMO{\ Displaystyle G}

V1(r→)=14πϵ0(qr+Qo2r3⋅PAG2(vsosθ))+o(1r3){\ Displaystyle V_ {1} ({\ vec {r}}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q} {r}} + { \ frac {Q_ {o}} {2r ^ {3}}} \ cdot P_ {2} (cos \ theta) \ right) + o \ left ({\ frac {1} {r ^ {3}}} \ derecho)}Con ( 3 e polinomio de Legendre ). PAG2(X)=3X2-12{\ Displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {3x ^ {2} -1} {2}}}

Este teorema es válido en gravimetría para la Tierra supuestamente giratoria. En este caso, <0; el uso es posar . Qo=2(A-VS){\ Displaystyle Q_ {o} = 2 (AC)}J2=VS-AMETROa2=1.08263×10-3{\ Displaystyle J_ {2} = {\ frac {CA} {Ma ^ {2}}} = 1.08263 \ times 10 ^ {- 3}}

El potencial de la tierra es así . V(METRO)=-GRAMOMETROr+GRAMOMETROaJ2PAG2(vsosθ)r3{\ Displaystyle V (M) = - {\ frac {GM} {r}} + {\ frac {GMaJ_ {2} P_ {2} (cos \ theta)} {r ^ {3}}}}

Este desarrollo se puede impulsar aún más (desarrollo en armónicos esféricos; términos en (octupolar) , etc.). J4{\ Displaystyle J_ {4}}J6{\ Displaystyle J_ {6}}

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