Pöschl - Potencial cajero
En física matemática, un potencial de Pöschl-Teller , llamado así por los físicos Herta Pöschl (acreditado como G. Pöschl) y Edward Teller , es una clase especial de potenciales para los cuales la ecuación unidimensional de Schrödinger se puede resolver en términos de funciones especiales .
Definición
En su forma simétrica, el potencial viene dado explícitamente por:
V(X)=-λ(λ+1)2smivsh2(X){\ Displaystyle {\ Displaystyle V (x) = - {\ frac {\ lambda (\ lambda +1)} {2}} \ mathrm {sech} ^ {2} (x)}}
y las soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
-12ψ″(X)+V(X)ψ(X)=miψ(X){\ Displaystyle {\ Displaystyle - {\ frac {1} {2}} \ psi '' (x) + V (x) \ psi (x) = E \ psi (x)}}![{\ Displaystyle {\ Displaystyle - {\ frac {1} {2}} \ psi '' (x) + V (x) \ psi (x) = E \ psi (x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b9040b6e124b204306d986a0c89f936d171843)
con este potencial se puede encontrar en virtud de la sustitución, lo que da
[(1-tu2)ψ′(tu)]′+λ(λ+1)ψ(tu)+2mi1-tu2ψ(tu)=0{\ Displaystyle \ left [(1-u ^ {2}) \ psi '(u) \ right]' + \ lambda (\ lambda +1) \ psi (u) + {\ frac {2E} {1-u ^ {2}}} \ psi (u) = 0}![{\ Displaystyle \ left [(1-u ^ {2}) \ psi '(u) \ right]' + \ lambda (\ lambda +1) \ psi (u) + {\ frac {2E} {1-u ^ {2}}} \ psi (u) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9304e92f3b53756e2ed60ba87f7854fc21f370f8)
.
Por lo tanto, las soluciones son solo funciones de Legendre con y . Además, los datos de valor propio y difusión se pueden calcular explícitamente. En el caso especial donde es un número entero, el potencial está libre de reflexión y tales potenciales también pueden ser soluciones de N-solitones de la ecuación de Korteweg-de Vries .
PAGλμ(tanh(X)){\ Displaystyle {\ Displaystyle P _ {\ lambda} ^ {\ mu} (\ tanh (x))}}
mi=-μ22{\ Displaystyle {\ Displaystyle E = {\ frac {- \ mu ^ {2}} {2}}}}
λ=1,2,3⋯,μ=1,2,⋯,λ-1,λ{\ displaystyle {\ displaystyle \ lambda = 1,2,3 \ cdots}, {\ displaystyle \ mu = 1,2, \ cdots, \ lambda -1, \ lambda}}
λ{\ Displaystyle \ lambda}![\ lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
La forma más general del potencial viene dada por:
V(X)=-λ(λ+1)2smivsh2(X)-ν(ν+1)2vssvsh2(X).{\ Displaystyle {\ Displaystyle V (x) = - {\ frac {\ lambda (\ lambda +1)} {2}} \ mathrm {sech} ^ {2} (x) - {\ frac {\ nu (\ nu +1)} {2}} \ mathrm {csch} ^ {2} (x).}}![{\ Displaystyle {\ Displaystyle V (x) = - {\ frac {\ lambda (\ lambda +1)} {2}} \ mathrm {sech} ^ {2} (x) - {\ frac {\ nu (\ nu +1)} {2}} \ mathrm {csch} ^ {2} (x).}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5152355816ba6f7337e628d69827950ce3ee0e66)
Potencial Rosen-Morse
Un potencial relacionado viene dado por un término adicional.
V(X)=-λ(λ+1)2smivsh2(X)-gramotanhX{\ Displaystyle {\ Displaystyle V (x) = - {\ frac {\ lambda (\ lambda +1)} {2}} \ mathrm {sech} ^ {2} (x) -g \ tanh x}}
Ver también
Referencias
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"Memorias biográficas de Edward Teller". por Stephen B. Libby y Andrew M. Sessler, 2009 (publicado en Edward Teller Centennial Symposium: modern physics and the scientific legacy of Edward Teller , World Scientific, 2010.
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G. Pöschl y E. Teller , “ Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators ”, Zeitschrift für Physik , vol. 83, n hueso 3-4,1933, p. 143–151 ( DOI 10.1007 / BF01331132 , Bibcode 1933ZPhy ... 83..143P )
-
Siegfried Flügge Practical Quantum Mechanics (Springer, 1998)
-
(De) G. Pöschl y E. Teller , “ Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators ” , Zeitschrift für Physik , vol. 83, n hueso 3-4,Marzo de 1933, p. 143-151 ( ISSN 1434-6001 y 1434-601X , DOI 10.1007 / bf01331132 , leído en línea , consultado el 4 de octubre de 2018 )
-
(en) AO Barut , A. Inomata y R. Wilson , " Tratamiento algebraico de las ecuaciones de Poschl second-Teller, Morse-Rosen y Eckart " , Journal of Physics A: Mathematical and General , vol. 20, n o 13,1987, p. 4083 ( ISSN 0305-4470 , DOI 10.1088 / 0305-4470 / 20/13/017 , leído en línea , consultado el 4 de octubre de 2018 )
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