Las paradojas de Zenón son un conjunto de paradojas ideadas por Zenón de Elea para apoyar la doctrina de Parménides , que cualquier evidencia de los sentidos es engañosa y el movimiento es imposible.
Varias de las ocho paradojas de Zenón han pasado a través del tiempo (reportadas por Aristóteles en Física y por Simplicio en un comentario sobre este tema). Algunos se consideraban, incluso en la antigüedad, fáciles de refutar.
Las paradojas de Zenón eran un problema importante para los filósofos antiguos y medievales, que encontraron ninguna solución satisfactoria a la XVII ª siglo, con el desarrollo de las matemáticas los resultados de las secuencias infinitas y el análisis .
Si la pluralidad existe, debe ser infinitamente pequeña e infinitamente grande: infinitamente pequeña porque sus partes deben ser indivisibles y, por lo tanto, sin magnitud; infinitamente grande, porque cada parte estará separada de otra por otra, esta última por otro tercio, esta última por la primera y desde la segunda por una cuarta y una quinta, y así indefinidamente.
Si la pluralidad existe, debe ser tanto finita como infinita en número: numéricamente finita, porque hay tantas cosas como hay, ni más ni menos; numéricamente infinito, porque dos cosas están separadas por una tercera, esta última está separada de la primera por una cuarta, de la segunda por una quinta, y así indefinidamente.
En la paradoja de Aquiles y la tortuga, se dice que un día el héroe griego Aquiles participó en una carrera a pie con el reptil lento. Como se sabía que Aquiles era un corredor muy rápido, gentilmente le dio a la tortuga una ventaja de cien yardas. Zénon luego afirma que el rápido Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga. “De hecho, supongamos para simplificar el razonamiento de que cada competidor corre a velocidad constante, uno muy rápido y el otro muy lentamente; al cabo de cierto tiempo , Aquiles habrá recuperado sus cien metros de retraso y llegado al punto de partida de la tortuga; pero durante este tiempo, la tortuga habrá recorrido una cierta distancia, ciertamente mucho más corta, pero no cero, digamos un metro. Esto requerirá un tiempo adicional de Aquiles para recorrer esta distancia, durante la cual la tortuga avanzará aún más; y luego otra vez antes de llegar a este tercer punto, mientras que la tortuga habrá progresado más. Entonces, cada vez que Aquiles llega a donde estaba la tortuga, ella termina aún más lejos. En consecuencia, el veloz Aquiles nunca pudo ni podrá alcanzar a la tortuga ”.
"Desde el V º siglo aC. AD , escriben Philippe Boulanger y Alain Cohen en Le Trésor des Paradoxes (Ed. Belin, 2007), esta paradoja del movimiento ha estimulado el pensamiento de los matemáticos, incluidos Galileo, Cauchy , Cantor , Carroll y Russell ”. Para Bergson , "los filósofos lo han refutado de muchas formas y de manera tan diferente que cada una de estas refutaciones priva a los demás del derecho a creerse definitivos".
En el análisis moderno, la paradoja se resuelve utilizando el hecho de que una serie infinita de números estrictamente positivos puede converger en un resultado finito.
Si un celemín de trigo hace ruido cuando cae, también debe hacerlo todo grano de trigo y hasta cada parte de un grano.
Si todo lo que es está en un lugar, ese mismo lugar debe estar en otro lugar, y así indefinidamente.
Zenón está a ocho metros de un árbol, sosteniendo una piedra. Arroja su piedra en dirección al árbol. Antes de que el guijarro pueda alcanzar el árbol, debe cruzar la primera mitad de los ocho metros. Se necesita un cierto tiempo, no cero, para que esta piedra recorra esta distancia. Luego todavía le quedan cuatro metros, la mitad de los cuales completa primero, dos metros, lo que lleva un tiempo. Luego la piedra avanza un metro más, avanza después de medio metro y nuevamente en un cuarto, y así ad infinitum y cada vez con un tiempo distinto de cero. Zenón concluye de esto que la piedra no podrá golpear el árbol, ya que para ello sería necesario que se cruzaran efectivamente una serie infinita de etapas, lo cual es imposible. La paradoja se resuelve sosteniendo que el movimiento es continuo; el hecho de que sea infinitamente divisible no imposibilita todo eso. Además, en el análisis moderno, la paradoja se resuelve fundamentalmente utilizando el hecho de que una suma infinita de números estrictamente positivos puede converger en un resultado finito.
En la paradoja de la flecha, imaginamos una flecha en vuelo. En todo momento, la flecha está en una posición precisa. Si el instante es demasiado corto, entonces el brazo no tiene tiempo para moverse y permanece en reposo durante ese instante. Ahora, durante los próximos momentos, se quedará quieta por la misma razón. Si el tiempo es una sucesión de instantes y cada instante es un momento en el que el tiempo se detiene, entonces el tiempo no existe. Por lo tanto, la flecha está siempre parada en todo momento y no puede moverse: el movimiento es por lo tanto imposible.
Varios filósofos, incluido Descartes (carta a Clerselier, June oJulio 1646 ; en Mersenne7 de septiembre de 1646), Kant , Hume , Hegel , Bergson , han propuesto otras soluciones a estas paradojas. Una solución más simple, propuesta por primera vez por Leucipo y Demócrito , contemporáneos de Zenón, es negar que el espacio sea infinitamente divisible.
Otra interpretación es darse cuenta de que cuando se divide el espacio, también se divide proporcionalmente el tiempo de viaje y que, en última instancia, la velocidad permanece sin cambios.