Observación matemática de la pirámide de Keops

La pirámide de Keops ha sido analizado y medido con la mayor precisión posible gracias a investigadores de diferentes áreas desde el inicio de la XIX ª  siglo. A partir de estas mediciones, se hicieron varios supuestos sobre la voluntad de sus diseñadores de utilizar algunos elementos matemáticos en sus proporciones.

Convenciones

Para comparar los diferentes resultados y analizar las intenciones de los diseñadores, las medidas se expresan en codos egipcios . Por tanto, la pirámide tenía originalmente una base de 440 codos y una altura de 280 codos. La pendiente de sus caras viene dada por el informe 280/220 o 14/11. Esta relación, al ser un número adimensional , permanece, por supuesto, igual independientemente de la unidad de medida considerada.

El origen de la pendiente 14/11 de la gran pirámide

Esta pendiente de la apotema de la pirámide no es la única que fue implementada por los antiguos egipcios para la construcción de las pirámides. La pirámide de Meïdoum sufrió varios cambios de planes. Diseñado inicialmente como una pirámide escalonada , posteriormente se cubrió con un paramento que le dio la apariencia de una pirámide de caras lisas . La pendiente de las caras de sus escalones era 7/2 y la relación entre la altura de un escalón y su ancho era 2/1 (o 7 / 3,5). Siendo el paramento paralelo a la línea que une las cimas de los escalones, su pendiente es por tanto de 7 / 5,5 o 14/11, valor de la pendiente final de las caras de la pirámide. Por lo tanto, este valor se aplicó por primera vez a la pirámide de Meïdoum, pero no constituye una regla entre los constructores del Antiguo Imperio, ya que algunas pirámides tienen una pendiente de 17/18 ( pirámide roja ), 4/3 ( pirámide de Khafre ). o incluso 7/5 ( pirámide romboidal ).

El número pi y la proporción áurea.

Al estudiar la geometría de la Gran Pirámide, es difícil distinguir entre las intenciones de los constructores y las propiedades que se derivan de las proporciones del edificio. A menudo mencionamos el número áureo φ y el número Pi presente en las proporciones de la pirámide: los egipcios, como hemos visto, han elegido una pendiente para las caras del 14/11.

• Con respecto a la proporción áurea, la proporción de 14/11 da como resultado una proporción apotema / media base igual a , cercana a .142+11211≃1,61859{\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {14 ^ {2} + 11 ^ {2}}} {11}} \ simeq 1.61859}φ=1+52≃1,61803{\ Displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ simeq 1,61803}
• El valor del número vendría dado por la relación (medio perímetro de la base) / altura. Obtenemos así el valor aproximado .π≃3,14159{\ Displaystyle \ pi \ simeq 3,14159}4×1114=227≃3,14285≃π{\ Displaystyle {\ frac {4 \ times 11} {14}} = {\ frac {22} {7}} \ simeq 3,14285 \ simeq \ pi}

Por lo tanto, estos dos resultados se derivan del uso de una pendiente de 14/11. Si esto se considera un deseo deliberado de incluirlos en la construcción, el mérito sería del arquitecto que utilizó por primera vez esta pendiente en la pirámide de Meïdoum , terminada durante el reinado de Snefrou . Pero esta proposición es inverosímil. Según los pocos documentos matemáticos raros recopilados hasta la fecha, los antiguos egipcios no tenían conocimiento del número π y solo usaban el número de sustitución 256/81 = 3.1605 para calcular el área de un disco, un método de cálculo ya mencionado en particular en el Papiro de Rhind que data del Reino Medio (ver también Geometría en el antiguo Egipto ).

Relaciones de superficie

Existe una relación notable entre el área de la base de la pirámide y el área del nivel de la cámara del rey, cuyo piso está a 82 codos sobre el nivel del suelo. El área de la base es 440 2  codos 2 , o 193,600 codos 2 o nuevamente 2 × 96,800 codos 2 . Los lados del nivel de la cámara del rey valen 2 × (220 - 82 × 11/14) = 311,14 codos. Por tanto, el área de este nivel es igual a 96 809,88 codos 2 .

Primera propiedad: el área del nivel de la cámara del rey es igual, dentro de 0.01 % , a la mitad del área de la base de la pirámide .

Muchas relaciones también son el resultado de este informe del 14/11. Primero, la circunferencia del círculo, cuyo radio es la altura de la pirámide (es decir, 280 codos), es igual al perímetro de la base de la pirámide (cuyos lados miden 440 codos).

De hecho, la circunferencia del círculo está dada por 2 × π × 280 = 1,759.3 codos y el perímetro del cuadrado por 440 × 4 = 1,760 codos.

Segunda propiedad: El perímetro de la base de la pirámide es igual, dentro del 0.02% , a la circunferencia del círculo cuyo radio es la altura de la pirámide .

Observe que obtenemos un error del 0.00023% si usamos π = 3.14285 (ver § El número π y el número dorado).

El área de las cuatro caras de la pirámide, si descuidamos el fenómeno del ahuecamiento de las caras al nivel de la apotema (ver El fenómeno de la apotema ), está dada por a × c / 2, es decir, 356.09 × 440/2 = 78 339,8 codos 2 y h 2 = 280 2 = 78 400 codos 2 . Por lo tanto, estos dos valores son iguales a 2 × (78400 - 78339.8) / (78400 + 78339.8) = 0.08% cerca.

Tercera propiedad: El área de cada una de las caras de la pirámide es igual, al 0.001% más cercano, a la altura de la pirámide cuadrada .

Observaciones matemáticas y astronomía

La orientación de la pirámide según los cuatro puntos cardinales.

Esta es la propiedad más destacable desde el punto de vista técnico, y todos coinciden en que fue la intención de los constructores. Este es un egiptólogo Petrie que, en el XIX °  siglo, es el primero que ha llamado la atención sobre la extraordinaria precisión alcanzada por los antiguos egipcios. Las cuatro caras miden en su base: 230.454 m al sur, 230.253 m al norte, 230.357 m al oeste y 230.394 m al este. El error obtenido para un cuadrado perfecto es de solo 20 cm (solo 4,4 cm según Mark Lehner ). La pirámide está orientada a lo largo de los cuatro puntos cardinales con un error medio de 3 ' . El error medio en los ángulos rectos de la base también es de 3 ' . La base de la pirámide fue nivelada con un error de algunos centímetros.

La pirámide y la estrella polar

La precesión de los equinoccios es un cambio en la dirección del eje de rotación de la tierra. Este eje de rotación apunta actualmente a la Estrella Polar , la estrella más brillante de la constelación de la Osa Menor . Esta precesión tiene el efecto de provocar un movimiento aparente de las estrellas de la bóveda celeste y, en consecuencia, de la estrella polar. Si nos remontamos a la época de la construcción de la gran pirámide (c. -2650), Alfa del Dragón (también llamado Thuban) de la constelación del Dragón estaba más cerca del eje de rotación de la tierra yendo incluso hasta que está a solo 0,5 ° de distancia hacia -2800 . Muchos autores afirman que, el conducto norte de la cámara del rey o el descenso, apuntaba hacia la estrella polar de la época, Alfa del Dragón . Existe una forma muy sencilla de determinar el ángulo de inclinación de una galería destinada a apuntar a la Estrella Polar. Este ángulo debe ser igual a la latitud del lugar donde se ubica esta galería, que es aquí la latitud de la pirámide de Keops que es 29 ° 58 '44 " . Ahora, por un lado, el ángulo de descenso es de 26 ° 26 '46 " , y por otro lado el ángulo del conducto de ventilación norte de la cámara funeraria es de 32 ° 30 ' .

En conclusión, ni los conductos ni el punto de descenso (ni apuntaban ) al polo celeste , ninguno de ellos apuntaba a la estrella Alfa del Dragón .

La pirámide y la estrella Alnitak de la constelación de Orión

Había muchas teorías destinadas a hacer de la pirámide un observatorio astronómico. Los pasillos de ventilación en el lado sur habrían apuntado por uno (el de la cámara de la reina) hacia la estrella Sirio , y por el otro (el de la cámara del rey) hacia la estrella Alnitak . Sin embargo, el corredor de ventilación sur de la cámara del rey está inclinado en un ángulo de 45 ° con respecto a la horizontal. Por lo tanto, apunta a un punto en el cielo cuya altitud es igual a 45 ° mientras que la altitud de la estrella Alnitak, en ese momento era 44 ° 23 ' en su cenit. Una diferencia de menos de 1 ° que sin embargo no permitía tener un objetivo directo de la estrella.

La pirámide y la estrella Sirio de la constelación de Canis Major

Otra teoría establece que el conducto de ventilación sur de la cámara de la reina apuntaba a la estrella Sirio, que en ese momento tenía una altitud en su punto máximo de 37 ° 10 ' . Ahora este conducto, inclinado a 38 ° 28 ' , apunta a un lugar en el cielo cuya altitud es igual a este valor angular, una posición diferente de Sirio en más de un grado.

Todas las estrellas del cielo (excepto la estrella polar ) tienen un movimiento aparente debido a la rotación de la tierra sobre sí misma, rotación completa realizada en 24 horas. Este movimiento implica que, si efectivamente se apuntó una estrella (Sirius o Alnitak ), entonces la meta solo se alcanzó durante unas pocas decenas de segundos, animando las estrellas con este aparente movimiento que parece hacerlas vagar por el cielo nocturno. Además, las dos estrellas no alcanzan su cenit al mismo tiempo, siendo Sirius el primero en el eje del corredor sur de la cámara de la reina, luego es el turno de Alnitak de estar en el eje del conducto sur de la cámara del rey.

Por último, cabe señalar en el caso en el que fue intención de los constructores apuntar a estas estrellas, el extraño hecho de que los conductos de la cámara de la reina no eran rectilíneos sino que por el contrario muestran un cambio de eje y además estaban bloqueados. a nivel de la cámara y pararse a escasos metros de la superficie del monumento imposibilitando cualquier observación de este hecho. Además, en la hipótesis de un cambio de plan en la construcción, los diferentes roles atribuidos a los conductos de la cámara del rey y de la cámara de la reina no encajan bien con un proyecto calculado sobre las estrellas.

La geometría de la distribución interna.

Conductos de ventilacion

El arquitecto de la gran pirámide parece haber querido una propiedad geométrica. Los conductos de ventilación de la cámara de la reina alcanzarían el mismo nivel de la pirámide. Este hecho se verifica para los conductos de la cámara del rey. Esta teoría se opone a la astronómica expuesta anteriormente.

El conducto sur de la cámara de la reina está inclinado en un ángulo de 38 ° 28 ' y el conducto norte en un ángulo de 37 ° 28' . Por tanto, estos dos conductos siguen el camino más corto que llega a la superficie de la pirámide. Estos ángulos corresponden, aproximadamente, a una pendiente de 11/14, la inversa de la pendiente de 14/11 de la apotema de la pirámide.

El conducto sur de la cámara del rey está inclinado en un ángulo de 45 ° correspondiente a una pendiente única de 1/1 y el conducto norte, en un ángulo de 32 ° 30 ' correspondiente a una pendiente de 7/11.

John Legon ha desarrollado una teoría que también apunta a identificar las propiedades geométricas inducidas por la disposición de los conductos. Pero este último impulsa el razonamiento más allá al correlacionar hábilmente varios puntos clave del plano seccional de la pirámide. Sus resultados, basados ​​según él en líneas geométricas simples, pueden parecer complicados para el neófito y resulta imposible verificar si son meras coincidencias o las verdaderas intenciones del arquitecto.

• Dormitorio del rey . El nivel del suelo es de 82 codos. El nivel de los puntos de intersección F y E de los conductos con el revestimiento de la pirámide es de 154 codos. La distancia entre F y E es 2 × (220 - 154 × 11/14) = 198 codos, valor de BG (distancia entre la parte superior de la pirámide y el piso de la cámara del rey). La diagonal del plano del nivel de la cámara del rey es igual a 2 × (220 - 82 × 11/14): sin (45 °) = 440 codos, valor de los lados de la base de la pirámide. El conducto norte tiene una pendiente de 7/11, valor de la pendiente de la diagonal EL de un rectángulo que tiene como altura la distancia desde la cima de la pirámide hasta la intersección de los conductos (126 codos) y como base 198 codos.
• Inclinaciones de los conductos . O el cuadrado CJKA con 280 codos en los lados. El punto F es el punto de intersección de la diagonal de este cuadrado con el círculo de radio CJ. Este punto F está ubicado a 280 × sen (45 °) = 198 codos por debajo de la cima, es decir, 82 codos del suelo, es decir, al nivel de la cámara del rey. Es decir, el cuadrado BDGH de 198 codos de lado. Los puntos de intersección F y E del cuadrado con la cubierta de la pirámide determinan la ubicación de los extremos de los conductos.

El dormitorio del rey

Las dimensiones del piso de la cámara del rey son 20 × 10  codos . Su altura es de 11.172 codos. El egiptólogo Jean-Philippe Lauer muestra que este último valor se obtuvo con el triángulo rectángulo ABC obtenido con la diagonal del lado ABCD de la cámara (ver figura al lado). Esta diagonal corresponde a un número entero de quince codos. Por tanto, el valor de la altura AB es igual a 11,18 codos (valor cercano a 0,01 codos) de la medida realizada en la cámara. El egiptólogo también notó que esta diagonal AC de 15 codos implica una diagonal del paralelepípedo rectangular de la cámara de veinticinco codos. Por tanto, el triángulo ACE tiene las mismas proporciones que el triángulo sagrado egipcio cuyos lados valen tres, cuatro y cinco codos. Esta cámara también tiene la particularidad de estar ubicada en el nivel donde la superficie del suelo de la pirámide es igual a la mitad de la superficie de su base (observación detallada en el párrafo Relaciones de superficie ).

Crítica de estas teorías

En 1988, en Le Pendule de Foucault , luego en una obra de 1990 titulada Los límites de la interpretación , el escritor Umberto Eco se burlaba de la interpretación excesiva de hechos probados o legendarios de la historia. De las dimensiones de un quiosco de periódicos tomadas al azar en su calle, extrae el mismo tipo de información y análisis que a veces se hacen en la pirámide de Keops. Demuestra que cuando intentamos encontrar números notables como Pi , o la distancia de la Tierra a la Luna, podemos encontrarlos fácilmente, incluso en un objeto cotidiano.

Referencias bibliográficas

• (es) William Matthew Flinders Petrie , Las pirámides y los templos de Gizeh ,1883
• André Pochan , El enigma de la Gran Pirámide ,mil novecientos ochenta y dos
• Jean-Philippe Lauer , El misterio de las pirámides ,1988( ISBN  978-2-258-02368-0 )
• Gilles Dormion , La Cámara de Keops ,2004
• (de) Armin Wirsching, Die Pyramiden von Giza: Mathematik in Stein gebaut , Norderstedt, Books on Demand , reed. 2009, 2 ª  ed. , 124  p. , bolsillo ( ISBN  978-3-8370-2355-8 )
• Revue Scriba , "Los conductos de ventilación de la gran pirámide de Giza", n o  4, 1995
• (en) Alexandre Badawy , “El destino estelar del faraón y los llamados pozos de aire en la pirámide de Keops”, MIOAWB 10, 1964, p. 189-206
• (en) Robert Bauval , “Los ejes estelares de la pirámide de Keops”, Discusiones en Egiptología , n ° 29, 1994, p. 25-27
• (en) John Legon, “Alineaciones de ejes de aire en la gran pirámide”, Discussions in Egyptology , n ° 28, 1994, p. 30-34
• (en) John Legon, “La correlación de Orión y las teorías de los ejes de aire”, Discusiones en Egiptología , n ° 33, 1995, p. 45-56

Artículos relacionados

• Matemáticas en el Antiguo Egipto
• Medición de las filas de cimientos de la pirámide de Keops

Notas

1. Lauer 1988 , p.  234.
2. Lauer 1988 , p.  232.
3. Según RP Hypher, “El valor de 'pi' y las pirámides de Egipto. ¿Intencional o accidental? ”, Revista de la Sociedad para el Estudio de Antigüedades Egipcias , ( ISSN  0383-9753 ) , 1978, vol.  8, n o  4, “el valor de π que aparece en la relación entre la altura y la longitud de la pirámide es probablemente co-accidental” .
4. 43 metros, Dormion 2004 , Lámina 2.
5. Dado por la fórmula 2πR .
6. Petrie 1883 , de Iorwerth Eiddon Stephen Edwards , Las pirámides de Egipto , 1992 ( ISBN  9782253058632 ) , p.  316 .
7. (en) Mark Lehner, Las pirámides completas , 1997, p.  109 .
8. Es fácil verificar este hecho descargando un software astronómico gratuito para mostrar la posición de las estrellas según la fecha ingresada. Comprobamos así que en -2650, la estrella alfa del dragón tenía un acimut de 0 ° 53 '.
9. Bajo la dirección de Alexandre Badawy , Scriba , los conductos de ventilación de la gran pirámide de Giza, n o  4, 1995, p.  93-101 .
10. Dormion 2004 , p.  278.
11. Dormion 2004 , p.  205.
12. calcularon con Cartes du Ciel software v.2.76 (-2650BC en las latitudes y longitudes de la gran pirámide).
13. Dormion 2004 , p.  144.
14. El ángulo formado entre estos conductos y las caras de la pirámide es casi recto: 90 ° 18 '34 " para el conducto sur y 89 ° 18 '34" para el conducto norte.
15. (en) "  Sitio de John Legon  " .
16. Scriba , n o  4, 1995, p.  98-99 .
17. Lauer 1988 , p.  236.
18. Para encontrar esta medida, debemos aplicar el teorema de Pitágoras .
19. Siempre Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo ACE.