Formulación implícita o explícita de un problema dinámico

En la simulación numérica , un problema dependiente del tiempo se puede formular implícita o explícitamente . Un problema dependiente del tiempo describe una situación en evolución; el sistema se modela en varios tiempos discretos t denominados "paso de tiempo".

El método explícito consiste en determinar la solución en t + Δ t en función del valor de la función en t . Si la función a evaluar se llama y ( t ), entonces el problema se formula de la siguiente manera:

y ( t + Δ t ) = F ( y ( t )).

El método de Euler es un método explícito.

El método implícito consiste en determinar la solución a t + Δ t mediante la resolución de una ecuación, teniendo en cuenta el valor de la función en t y en t + Δ t . El problema se formula de la siguiente manera:

G ( y ( t ), y ( t + Δ t )) = 0.

Los métodos de Runge-Kutta son métodos conocidos como implícito-explícito (o "imex") porque una parte se resuelve mediante un método implícito y la otra mediante un método explícito.

Aplicación en dinámica

La formulación implícita es la formulación más simple pero se limita a los problemas cuasi estáticos .

La formulación explícita permite modelar los fenómenos con mayor precisión pero es muy ávida de recursos (número de operaciones, duración del cálculo, memoria necesaria). Por tanto, se utiliza para simulaciones de fenómenos de corta duración y que no se pueden simular con la formulación implícita: se trata esencialmente de problemas de dinámica rápida, choques, propagación de ondas.

En términos de software, hablamos de un solucionador implícito o un solucionador explícito.

En formulación implícita , el fenómeno está representado por la ecuación

{\ Displaystyle m {\ ddot {x}} + c {\ dot {x}} + kx = \ mathrm {F} (t)}

$X$ es el vector de posición; es el vector de velocidad y el vector de aceleración ; $\ dot {x}$ ${\ ddot {x}}$
m es la masa ;
c es un factor de amortiguación ;
k es la rigidez ;
F es la fuerza externa que actúa sobre el sistema;
t es el tiempo.

Para ser más precisos, en el método de elementos finitos , esta ecuación describe el comportamiento de los elementos, los diferentes términos de la ecuación son por tanto matrices . En cada paso de tiempo, el solucionador busca una solución estacionaria para esta ecuación, que por lo tanto representa una situación de equilibrio.

Al ser una resolución cuasi-estática, el sistema se resuelve estáticamente para cada paso de tiempo.

En formulación explícita , el fenómeno está representado por las ecuaciones de Navier-Stokes , ecuaciones diferenciales parciales correspondientes a la conservación de masa, momento (momento) y energía en coordenadas lagrangianas :

conservación de masa :;

{\ displaystyle {\ frac {\ rho _ {0} \ mathrm {V} _ {0}} {\ mathrm {V}}} = {\ frac {m} {\ mathrm {V}}}}

conservación del impulso :

{\ estilo de visualización \ izquierda \ {{\ begin {matriz} \ rho {\ ddot {x}} = b_ {x} + {\ frac {\ parcial \ sigma _ {xx}} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial \ sigma _ {xy}} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial \ sigma _ {xz}} {\ parcial z}} \\\ rho {\ ddot {y}} = b_ {y} + {\ frac {\ parcial \ sigma _ {yx}} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial \ sigma _ {yy}} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial \ sigma _ {yz}} {\ parcial z}} \\\ rho {\ ddot {z}} = b_ {z} + {\ frac {\ parcial \ sigma _ {zx}} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial \ sigma _ {zy}} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial \ sigma _ {zz}} {\ parcial z}} \\\ end {matriz}} \ derecha. }

conservación de energía:

{\ Displaystyle {\ dot {e}} = {\ frac {1} {\ rho}} (\ sigma _ {xx} {\ dot {\ varepsilon}} _ {xx} + \ sigma _ {yy} {\ punto {\ varepsilon}} _ {yy} + \ sigma _ {zz} {\ dot {\ varepsilon}} _ {zz} +2 \ sigma _ {xy} {\ dot {\ varepsilon}} _ {xy} + 2 \ sigma _ {yz} {\ dot {\ varepsilon}} _ {yz} +2 \ sigma _ {zx} {\ dot {\ varepsilon}} _ {zx})}

ρ 0 es la densidad inicial y ρ la densidad en el tiempo t ;
V 0 es el volumen inicial de la celda y V el volumen en el tiempo t ;
σ es el tensor de tensión ;
ε es el tensor de las deformaciones .

Estas ecuaciones se resuelven en cada paso de tiempo considerando los resultados de la simulación en el paso de tiempo anterior, pero sin buscar el equilibrio.