Función exponencial estirada

La función exponencial extendida o exponencial extendida es una generalización de la función exponencial con un parámetro adicional, el exponente de extensión $β$ :

\ phi (t) = {{\ rm {e}}} ^ {{- \ left ({t / \ tau} \ right) ^ {\ beta}}}

En general, la función solo tiene sentido para $t$ de 0 a + ∞. Para $β = 1$ , encontramos la función exponencial. Cuando $β$ está entre 0 y 1, la gráfica de $φ ( t ) a lo$ largo de $log ( t )$ en la abscisa, se estira de una manera característica, de ahí el nombre de la función.

Matemáticamente, la exponencial estirada corresponde a la función de distribución de una distribución de Weibull . Además, es la función característica (es decir, la transformada de Fourier ) de la distribución de Lévy truncada .

En física, el exponencial estirado se usa a menudo para describir la relajación de sistemas aleatorios. Fue introducido por Rudolf Kohlrausch en 1854 para describir la descarga de condensadores y generalmente se conoce como la función de Kohlrausch . En 1970, G. Williams y DC Watts utilizaron la transformada de Fourier de la exponencial estirada para describir el espectro dieléctrico de los polímeros; por lo tanto, la exponencial estirada, o su transformada de Fourier, también se denomina función de Kohlrausch-Williams-Watts o función KWW .

Función de distribución

En ciertas áreas de la física, cuando aparecen fenómenos de desintegración de forma doble exponencial, se desea, por ciertas razones teóricas, explicar este comportamiento como la combinación lineal de desintegraciones exponenciales simples. Entonces es necesario determinar la distribución del coeficiente lineal $ρ ( u )$ que se asignará a cada exponencial con período de relajación $u$ . Por tanto, tenemos la siguiente definición implícita de la distribución $ρ ( u )$ :

{{\ rm {e}}} ^ {{- t ^ {\ beta}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ rho (u) \, {{\ rm {e}}} ^ {{-t / u}} ~ {\ mathrm d} u

de donde deducimos la distribución

{\ Displaystyle G (u) = u \ rho (u).}

ρ se puede calcular mediante la expansión de la serie:

{\ Displaystyle \ rho (u) = - {1 \ over {\ pi u}} \ sum \ limits _ {k = 0} ^ {\ infty} {{(- 1) ^ {k}} \ over {k !}} \ sin (\ pi \ beta k) \ Gamma (\ beta k + 1) u ^ {\ beta k + 1}.}

Cuando $β$ tiende hacia 1, $G ( u )$ tiende hacia la distribución de Dirac concentrada en el punto 1, correspondiente a un exponencial simple.


Figura 2 . Gráficos lineales y log-log de la función de distribución del alargamiento exponencial $G ( u )$ para valores de parámetro de estiramiento $β$ entre 0.1 y 0.9

Período medio de relajación

Si, según el significado tradicional, interpretamos la variable $t$ como un tiempo, entonces el área bajo la curva $φ ( t )$ corresponde al período medio de relajación. Se tiene :

{\ Displaystyle \ langle \ tau \ rangle \ equiv \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- \ left ({t / \ tau} \ right) ^ {\ beta}} ~ \ mathrm {d} t = {{\ tau} \ over \ beta} \ Gamma \ left ({1 \ over \ beta} \ right)}

donde $Γ$ es la función gamma . Para un decaimiento exponencial simple, encontramos . $\ langle \ tau \ rangle = \ tau$

Momentos de la distribución exponencial estirada

Los momentos de la función exponencial estirada son como:

{\ Displaystyle \ langle \ tau ^ {n} \ rangle \ equiv \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {n-1} \, {\ rm {e}} ^ {- \ left ({t / \ tau} \ right) ^ {\ beta}} ~ \ mathrm {d} t = {{\ tau ^ {n}} \ over \ beta} \ Gamma \ left ({n \ over \ beta} \ right) .}

Están estrechamente relacionados con los momentos de la distribución de los períodos de relajación de un exponencial simple:

\ langle \ tau ^ {n} \ rangle = \ Gamma (n) \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {{n}} \, \ rho (\ tau) ~ {\ mathrm d} \ tau

Transformación de Fourier

Para describir los resultados de las medidas en espectroscopia o fragmentación inelástica, se utiliza la transformada de Fourier en seno o coseno de la función exponencial estirada. Éste se evalúa por integración numérica o por desarrollo en serie completa.

Historia y aplicaciones

La función exponencial estirada fue introducida por el físico Rudolf Kohlrausch para expresar la descarga de la botella de Leyden , un condensador donde el dieléctrico está hecho de vidrio. Luego fue utilizado por su hijo Friedrich Kohlrausch para describir la relajación torsional. A. Werner lo usó en 1907 para describir los fenómenos de desintegración compleja de luminiscencia y Theodor Förster en 1949 para la ley de desintegración de fluorescencia de los donantes de energía.

Fuera de la física de la materia condensada, la función exponencial estirada está involucrada en la ley de desintegración de los pequeños planetoides errantes del sistema solar.

Referencias

(De) R. Kohlrausch, “ Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche ” , Annalen der Physik , vol. 91, 1854, p. 56–82, 179–213 ( leer en línea )
(en) G. Williams y DC Watts, " Comportamiento de relajación dieléctrica no simétrica que surge de una descomposición empírica de función única " , Transacciones de la Sociedad de Faraday , vol. 66,1970, p. 80–85 ( DOI 10.1039 / tf9706600080 )
(En) CP y GD Lindsey Patterson, " Comparación detallada de las funciones de Williams-Watts y Cole-Davidson " , Journal of Chemical Physics , vol. 73,1980, p. 3348-3357 ( DOI 10.1063 / 1.440530 ), (en) MN Berberan-Santos, EN Bodunov y B. Valeur, “ Funciones matemáticas para el análisis de desintegraciones de luminiscencia con distribuciones subyacentes 1. Función de desintegración de Kohlrausch (exponencial estirado) ” , Química Física , vol. 315,2005, p. 171-182 ( DOI 10.1016 / j.chemphys.2005.04.006 ).
IS Gradshteyn, MI Ryzhik; Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editores. Tabla de Integrales, Series y Productos , cuarta edición. Academic Press, 1980. Integral 3.478.
(en) Sr. Dishon GH Weiss (en) y JT Bendler, " Fenómenos de relajación lineal y densificada por ley estable " , J. Res NBS , vol. 90,1985, p. 27-40 ( leer en línea ).

Enlace externo

(en) Joachim Wuttke, “ Transformada de Fourier de la función exponencial estirada: límites de error analítico, transformación exponencial doble e implementación de código abierto libkww ” , Algoritmos , vol. 5, n o 4,2012, p. 604-628 ( DOI 10.3390 / a5040604 )