Dipolo magnético de una esfera

Sea una esfera, de centro O, de radio R, atravesada por una corriente superficial , de momento magnético , con V volumen de la bola. ${\ Displaystyle {\ vec {j_ {S}}} (P) = j_ {0} sin \ theta \ cdot {\ vec {u _ {\ phi}}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {m}} = j_ {0} V \ cdot {\ vec {u_ {z}}}}$

Mas presisamente :

{\ Displaystyle {\ vec {m}} = {\ frac {1} {2}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} r [{\ vec {r}} \ wedge {\ vec {j_ {s }}} ({\ vec {r}})] = j_ {0} V {\ vec {u_ {z}}}}

Campo magnético externo

Si r >> R, está claro que B (M) es el creado por m.

Muy sorprendente: ¡es cierto para todos los r> R!

Es : ${\ Displaystyle {\ vec {B}} (M) = {\ frac {\ mu _ {0} {\ mathfrak {m}}} {4 \ pi r ^ {3}}} (2 \ cos (\ theta ) {\ vec {u}} _ {r} + \ sin (\ theta) {\ vec {u}} _ {\ theta}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi \ cdot r ^ {3}}} \ cdot {\ bigl (} 3 {\ vec {u_ {r}}} ({\ vec {m}} \ cdot {\ vec {u_ {r}}}) - {\ vec {m}} {\ bigr)}}$

que podemos escribir:

{\ Displaystyle {\ vec {B}} (M) = \ mu _ {0} j_ {0} {\ frac {R ^ {3}} {r ^ {3}}} \ cdot {\ bigl (} { \ vec {u_ {r}}} ({\ vec {u_ {z}}} \ cdot {\ vec {u_ {r}}}) - {\ frac {1} {3}} {\ vec {u_ { z}}} {\ bigr)}}

Campo magnético interior

Por supuesto, la distribución actual recuerda a la de un solenoide . De hecho, la corriente se cancela solo en los bordes, por lo que el campo en el interior es uniforme:

${\ Displaystyle B (M) = B (O) = B_ {externo} (0,0, R)}$ por continuidad del componente normal de B.

${\ Displaystyle {\ vec {B}} (M) = {\ frac {\ mu _ {0} {\ vec {m}}} {2 \ pi R ^ {3}}} = {\ frac {2 \ mu _ {0} j_ {0}} {3}} {\ vec {u_ {z}}}}$

Demostración

La distribución actual es compacta : la solución existe y es única. Por lo tanto, es suficiente verificar que la solución dada satisface bien div B = 0, rot B = 0 y las condiciones de contorno en el infinito (verdadero) y en la esfera, tenemos:

{\ Displaystyle [B_ {ext} -B_ {int}] \ wedge u_ {r} (P) = - {\ frac {3 \ mu _ {0} {\ vec {m}} \ wedge {\ vec {u_ {r}}}} {4 \ pi R ^ {3}}} = - {\ frac {3 \ mu _ {0} m.sin (\ theta)} {4 \ pi R ^ {3}}} { \ vec {u _ {\ phi}}} = - \ mu _ {0} {\ vec {j_ {S}}}}

o :

{\ Displaystyle [B_ {ext} -B_ {int}] = \ mu _ {0} {\ vec {j_ {S}}} \ wedge {\ vec {u_ {r}}}}

Podemos verificar que la circulación en cualquier línea de campo cerrado satisface el teorema de Ampère.

Conclusión

Si R se vuelve pequeño y muy grande, m juega el papel de una singularidad en O, pero B no es infinito allí, y su integral en la bola vale ( ): nos acostumbramos a decir que un dipolo de momento por unidad volumen (en A / m) por lo tanto crea el campo de un dipolo $j_ {0}$ ${\ Displaystyle {\ frac {8 \ pi} {3}} {\ vec {m}}}$ $J$ ${\ Displaystyle + {\ vec {m}} {\ frac {8 \ pi} {3}} \ delta (r)}$

Lo compararemos con el dipolo electrostático de una bola .

Dipolo magnético de una esfera

Campo magnético externo

Campo magnético interior

Demostración

Conclusión

Notas y referencias

Apéndices

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