Desplazamiento virtual
En la mecánica de Lagrange , un desplazamiento virtual es un desplazamiento teórico de un sistema físico que es atemporal, infinitesimal, no necesariamente respeta las fuerzas aplicadas al sistema, pero respeta sus limitaciones holonómicas .
Respetar las restricciones significa que si la posición es realista (se ajusta a las suposiciones) para el sistema, también lo es la posición .
{q1,q2,...,qno,t}{\ Displaystyle \ \ lbrace {q_ {1}}, {q_ {2}}, ..., {q_ {n}}, t \ rbrace} {q1+δq1,q2+δq2,...,qno+δqno,t}{\ Displaystyle \ \ lbrace {q_ {1} + \ delta q_ {1}}, {q_ {2} + \ delta q_ {2}}, ..., {q_ {n} + \ delta q_ {n} }, t \ rbrace}
En el caso de una restricción holonómica , tenemos y , por lo tanto, en el primer orden ,, que es una restricción entre . Se puede justificar que el vector es proporcional a la fuerza de tensión generalizada asociada, denominándose el coeficiente de proporcionalidad multiplicador de Lagrange .
F(q1,q2,...,qno,t)=0{\ Displaystyle \ f (q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {n}, t) = 0} F(q1+δq1,q2+δq2,...,qno+δqno,t)=0{\ Displaystyle \ f \ left (q_ {1} + \ delta q_ {1}, q_ {2} + \ delta q_ {2}, ..., q_ {n} + \ delta q_ {n}, t \ derecha) = 0}∑I=1no∂F∂qI.δqI=0{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial q_ {i}}}. \ delta q_ {i} = 0} δqj{\ Displaystyle \ \ delta q_ {j}}(∂F∂qI)I{\ Displaystyle \ izquierda ({\ frac {\ parcial f} {\ parcial q_ {i}}} \ derecha) _ {i}}
Con el principio de D'Alembert , los desplazamientos virtuales permiten tener en cuenta, en las ecuaciones, solo las fuerzas aplicadas al sistema y eliminar las debidas a las tensiones. Sin embargo, en determinados casos, es preferible tener en cuenta estos últimos utilizando los multiplicadores de Lagrange .
En términos matemáticos, un desplazamiento virtual es un vector tangente a la variedad, impuesto por las restricciones, en el que el sistema evoluciona en el tiempo. Si el sistema se describe mediante N vectores de posición del espacio físico , esta variedad está inmersa ; si el sistema se describe mediante n coordenadas generalizadas , entonces esta variedad está inmersa .
R3NO{\ Displaystyle \ \ mathbb {R} ^ {3N}} Rno{\ Displaystyle \ \ mathbb {R} ^ {n}}
Si las coordenadas están dadas por N vectores , se observa un desplazamiento infinitesimal y requiere un tiempo infinitesimal . Se observa un desplazamiento virtual y no requiere tiempo.
r→I{\ Displaystyle \ {\ vec {r}} _ {i}}(Dr→I)I=1,...,NO{\ Displaystyle \ left (d {\ vec {r}} _ {i} \ right) _ {i = 1, ..., N}} Dt{\ Displaystyle \ dt}(δr→I)I=1,...,NO{\ Displaystyle \ left (\ delta {\ vec {r}} _ {i} \ right) _ {i = 1, ..., N}}Si las coordenadas están dadas por n
coordenadas generalizadas , se observa un desplazamiento infinitesimal y requiere un tiempo infinitesimal , y tenemos . Se nota un desplazamiento virtual y no requiere tiempo, y lo tenemos .
{q1,q2,...,qno}{\ Displaystyle \ \ lbrace {q_ {1}}, {q_ {2}}, ..., {q_ {n}} \ rbrace}(Dqj)j=1,...,no{\ Displaystyle \ left (dq_ {j} \ right) _ {j = 1, ..., n}} Dt{\ Displaystyle \ dt} Dr→I=∑j=1no∂r→I∂qj.Dqj +∂r→I∂t.Dt{\ Displaystyle \ d {\ vec {r}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial {\ vec {r}} _ {i}} {\ parcial q_ {j}}}. dq_ {j} ~ + {\ frac {\ parcial {\ vec {r}} _ {i}} {\ parcial t}}. dt}(δqj)I=1,...,NO{\ Displaystyle \ left (\ delta q_ {j} \ right) _ {i = 1, ..., N}} δr→I=∑j=1no∂r→I∂qj.δqj{\ Displaystyle \ \ delta {\ vec {r}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial {\ vec {r}} _ {i}} {\ parcial q_ {j}}}. \ delta q_ {j}}El trabajo de un viaje virtual también es virtual .
Bibliografía
- Claude Gignoux y Bernard Silvestre-Brac; Mecánica: de la formulación lagrangiana al caos hamiltoniano , editor de EDP-Sciences, 2002, 467 páginas ( ISBN 2868835848 ) .
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