Cinemática del punto

La noción actual de aceleración corresponde a un aumento en el valor del vector velocidad. En mecánica esta noción es más general porque no solo puede corresponder a un aumento como a una disminución en el valor de la velocidad, sino que así se generaliza en forma vectorial. Por definición, el vector de aceleración es la derivada del vector de velocidad:

a→=a→METRO/(R)=Dv→Dt=D2r→Dt2{\ Displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {a}} _ {M / (R)} = {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} {\ vec {r}}} {dt ^ {2}}}}

Físicamente, el vector de aceleración describe las variaciones del vector de velocidad: estas se pueden hacer en valor y / o en dirección . En consecuencia, es posible descomponer a priori en una componente tangencial , por lo tanto colineal y describiendo las variaciones del valor de este vector, y una componente normal , perpendicular a , y describiendo las variaciones de su dirección. a→{\ Displaystyle {\ vec {a}}}v→{\ Displaystyle {\ vec {vb}}}v→{\ Displaystyle {\ vec {vb}}}

De hecho, de la expresión intrínseca del vector velocidad se obtiene: v→=DsDtT→=vT→{\ Displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {ds} {dt}} {\ vec {T}} = v {\ vec {T}}}

a→=DDt(vT→)=DvDtT→+vDT→Dt=DvDtT→+vDsDtDT→Ds=DvDtT→+v2DT→Ds{\ Displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {d} {dt}} \ left (v {\ vec {T}} \ right) = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec { T}} + v {\ frac {d {\ vec {T}}} {dt}} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {T}} + v {\ frac {ds} {dt }} {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {T}} + v ^ {2} {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}}}

ahora ya que es por definición unitario ,, lo que implica . Por lo tanto, está bien dirigido en una dirección perpendicular a . Es posible mostrar que está contenido en el plano del círculo osculante y dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria en M , por lo tanto de acuerdo con la normal del trihedro de Serret-Frenet , siendo R el radio de curvatura del trayectoria en M . T→{\ Displaystyle {\ vec {T}}}T→2=1{\ Displaystyle {\ vec {T}} ^ {2} = 1}DT→Ds⋅T→=0{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}} \ cdot {\ vec {T}} = 0}DT→Ds{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}}}T→{\ Displaystyle {\ vec {T}}}DT→Ds{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}}}NO→{\ Displaystyle {\ vec {N}}}DT→Ds=NO→R{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {T}}} {ds}} = {\ frac {\ vec {N}} {R}}}

En consecuencia, la aceleración vectorial tiene para componentes intrínsecos:

a→=DvDtT→+v2RNO→=D2sDt2T→+1R(DsDt)2NO→{\ Displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {T}} + {\ frac {v ^ {2}} {R}} {\ vec {N}} = {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} {\ vec {T}} + {\ frac {1} {R}} \ left ({\ frac {ds} {dt} } \ right) ^ {2} {\ vec {N}}}

es decir que se descompone en:

• una aceleración tangencial , colineal con , cuyo valor corresponde a la noción actual de aceleración (o de "desaceleración" si ;a→T=DvDtT→{\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {T} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {T}}}v→{\ Displaystyle {\ vec {vb}}}DvDt<0{\ displaystyle {\ frac {dv} {dt}} <0}
• una aceleración normal , que es cero en el caso de una trayectoria rectilínea para la cual , y que es tanto más importante cuanto que la curva "gira" de manera "cerrada", que existe incluso si el movimiento es uniforme .a→NO=v2RNO→{\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {N} = {\ frac {v ^ {2}} {R}} {\ vec {N}}}R=∞{\ Displaystyle R = \ infty}

En coordenadas cartesianas, el vector de aceleración tiene componentes . a→=X˙˙mi→X+y˙˙mi→y+z˙˙mi→z{\ Displaystyle {\ vec {a}} = {\ dot {\ dot {x}}} {\ vec {e}} _ {x} + {\ dot {\ dot {y}}} {\ vec {e }} _ {y} + {\ dot {\ dot {z}}} {\ vec {e}} _ {z}}

Descripción del movimiento en varios sistemas de coordenadas

Coordenadas cilíndropolares

En coordenadas cilíndropolares es posible introducir la base ortonormal local , en la que se escribe el vector de posición: (ρ,θ,z){\ Displaystyle (\ rho, \ theta, z)}(mi→ρ,mi→θ,mi→z){\ Displaystyle ({\ vec {e}} _ {\ rho}, {\ vec {e}} _ {\ theta}, {\ vec {e}} _ {z})}

r→=ρmi→ρ+zmi→z{\ Displaystyle {\ vec {r}} = \ rho {\ vec {e}} _ {\ rho} + z {\ vec {e}} _ {z}}

En consecuencia, el vector de velocidad se escribe:

v→=Dr→Dt=ρ˙mi→ρ+ρDmi→ρDt+z˙mi→z{\ Displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {d {\ vec {r}}} {dt}} = {\ dot {\ rho}} {\ vec {e}} _ {\ rho} + \ rho {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ rho}} {dt}} + {\ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}

ahora, por tanto , viene la expresión Dmi→ρDt=θ˙mi→θ{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ rho}} {dt}} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}

v→=ρ˙mi→ρ+ρθ˙mi→θ+z˙mi→z.{\ Displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {\ rho}} {\ vec {e}} _ {\ rho} + \ rho {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + {\ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z}.}

El vector de velocidad se divide en:

• un componente ' radial , que corresponde al vector de velocidad del movimiento a lo largo de la dirección de la proyección en el plano polar del vector de posición;ρ˙mi→ρ{\ Displaystyle {\ dot {\ rho}} {\ vec {e}} _ {\ rho}}
• un componente ortorradial , que corresponde al vector de velocidad de un movimiento "instantánea circular" en un círculo de origen de radio y eje central;ρθ˙mi→θ{\ Displaystyle \ rho {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}ρ{\ Displaystyle \ rho}
• un componente axial , que corresponde al vector de velocidad del desplazamiento a lo largo de la dirección (Oz) .z˙mi→z{\ Displaystyle {\ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}

Con respecto a la aceleración vectorial se expresa en la forma:

a→=Dv→Dt=ρ¨mi→ρ+ρ˙Dmi→ρDt+ρ˙θ˙mi→θ+ρθ¨mi→θ+ρθ˙Dmi→θDt+z¨mi→z{\ Displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = {\ ddot {\ rho}} {\ vec {e}} _ {\ rho} + {\ dot {\ rho}} {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ rho}} {dt}} + {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + \ rho {\ ddot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + \ rho {\ dot {\ theta}} {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ theta}} {dt}} + {\ ddot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}

Dmi→θDt=-θ˙mi→ρ{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {e}} _ {\ theta}} {dt}} = - {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ rho}}

a→=[ρ˙˙-ρθ˙2]mi→ρ+[ρθ¨+2ρ˙θ˙]mi→θ+z¨mi→z{\ Displaystyle {\ vec {a}} = \ left [{\ dot {\ dot {\ rho}}} - \ rho {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ right] {\ vec {e} } _ {\ rho} + \ left [\ rho {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}} \ right] {\ vec {e}} _ { \ theta} + {\ ddot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}

que nuevamente corresponde a una descomposición en tres componentes:

• radial , que se interpreta como la suma de una aceleración ligada a un movimiento rectilíneo acelerado en la dirección radial y la componente normal de un movimiento circular "instantáneo" de radio y velocidad angular ;[ρ˙˙-ρθ˙2]mi→ρ{\ Displaystyle \ left [{\ dot {\ dot {\ rho}}} - \ rho {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ right] {\ vec {e}} _ {\ rho}}ρ{\ Displaystyle \ rho}θ˙{\ Displaystyle {\ dot {\ theta}}}
• ortorradial , que se interpreta como la suma de una aceleración tangencial de un movimiento circular del mismo radio y velocidad angular, y la componente de Coriolis de la aceleración en el marco de referencia vinculado al marco giratorio (cf. debajo del párrafo cambio de repositorio) .[ρθ¨+2ρ˙θ˙]mi→θ{\ Displaystyle \ left [\ rho {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}} \ right] {\ vec {e}} _ {\ theta}}
• axial , que simplemente corresponde a la aceleración de un movimiento rectilíneo en la dirección (Oz) .z¨mi→z{\ Displaystyle {\ ddot {z}} {\ vec {e}} _ {z}}

Es notable que el componente ortorradial también se puede escribir (y esto es útil para el teorema del momento angular):

• (ρθ¨+2ρ˙θ˙)mi→θ=1ρD(ρ2θ˙)Dtmi→θ{\ Displaystyle (\ rho {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}}) {\ vec {e}} _ {\ theta} = {\ frac { 1} {\ rho}} {\ frac {d (\ rho ^ {2} {\ dot {\ theta}})} {dt}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas señaladas , donde θ es la colatitud y φ el acimut, con el que se asocia el marco móvil de base ortonormal , el vector de posición de un punto material se expresa en la forma: (r,θ,ϕ){\ Displaystyle (r, \ theta, \ phi)}(mi→r,mi→θ,mi→ϕ){\ Displaystyle ({\ vec {e}} _ {r}, {\ vec {e}} _ {\ theta}, {\ vec {e}} _ {\ phi})}

r→=rmi→r{\ Displaystyle {\ vec {r}} = r {\ vec {e}} _ {r}}

El vector de velocidad se escribe entonces:

v→=DrDtmi→r+rDmi→rDt{\ Displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {dr} {dt}} {\ vec {e}} _ {r} + r {\ frac {d {\ vec {e}} _ {r} } {dt}}}

Dmi→rDt=θ˙mi→θ+pecado⁡θϕ˙mi→ϕ{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {e}} _ {r}} {dt}} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + \ sin \ theta {\ dot {\ phi}} {\ vec {e}} _ {\ phi}}

v→=r˙mi→r+rθ˙mi→θ+rpecado⁡θϕ˙mi→ϕ{\ Displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {r}} {\ vec {e}} _ {r} + r {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta } + r \ sin \ theta {\ dot {\ phi}} {\ vec {e}} _ {\ phi}}

En coordenadas esféricas, el vector de velocidad tiene una componente radial ( ) y dos componentes ortorradiales que siguen a y . para un movimiento en el plano xOy , es decir si , la expresión del vector velocidad es la misma que para un movimiento plano en coordenadas cilíndropolares. r˙mi→r{\ Displaystyle {\ dot {r}} {\ vec {e}} _ {r}}mi→θ{\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {\ theta}}mi→ϕ{\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {\ phi}}θ=π/2{\ Displaystyle \ theta = \ pi / 2}

Al derrapar nuevamente, la aceleración se obtiene de la misma manera, de acuerdo con los tres componentes:

ar=(r¨-rθ˙2+rφ˙2pecado2⁡θ){\ Displaystyle a_ {r} = \ left ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta \ right)}

aθ=(rθ˙2+2r˙θ˙-rφ˙2pecado⁡θporque⁡θ){\ Displaystyle a _ {\ theta} = \ left (r {\ dot {\ theta}} ^ {2} +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \ right)}

aφ=(rφ¨pecado⁡θ+2r˙φ˙pecado⁡θ+2rφ˙θ˙porque⁡θ){\ Displaystyle a _ {\ varphi} = \ left (r {\ ddot {\ varphi}} \ sin \ theta +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta + 2r { \ dot {\ varphi}} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \ right)}

Observamos para el registro que en longitud bloqueada, el movimiento se produce en el plano meridiano, y en este plano encontramos la aceleración calculada en el párrafo anterior. Y con colatitude bloqueada, se encuentra la aceleración del movimiento circular de radio R = r.sin (theta) (preste atención a los componentes) Finalmente, el término en a_phi que involucra theta '. phi 'representa el acoplamiento de Coriolis (ver más abajo).

Triple sistema ortogonal

Ya sea para considerar un registro por un sistema triple ortogonal, de coordenadas u1, u2, u3: bloqueando u2 y u3, el punto se mueve a lo largo de la línea variable u1, cuyo vector unitario se denominará e1. Lo mismo ocurre con las líneas variable u2 (con vector unitario e2) y variable u3 (con vector unitario e3).

Decimos que el sistema es triple ortogonal si {e1, e2, e3} forman un trihedro triangular.

Al bloquear u2 y u3, parece que el punto material se mueve de M a M 'infinitamente cerca, en la dirección de e1

DMETRO=∂METRO∂tu1Dtu1: =h1Dtu1mi1{\ Displaystyle \ mathbf {dM} = {\ frac {\ parcial \ mathbf {M}} {\ parcial u_ {1}}} du_ {1}: = h_ {1} du_ {1} \ mathbf {e} _ {1}}

El parámetro h_1 se llama parámetro Lamé. De la misma forma, podemos definir los parámetros h2 y h3.

Entonces, parece que la velocidad del punto M cuando {u1, u2, u3} varían es:

v=h1tu˙1mi1+h2tu˙2mi2+h3tu˙3mi3{\ Displaystyle \ mathbf {v} = h_ {1} {\ dot {u}} _ {1} \ mathbf {e} _ {1} + h_ {2} {\ dot {u}} _ {2} \ mathbf {e} _ {2} + h_ {3} {\ dot {u}} _ {3} \ mathbf {e} _ {3}}

Y dado que el sistema es ortogonal,

v2=h12tu˙12+h22tu˙22+h32tu˙32=F(tu1,tu2,tu2,tu˙1,tu˙2,tu˙3){\ Displaystyle v ^ {2} = h_ {1} ^ {2} {\ dot {u}} _ {1} ^ {2} + h_ {2} ^ {2} {\ dot {u}} _ { 2} ^ {2} + h_ {3} ^ {2} {\ dot {u}} _ {3} ^ {2} = f (u_ {1}, u_ {2}, u_ {2}, {\ punto {u}} _ {1}, {\ punto {u}} _ {2}, {\ punto {u}} _ {3})}

Así se obtiene fácilmente la energía cinética de una unidad de masa, T.

Luego, Euler y Lagrange demostraron que para obtener las componentes de la aceleración en este triple sistema de coordenadas, basta con aplicar la fórmula:

2a1=DDt∂T∂tu˙1-∂T∂tu1{\ Displaystyle 2a_ {1} = {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ parcial T} {\ parcial {\ dot {u}} _ {1}}} - {\ frac {\ parcial T } {\ u_ parcial {1}}}}

y lo mismo para los otros dos componentes.

Ejemplos ilustrativos:

En coordenadas esféricas, que forman un sistema ortogonal triple, es fácil variando solo r, ver que h_r = 1.

Luego, variando solo la colatitude: h_theta = r

Y variando solo la longitud, h_phi = r.sin (theta).

Por tanto, el cuadrado de la velocidad es:

v2=r˙2+r2θ˙2+r2sInoθϕ˙2{\ Displaystyle v ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} sin \ theta {\ dot {\ phi}} ^ {2}}

Aplicando la fórmula de Euler-Lagrange, obtenemos:

ar=(r¨-rθ˙2+rφ˙2pecado2⁡θ){\ Displaystyle a_ {r} = \ left ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta \ right)}

aθ=(rθ˙2+2r˙θ˙-rφ˙2pecado⁡θporque⁡θ){\ Displaystyle a _ {\ theta} = \ left (r {\ dot {\ theta}} ^ {2} +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \ right)}

aφ=(rφ¨pecado⁡θ+2r˙φ˙pecado⁡θ+2rφ˙θ˙porque⁡θ){\ Displaystyle a _ {\ varphi} = \ left (r {\ ddot {\ varphi}} \ sin \ theta +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta + 2r { \ dot {\ varphi}} {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta \ right)}

Lo cual es más rápido que pensar en calcular las derivadas de tiempo de los vectores unitarios (dicho esto, es bueno conocer ambos métodos).

Podemos probar suerte con el sistema de coordenadas cilíndrico.

La ventaja de este método es que permite sistemas bifocales triples, por ejemplo muy útiles en astronomía.

Casos especiales importantes de movimientos

El movimiento de un punto material con respecto a un marco de referencia dado se puede caracterizar utilizando dos criterios:

• la forma de la trayectoria : en el caso más general, no tiene una forma geométrica determinada, por lo que se dice que el movimiento es curvilíneo . Cuando, por el contrario, la trayectoria es la de un segmento o segmento de curva conocido, plano o izquierdo, el movimiento se califica a partir de la forma de esta curva:
  • (segmento de) línea recta: movimiento rectilíneo;
  • círculo (o arco de un círculo): movimiento circular;
  • hélice circular : movimiento helicoidal;
  • cicloide: movimiento cicloidal , etc.
• el valor de la velocidad o de la aceleración del punto : si es generalmente arbitrario, ocurre:
  • que el valor de la velocidad sea constante: se dice que el movimiento es uniforme ;
  • que el valor de la aceleración es constante: se dice que el movimiento se acelera uniformemente .

Estos dos criterios son acumulativos: así un punto material que se mueva en un marco de referencia dado según una trayectoria correspondiente a un círculo, y a una velocidad de valor constante estará en movimiento circular y uniforme con respecto a este marco de referencia.

La naturaleza del movimiento depende, por supuesto, del punto material considerado como marco de referencia de estudio, por ejemplo, para una rueda de un vehículo que rueda sin patinar a una velocidad constante:

• el centro de la rueda está en movimiento rectilíneo y uniforme con respecto a un marco de referencia vinculado a la carretera, mientras que un punto material ubicado al final de esta rueda tendrá un movimiento cicloidal uniforme;
• con respecto a un marco de referencia vinculado al eje, el centro de la rueda estará estacionario y un punto en el extremo tendrá un movimiento circular uniforme.

Movimiento rectilíneo

Se dice que un movimiento es rectilíneo si la trayectoria del punto material es una línea recta (un segmento recto en todo rigor): consecuentemente en este tipo de movimiento la dirección del vector de velocidad no varía, es posible plantear por ejemplo para un movimiento a lo largo del eje (Buey) : v→METRO/(R){\ Displaystyle {\ vec {vb}} _ {M / (R)}}

v→METRO/(R)vMETROmi→X{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {M / (R)} v_ {M} \, {\ vec {e}} _ {x}}

vmetro=DXDt=X˙{\ Displaystyle v_ {m} = {\ frac {dx} {dt}} = {\ dot {x}}}

El caso más simple es el movimiento rectilíneo uniforme , para el cual además (y por tanto . En consecuencia, la ecuación horaria del movimiento se obtiene sin dificultad por integración: vMETRO=lado=vX0{\ Displaystyle v_ {M} = {\ text {cte}} = v_ {x0}}v→METRO=vstmi→{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {M} = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}}}}

X(t)=vX0t+X0{\ Displaystyle x (t) = v_ {x0} t + x_ {0}}

X0{\ Displaystyle x_ {0}}

X(t){\ Displaystyle x (t)}

El segundo caso particular de movimiento rectilíneo es el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado , para el cual , por ejemplo según (Ox) , es el valor constante de la aceleración. luego viene sucesivamente por integración: a→METRO=vstmi→{\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {M} = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}}}} a→METRO=aX0mi→X{\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {M} = a_ {x0} \, {\ vec {e}} _ {x}}aX0{\ Displaystyle a_ {x0}}

vX(t)=aX0t+vX0{\ Displaystyle v_ {x} (t) = a_ {x0} t + v_ {x0}}

vX0{\ Displaystyle v_ {x0}} siendo una constante de integración correspondiente físicamente al valor inicial de la velocidad del punto, y

X(t)=12aX0t2+v0t+X0{\ Displaystyle x (t) = {\ frac {1} {2}} a_ {x0} t ^ {2} + v_ {0} t + x_ {0}}

X0{\ Displaystyle x_ {0}}siendo una segunda constante de integración correspondiente al valor inicial de . Este tipo de movimiento corresponde al de un punto material en caída libre , es decir, liberado con una velocidad vertical de valor en el campo de gravedad, despreciando la influencia de las fuerzas de fricción. X(t){\ Displaystyle x (t)}vX0{\ Displaystyle v_ {x0}}

La combinación de dos movimientos, uno rectilíneo uniforme y el otro rectilíneo uniformemente acelerado, en dos direcciones ortogonales (indicadas (Ox) y (Oy) ) conduce a un movimiento parabólico y no uniforme general. De hecho, en este caso, las ecuaciones horarias son:

{X(t)=vX0t+X0y(t)=12ay0t2+vy0t+y0{\ Displaystyle {\ begin {cases} x (t) = v_ {x0} t + x_ {0} \\ y (t) = {\ frac {1} {2}} a_ {y0} t ^ {2} + v_ {y0} t + y_ {0} \ end {cases}}}

y es posible eliminar la fecha t entre estas dos ecuaciones horarias:

t=X-X0vX0{\ Displaystyle t = {\ frac {x-x_ {0}} {v_ {x0}}}}

y=12ay0(X-X0)2vX02+vy0vX0(X-X0)+y0{\ displaystyle y = {\ frac {1} {2}} a_ {y0} {\ frac {\ left (x-x_ {0} \ right) ^ {2}} {v_ {x0} ^ {2}} } + {\ frac {v_ {y0}} {v_ {x0}}} \ left (x-x_ {0} \ right) + y_ {0}}

que es la ecuación cartesiana de una parábola (físicamente, será un arco de una parábola) de vértice . S(-vX0vy0ay0,y0-vy022ay0){\ Displaystyle S \ left (- {\ frac {v_ {x0} v_ {y0}} {a_ {y0}}}, y_ {0} - {\ frac {v_ {y0} ^ {2}} {2a_ { y0}}} \ right)}

Este tipo de trayectoria corresponde a la del movimiento balístico de un punto material en un marco de referencia terrestre (o en general "planetario"), es decir al movimiento bajo la única influencia del campo gravitatorio , por lo tanto con el punto material que se lanza con velocidad inicial desde la posición de coordenadas inicial . gramo→=gramomi→y{\ Displaystyle {\ vec {g}} = g {\ vec {e}} _ {y}}ay0=gramo=lado{\ Displaystyle a_ {y0} = g = {\ text {cte}}}v→0=vX0mi→X+vy0mi→y{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {0} = v_ {x0} {\ vec {e}} _ {x} + v_ {y0} {\ vec {e}} _ {y}}(X0,y0){\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}

Movimiento circular

El movimiento de un punto material se dice circular si la ruta en un sistema de referencia dado es un círculo (o un arco) de centro nominal O y de radio R . El movimiento circular puede ser uniforme o no uniforme.

Las coordenadas polares en el plano de la trayectoria son las más adecuadas para describir este tipo de movimiento. El vector de posición del punto material viene dado por , por lo tanto, proviene de las expresiones anteriores para los vectores de velocidad y aceleración: r→=Rmi→ρ{\ Displaystyle {\ vec {r}} = R {\ vec {e}} _ {\ rho}}

v→=Rθ˙mi→θ=Rω(t)mi→θ{\ Displaystyle {\ vec {v}} = R {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} = R \ omega (t) {\ vec {e}} _ {\ theta }}

ω(t)=θ˙{\ Displaystyle \ omega (t) = {\ dot {\ theta}}}

ω(t)=lado{\ Displaystyle \ omega (t) = {\ text {cte}}}

a→=-Rω2mi→ρ+Rω˙mi→θ{\ Displaystyle {\ vec {a}} = - R \ omega ^ {2} {\ vec {e}} _ {\ rho} + R {\ dot {\ omega}} {\ vec {e}} _ { \ theta}}

T→=mi→θ{\ Displaystyle {\ vec {T}} = {\ vec {e}} _ {\ theta}}

NO→=-mi→ρ{\ Displaystyle {\ vec {N}} = - {\ vec {e}} _ {\ rho}}

a→T=Rω˙T→{\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {T} = R {\ dot {\ omega}} {\ vec {T}}}

ω˙=0{\ Displaystyle {\ dot {\ omega}} = 0}

a→NO=Rω2NO→{\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {N} = R \ omega ^ {2} {\ vec {N}}}

Movimiento helicoidal

El movimiento helicoidal de un punto material corresponde al caso en el que la trayectoria es una hélice . Suele ser una hélice circular . Este tipo de movimiento es el resultado de la combinación de un movimiento circular y un movimiento rectilíneo en una dirección (que se indica con mayor frecuencia (Oz) ) perpendicular al plano de esta trayectoria. Si los dos movimientos son uniformes , la hélice tiene un paso constante.

Teniendo en cuenta el papel particular del eje de la hélice, es posible utilizar las coordenadas cilindropolares para describir este tipo de movimiento. El radio R de la hélice es constante, por lo que el vector de aceleración se escribe en el caso de este tipo de movimiento:

a→=-Rθ˙2mi→ρ+Rθ¨mi→θ+z¨mi→z,{\ Displaystyle {\ vec {a}} = - R {\ dot {\ theta}} ^ {2} {\ vec {e}} _ {\ rho} + R {\ ddot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + {\ ddot {z}} {\ vec {e}} _ {z},}

el vector de velocidad que se le escribe:

v→=Rθ˙mi→θ+z˙mi→z.{\ Displaystyle {\ vec {v}} = R {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta} + {\ dot {z}} {\ vec {e}} _ {z }.}

En el caso particular importancia cuando el movimiento es uniforme , y , por consiguiente, las expresiones anteriores se simplifican en: θ˙=ω0 = cste{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = \ omega _ {0} {\ text {= cste}}}z˙=v0 = cste{\ Displaystyle {\ dot {z}} = v_ {0} {\ text {= cste}}}

a→=-Rω02mi→ρ,{\ Displaystyle {\ vec {a}} = - R \ omega _ {0} ^ {2} {\ vec {e}} _ {\ rho},}

y

v→=Rω0mi→θ+v0mi→z,{\ Displaystyle {\ vec {v}} = R \ omega _ {0} {\ vec {e}} _ {\ theta} + v_ {0} {\ vec {e}} _ {z},}

Por integración, el vector de posición se convierte en:

r→(t)=Rmi→ρ+[z0+v0t]mi→z,{\ Displaystyle {\ vec {r}} (t) = R {\ vec {e}} _ {\ rho} + \ left [z_ {0} + v_ {0} t \ right] {\ vec {e} } _ {z},}

notando z 0 el valor inicial de z .

Las ecuaciones de movimiento por hora se pueden obtener fácilmente expresando en la base ortonormal asociada con el sistema de coordenadas Oxy vinculado al marco de referencia del estudio, o con aquí . mi→ρ{\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {\ rho}}mi→ρ=porque⁡θmi→X+pecado⁡θmi→y{\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {\ rho} = \ cos \ theta {\ vec {e}} _ {x} + \ sin \ theta {\ vec {e}} _ {y}}θ(t)=ω0t{\ Displaystyle \ theta (t) = \ omega _ {0} t}

Observando x 0 y y 0 los respectivos valores iniciales de x y y se trata:

{X(t)=X0+R(porque⁡(ω0t)-1)y(t)=y0+Rpecado⁡(ω0t)z(t)=z0+v0t{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x (t) = x_ {0} + R \ left (\ cos (\ omega _ {0} t) -1 \ right) \\ y (t) = y_ {0} + R \ sin (\ omega _ {0} t) \\ z (t) = z_ {0} + v_ {0} t \ end {matrix}} \ right.}

Como el movimiento helicoidal es uniforme aquí, el movimiento circular en el plano Oxy es periódico y el movimiento general tiene la misma periodicidad. La distancia recorrida a lo largo del eje durante el período T se denomina paso de la hélice , es decir, en este caso: 2πω0{\ displaystyle {\ tfrac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}}}

pag=2πv0ω0.{\ Displaystyle p = 2 \ pi {\ frac {v_ {0}} {\ omega _ {0}}}.}

Trayectorias cónicas

Cambio de repositorio

La naturaleza del movimiento de un punto material y la forma del camino dependen del marco de referencia elegido. Siendo conocido el movimiento con respecto a un marco de referencia dado (R) , es posible determinar su naturaleza con respecto a otro marco de referencia (R ') . Para eso es necesario tener las expresiones de la velocidad y de la aceleración del punto material frente a (R ') , según las que se conoce en (R) , y de los parámetros que determinan el movimiento del marco de referencia. (R ') con respecto a (R) .

El sistema de coordenadas espaciales asociado con el marco de referencia (R) se denota por Oxyz , el asociado con el marco de referencia (R ') , en movimiento con respecto a (R) , se denota O'x'y'z' . Si M es la posición del punto material, y corresponden a los vectores de posición de M con respecto a (R) y (R ') , respectivamente. En la mecánica clásica, el tiempo tiene un carácter absoluto , es decir que los relojes asociados a cada uno de los dos marcos de referencia, para los que se elige un origen de las fechas comunes, indican la misma fecha en (R) y (R ' ) , cualesquiera que sean sus movimientos relativos, por lo tanto . r→=OMETRO→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ overrightarrow {OM}}}r→′=OMETRO→′{\ displaystyle {\ vec {r}} '= {\ overrightarrow {OM}}'}t=t′{\ Displaystyle t = t '}

El movimiento más general del marco de referencia (R ') con respecto al marco de referencia (R) es la combinación:

• el movimiento de su origen O ' con respecto a (R) ;
• la variación de la orientación de los ejes del marco espacial asociado, descrita por el vector de rotación instantánea , que es tal que (y las fórmulas correspondientes para y ).ω→R′/R{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R}}Dmi→X′Dt=ω→R′/R∧mi→X′{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {e}} _ {x '}} {dt}} = {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ wedge {\ vec {e}} _ {X '}}mi→y′{\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {y '}}mi→z′{\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {z '}}

Composición de velocidad

El vector de posición de M en (R) viene dado por , por lo tanto, viene para el vector de velocidad del punto material en (R) : r→=OMETRO→=OO′→+O′METRO→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {OO '}} + {\ overrightarrow {O'M}}}

v→METRO/R=(DOMETRO→Dt)(R)=(DOO′→Dt)(R)+(DO′METRO→Dt)(R){\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M / R} = \ left ({\ frac {d {\ overrightarrow {OM}}} {dt}} \ right) _ {(R)} = \ left ( {\ frac {d {\ overrightarrow {OO '}}} {dt}} \ right) _ {(R)} + \ left ({\ frac {d {\ overrightarrow {O'M}}} {dt}} \ right) _ {(R)}}

(DOO′→Dt)(R)=v→O′/R{\ Displaystyle \ left ({\ frac {d {\ overrightarrow {OO '}}} {dt}} \ right) _ {(R)} = {\ vec {v}} _ {O' / R}}

Además es el vector de posición de M en (R ') que se escribe en el área de la base del marcador asociado con ese repositorio: como resultado: . O′METRO→{\ displaystyle {\ overrightarrow {O'M}}}O′METRO→=X′mi→X′+y′mi→y′+z′mi→z′{\ displaystyle {\ overrightarrow {O'M}} = x '{\ vec {e}} _ {x'} + y '{\ vec {e}} _ {y'} + z '{\ vec {e }} _ {z '}}(DO′METRO→Dt)(R)=X′˙mi→X′+y′˙mi→y′+z′˙mi→z′+X′ω→R′/R∧mi→X′+y′ω→R′/R∧mi→y′+z′ω→R′/R∧mi→z′=v→METRO/R′+ω→R′/R∧r′→{\ Displaystyle \ left ({\ frac {d {\ overrightarrow {O'M}}} {dt}} \ right) _ {(R)} = {\ dot {x '}} {\ vec {e}} _ {x '} + {\ dot {y'}} {\ vec {e}} _ {y '} + {\ dot {z'}} {\ vec {e}} _ {z '} + x' {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ wedge {\ vec {e}} _ {x'} + y '{\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ wedge { \ vec {e}} _ {y '} + z' {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ wedge {\ vec {e}} _ {z'} = {\ vec {v} } _ {M / R '} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ wedge {\ vec {r '}}}

Finalmente, la fórmula para la composición de las velocidades está en la forma:

v→METRO/R=v→mi+v→METRO/R′{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {M / R} = {\ vec {v}} _ {e} + {\ vec {v}} _ {M / R '}}

donde es la velocidad de entrenamiento de M en comparación con (R) , que es la suma de un término relacionado con el desplazamiento del origen de la referencia espacial asociada con (R ') y un término que refleja el cambio de orientación de esta referencia. v→mi=v→O′/R+ω→R′/R∧r′→{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {e} = {\ vec {v}} _ {O '/ R} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ wedge {\ vec {r '}}}

Composición de aceleraciones

El vector de aceleración de M en (R) se obtiene diferenciando el vector de velocidad con respecto al tiempo, en este marco de referencia: v→METRO/R{\ Displaystyle {\ vec {vb}} _ {M / R}}

a→METRO/R=(Dv→METRO/RDt)(R=(DDt[v→O′/R+ω→R′/R∧r′→+v→METRO/R′])(R){\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {M / R} = \ left ({\ frac {d {\ vec {v}} _ {M / R}} {dt}} \ right) _ {(R } = \ left ({\ frac {d} {dt}} \ left [{\ vec {v}} _ {O '/ R} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ wedge {\ vec {r '}} + {\ vec {v}} _ {M / R'} \ right] \ right) _ {(R)}}

pero viene de inmediato:

(Dv→METRO/R′Dt)(R)=a→METRO/R′+ω→R′/R∧v→METRO/R′{\ Displaystyle \ left ({\ frac {d {\ vec {v}} _ {M / R '}} {dt}} \ right) _ {(R)} = {\ vec {a}} _ {M / R '} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ wedge {\ vec {v}} _ {M / R '}}

y

(Dr′→Dt)(R)=v→METRO/R′+ω→R′/R∧r′→{\ Displaystyle \ left ({\ frac {d {\ vec {r '}}} {dt}} \ right) _ {(R)} = {\ vec {v}} _ {M / R'} + { \ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ wedge {\ vec {r'}}}

Finalmente, la ley de composición de aceleraciones tiene la forma:

a→METRO/R=a→METRO/R′+a→mi+a→vs{\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {M / R} = {\ vec {a}} _ {M / R '} + {\ vec {a}} _ {e} + {\ vec {a} } _ {vs}}

con:

• aceleración de entrenamiento ,a→mi=a→O′/R+ω→R′/R∧(ω→R′/R∧r′→)+Dω→R′/RDt∧r′→{\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {e} = {\ vec {a}} _ {O '/ R} + {\ vec {\ omega}} _ {R' / R} \ wedge \ left ( {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ wedge {\ vec {r'}} \ right) + {\ frac {d {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R}} {dt}} \ wedge {\ vec {r '}}}
• la aceleración de Coriolis .a→vs=2ω→R′/R∧v→METRO/R′{\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {c} = 2 {\ vec {\ omega}} _ {R '/ R} \ wedge {\ vec {v}} _ {M / R'}}

Notas y referencias

1. En el caso general es un arco a la izquierda .
2. Esta es la definición de la derivada del vector, como el límite del vector de "velocidad media" durante la duración Δt cuando esta duración tiende a cero.
3. Es recomendable distinguir las ecuaciones horarias , de tipo paramétrico, de las ecuaciones de trayectoria en un sistema de coordenadas particular (aquí, las coordenadas cartesianas), que corresponden a la ecuación que conecta las coordenadas entre sí sin intervención del parámetro t .
4. También llamada caída libre "con velocidad inicial": está claro que la caída libre citada como ejemplo de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es solo un caso especial de movimiento balístico con velocidad inicial cero.
5. Hay que tener en cuenta que depende del tiempo y eso .mi→θ{\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {\ theta}}mi→˙ρ=θ˙mi→θ{\ Displaystyle {\ dot {\ vec {e}}} _ {\ rho} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}

Bibliografía

• Philip José Pérez, la física de golf: mecánicos , 6 ª  edición, Masson , París, 2001.

Artículos relacionados

• Repositorio (físico)
• Velocidad
• Aceleración
• Punto material