En álgebra universal , una variedad es una clase ecuacional , es decir, una clase K no vacía de estructuras algebraicas con la misma firma que satisfacen un conjunto de identidades (llamado axiomatización ecuacional de la clase).
Un monoide es un conjunto E provisto de una ley interna asociativa * y un elemento neutro . Por lo tanto, para todos los elementos x, y, z de un monoide, se cumplen las siguientes ecuaciones:
(x * y) * z = x * (y * z) x * e = x e * x = xAdemás, estas tres ecuaciones caracterizan la noción de monoide. Por lo tanto, la clase de monoides es una variedad, ya que está definida por estas tres ecuaciones.
Según la definición, cualquier variedad K satisface:
El teorema de HSP de Garrett Birkhoff (1935) establece que lo contrario es cierto: cualquier clase estable por homomorfismos, subestructuras y productos es ecuacional.
Teorema de la variedad de Eilenberg