Equilibrio de Lindahl

Estamos en una economía en la que una empresa produce un bien público y lo vende a precio de mercado. Beneficia a los consumidores de manera diferente según sus funciones de utilidad .

Principio

Para financiar la cantidad óptima de este bien público (supuestamente conocido), el economista sueco Erik Lindahl propone hacer pagar a cada consumidor un precio individualizado que le corresponde (que respeta sus preferencias).

La autoridad pública interesada (Estado, sindicato, asociación, etc.) ofrece a cada consumidor un precio unitario. Según este precio, el consumidor anuncia la cantidad de bien que quiere. Si la cantidad no es óptima, la autoridad ajusta el precio y así sucesivamente.

Cada consumidor racional equipara entonces su utilidad marginal del bien público con el precio unitario que desea pagar hasta que la cantidad demandada sea óptima.

El sistema de precios obtenido constituye el equilibrio de Lindahl . El precio total pagado por un consumidor se obtiene multiplicando el precio individual por la cantidad óptima de bien público.

Resolución matemática

Sea una economía compuesta por K consumidores, un bien público denominado C, vendido a precio y un bien de mercado denominado M, vendido a precio . Cada consumidor k tiene un ingreso anotado y consume cantidades de bienes indexadas por k de acuerdo con una función de utilidad anotada (que depende de las cantidades consumidas). Denotamos la cantidad de bien público en el óptimo de Pareto. ${\ Displaystyle p_ {C}}$ ${\ Displaystyle p_ {M}}$ $R_ {k}$ ${\ Displaystyle U_ {k} (C_ {k}, M_ {k})}$ ${\ Displaystyle {\ bar {C}}}$

Según el comportamiento individualista clásico, cada consumidor maximiza su utilidad bajo su restricción:

${\ Displaystyle P_ {k} {\ begin {cases} {\ text {Max}} & U_ {k} (C_ {k}, M_ {k}) \\ {\ text {S / C}} & R_ { k} = p_ {M} M_ {k} + p_ {C} ^ {k} C_ {k} \ end {cases}}}$ ${\ Displaystyle \ forall k \ in \ {1, ..., K \}}$

Optimizando el programa por un Lagrangiano, encontramos la demanda de bien público del consumidor k. Luego tenemos K mercados y: ${\ Displaystyle C_ {k} ^ {d}}$

Si entonces el precio individual es demasiado bajo. ${\ Displaystyle C_ {k} ^ {d}> {\ bar {C}}}$ ${\ Displaystyle p_ {C} ^ {k}}$
Si entonces el precio individual es demasiado alto. ${\ Displaystyle C_ {k} ^ {d} <{\ bar {C}}}$ ${\ Displaystyle p_ {C} ^ {k}}$

Todos se ajustan para que , ${\ Displaystyle p_ {C} ^ {k}}$ ${\ Displaystyle C_ {k} ^ {d} = {\ bar {C}}}$ ${\ Displaystyle \ forall k}$

El precio total pagado por el individuo k será: . ${\ Displaystyle p_ {C} ^ {k} {\ bar {C}}}$

Además, como es el óptimo: . ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {K} p_ {C} ^ {k} {\ bar {C}} = p_ {C} {\ bar {C}}}$

En realidad, partimos de la cantidad óptima para determinar el precio individual . ${\ Displaystyle p_ {C} ^ {k}}$

Ejemplo

El administrador de un edificio con seis copropietarios planea construir un ascensor común para todos. El edificio tiene tres plantas cada una ocupada por dos de los copropietarios.

El precio del bien público consumido en cantidades (como un ascensor) es . $A$ ${\ displaystyle p_ {A} = 60000}$

El precio del bien de mercado consumido en cantidades es (para simplificar). $METRO$ ${\ Displaystyle p_ {M} = 1}$

Se supone que la utilidad de un copropietario depende únicamente de su piso. Así, si denotamos el piso del copropietario , su función de utilidad es: (cuanto más alto es el piso, mayor es la utilidad dibujada). $t_ {k}$ $k$ ${\ Displaystyle U_ {k} = M_ {k} + 10000t_ {k} {\ sqrt {A}}}$

Es aconsejable comprobar que, en esta situación, el óptimo de Pareto está efectivamente en (elección del fideicomisario). $A = 1$

Prueba del óptimo de Pareto A = 1

El teorema BLS (Bowen Lindahl Samuelson) permite encontrar el óptimo de Pareto al igualar el costo marginal de producción (por lo tanto el precio) a la suma de las provisiones marginales a pagar:

${\ Displaystyle p_ {A} = \ sum _ {k = 1} ^ {6} {\ frac {dU_ {k}} {dA}} \ Flecha izquierda \ sum _ {k = 1} ^ {6} {\ frac {10000t_ {k}} {2 {\ sqrt {A}}}} = 60000}$

Sabiendo que hay dos copropietarios por piso, podemos escribir:

${\ Displaystyle 2 {\ frac {10000 \ times 1} {2 {\ sqrt {A}}}} + 2 {\ frac {10000 \ times 2} {2 {\ sqrt {A}}}} + 2 {\ frac {10000 \ times 3} {2 {\ sqrt {A}}}} = 60000}$

${\ displaystyle {\ frac {10000} {\ sqrt {A}}} + {\ frac {20000} {\ sqrt {A}}} + {\ frac {30000} {\ sqrt {A}}} = 60000}$

{\ Displaystyle {\ sqrt {A}} = 1 \ Leftrightarrow {\ bar {A}} = 1}

porque solo razonamos con cantidades positivas.

Se iguala las demandas buenos públicas de cada individuo a la cantidad óptima: , ${\ Displaystyle A_ {k} ^ {d} = {\ bar {A}} = 1}$ ${\ Displaystyle \ forall k}$
Aquí, maximizar la función de utilidad equivale a igualar el MSR de M a A para cada individuo a la relación de precios (integrando el precio individual del bien público): ${\ Displaystyle {\ frac {dU_ {k} / dA} {dU_ {k} / dM}} = {\ frac {p_ {A} ^ {k}} {p_ {M}}}}$

Pero aquí el ejemplo simple permite escribir: ${\ Displaystyle {\ frac {dUk} {dA}} = p_ {A} ^ {k}}$

Por lo tanto, resolvemos 6 ecuaciones (para 6 mercados) con 6 incógnitas, o , y ${\ Displaystyle {\ frac {5000t_ {k}} {\ sqrt {A}}} = p_ {C} ^ {k}}$ ${\ Displaystyle \ forall k \ in \ {1, ..., 6 \}}$ ${\ Displaystyle A = {\ bar {A}} = 1}$

Por tanto, el equilibrio de Lindahl es ${\ Displaystyle {\ begin {cases} p_ {A} ^ {1} = p_ {A} ^ {2} = 5000 \\ p_ {A} ^ {3} = p_ {A} ^ {4} = 10000 \ \ p_ {A} ^ {5} = p_ {A} ^ {6} = 15000 \ end {cases}}}$

La suma de los precios individuales financia completamente el precio de un ascensor: ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {6} p_ {A} ^ {k} = p_ {A}}$

Vemos que los copropietarios de los primeros pisos pagan menos que los que están bajo los techos, porque creen que son menos útiles. Esta financiación puede ser socialmente justa, pero será difícil de implementar en la realidad .

Problemas empíricos

Dado que tenemos K mercados, cuanto mayor es este número, más precios individualizados se multiplican y son difíciles de prever (K debe, por tanto, ser pequeño).

Se prohíbe cualquier comunicación entre 2 consumidores, que, en realidad, es casi impensable, cada uno buscando rebajar el precio que realmente pagará preguntando a su vecino.