Ecuaciones de Stokes-Oseen

En dinámica de fluidos, las ecuaciones de Stokes-Oseen describen el flujo de un fluido viscoso incompresible para un número de Reynolds bajo. Esta formulación propuesta por Carl Wilhelm Oseen en 1910 es una mejora de las ecuaciones de Stokes en las que el término inercial se incluye de forma aproximada.

El trabajo de Oseen se basa en los experimentos de George Gabriel Stokes sobre la caída de una esfera en un líquido viscoso. Desarrolló un término de corrección para resolver la paradoja de Stokes .

Ecuaciones de Oseen

Para un objeto que se mueve a baja velocidad en un fluido en calma, el flujo se describe en un marco de referencia vinculado al objeto mediante las siguientes ecuaciones: $U$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} - \ rho \ mathbf {U} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} & = - \ nabla p \, + \, \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} , \\\ nabla \ cdot \ mathbf {u} & = 0, \ end {alineado}}}

$u$ es la velocidad en el sistema de referencia,
$p$ la presión,
$ρ$ la densidad,
$μ$ la viscosidad dinámica ,
∇ es el operador de gradiente y
∇ 2 el laplaciano .

Las condiciones de contorno son las siguientes:

{\ Displaystyle \ mathbf {u} = 0}

en la superficie del objeto,

{\ Displaystyle \ mathbf {u} \ to - \ mathbf {U}}

y cuando

{\ Displaystyle p \ ap _ {\ infty}}

{\ Displaystyle \ mathbf {r} \ to \ infty}

donde $r$ es la distancia al centro del marco que acompaña al objeto y la presión en el medio no perturbada por la presencia de este objeto. ${\ Displaystyle p _ {\ infty}}$

Solución para una esfera

Como en el caso de un flujo de Stokes , es posible calcular analíticamente la fuerza ejercida sobre una esfera de radio r:

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = -6 \ pi \ mu r \ mathbf {U} \ left (1 + {\ frac {3} {16}} Re \ right)}

donde Re es el número de Reynolds basado en el diámetro

{\ Displaystyle Re = {\ frac {2 \ rho Ur} {\ mu}}}

Introduciendo el coeficiente de arrastre

{\ Displaystyle C_ {A} = {\ frac {| F |} {1/2 \ pi r ^ {2} \ rho U ^ {2}}}}

obtenemos la relación muy simple

{\ Displaystyle C_ {A} = {\ frac {24} {Re}} \ left (1 + {\ frac {3} {16}} Re \ right)}

Si la expresión debida a Stokes subestima la resistencia, esta expresión tiende por el contrario a sobreestimarla en comparación con los resultados de la prueba (ver curva).

Referencias

(De) Carl Wilhelm Oseen , " Über die Stokes'sche formal, und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik " , Arkiv för matematik, astronomi och fysik , vol. VI, n o 29,1910
(en) Lev Landau y Evgeny Lifshitz , Mecánica de fluidos , Oxford, Pergamon Press ,1987, 539 p. ( ISBN 0-08-033933-6 , leer en línea )
(es) George K. Batchelor , Introducción a la Mecánica de Fluidos , Cambridge / Nueva York, Cambridge University Press ,2000, 615 p. ( ISBN 0-521-66396-2 )
P. Chassaing , Mecánica de fluidos: elementos de un primer curso , EDICIONES CEPADUES,2000, 450 p. ( ISBN 978-2-85428-509-3 )
(en) FW Roos y WW Willmarth, " Algunos resultados experimentales son el arrastre de esfera y disco " , AIAA Journal , vol. 9, n o 21971, p. 285-291