Ecuaciones de Gauss-Codazzi
En la geometría de Riemann , las ecuaciones de Gauss-Codazzi-Mainardi son ecuaciones fundamentales dentro del marco de la teoría de hipersuperficies inmersas en un espacio euclidiano , y más generalmente subvariedades de una variedad de Riemann . También hay aplicaciones para el caso de hipersuperficies inmersas en una variedad pseudo-riemanniana .
En la geometría de superficie clásica, las ecuaciones de Gauss-Codazzi-Mainardi consisten en un par de ecuaciones. La primera ecuación, a veces llamada ecuación gaussiana , relaciona la curvatura intrínseca (o curvatura gaussiana ) de la superficie con las derivadas del mapa gaussiano , a través de la segunda forma fundamental . Esta ecuación es la base misma del teorema egregium de Gauss. La segunda ecuación, a veces llamada ecuación de Codazzi-Mainardi , es una condición estructural en las segundas derivadas del mapa de Gauss. Esta ecuación involucra la curvatura extrínseca (o curvatura promedio ) de la superficie. Estas ecuaciones muestran que los componentes de la segunda forma fundamental y sus derivadas clasifican completamente la superficie hasta una transformación euclidiana , lo que equivale a uno de los teoremas de Pierre-Ossian Bonnet .
Declaración formal
Sea i: M ⊂ P una subvariedad n- dimensional incrustada en una variedad de Riemann P de dimensión n + p . Existe una inclusión natural del haz tangente de M en el de P , y el cokernel es el haz normal de M :
0→TXMETRO→TXPAG|METRO→TX⊥METRO→0.{\ displaystyle 0 \ rightarrow T_ {x} M \ rightarrow T_ {x} P | _ {M} \ rightarrow T_ {x} ^ {\ perp} M \ rightarrow 0.}La métrica da el siguiente efecto exacto :
TPAG|METRO=TMETRO⊕T⊥METRO.{\ Displaystyle TP | _ {M} = TM \ oplus T ^ {\ perp} M.}Siguiendo esta secuencia, la conexión Levi-Civita ∇ ′ de P se descompone en un componente tangencial y un componente normal. Para cada X ∈ T M y campo vectorial Y en M ,
∇X′Y=⊤(∇X′Y)+⊥(∇X′Y).{\ Displaystyle \ nabla '_ {X} Y = \ top (\ nabla' _ {X} Y) + \ bot (\ nabla '_ {X} Y).}Es
∇XY=⊤(∇X′Y),α(X,Y)=⊥(∇X′Y).{\ Displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ top (\ nabla '_ {X} Y), \ quad \ alpha (X, Y) = \ bot (\ nabla' _ {X} Y).}La fórmula de Gauss asegura entonces que ∇ X es la conexión Levi-Civita para M , y α es una forma diferencial vectorial simétrica con valores en el paquete normal.
Un corolario inmediato es la ecuación de Gauss. Para X , Y , Z , W ∈ T M ,
⟨R′(X,Y)Z,W⟩=⟨R(X,Y)Z,W⟩+⟨α(X,Z),α(Y,W)⟩-⟨α(Y,Z),α(X,W)⟩{\ Displaystyle \ langle R '(X, Y) Z, W \ rangle = \ langle R (X, Y) Z, W \ rangle + \ langle \ alpha (X, Z), \ alpha (Y, W) \ rangle - \ langle \ alpha (Y, Z), \ alpha (X, W) \ rangle}donde R es el tensor de curvatura de P y R es el M .
La ecuación de Weingarten es análoga a la fórmula de Gauss para una conexión en el paquete normal. Sea X ∈ T M y ξ un campo de vectores normales. Luego descomponemos la derivada covariante de ξ en X en componentes normal y tangencial:
∇Xξ=⊤(∇Xξ)+⊥(∇Xξ)=-Aξ(X)+DX(ξ).{\ Displaystyle \ nabla _ {X} \ xi = \ top (\ nabla _ {X} \ xi) + \ bot (\ nabla _ {X} \ xi) = - A _ {\ xi} (X) + D_ {X} (\ xi).}Entonces
-
Ecuaciones de Weingarten :⟨AξX,Y⟩=⟨α(X,Y),ξ⟩{\ Displaystyle \ langle A _ {\ xi} X, Y \ rangle = \ langle \ alpha (X, Y), \ xi \ rangle}
-
D X es una conexión métrica (en) en el paquete normal.
Por tanto, hay un par de conexiones: ∇, definida en el haz tangente de M ; y D , ajustado en el paquete normal de M . Estos dos se combinan para dar una conexión en cualquier producto tensor de T M y T ⊥ M . En particular, definen completamente la derivada covariante de α:
(∇~Xα)(Y,Z)=DX(α(Y,Z))-α(∇XY,Z)-α(Y,∇XZ).{\ displaystyle ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) = D_ {X} \ left (\ alpha (Y, Z) \ right) - \ alpha (\ nabla _ { X} Y, Z) - \ alpha (Y, \ nabla _ {X} Z).}La ecuación de Codazzi-Mainardi da
⊥(R′(X,Y)Z)=(∇~Xα)(Y,Z)-(∇~Yα)(X,Z).{\ Displaystyle \ bot \ left (R '(X, Y) Z \ right) = ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) - ({\ tilde {\ nabla} } _ {Y} \ alpha) (X, Z).}
Declaración de ecuaciones clásicas
En geometría diferencial clásica, las ecuaciones de Codazzi-Mainardi generalmente se expresan con la segunda forma fundamental:
miv-Ftu=miΓ121+F(Γ122-Γ111)-gramoΓ112{\ Displaystyle e_ {v} -f_ {u} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f (\ Gamma _ {12} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {1}) - g \ Gamma _ {11} ^ {2}}
Fv-gramotu=miΓ221+F(Γ222-Γ121)-gramoΓ122{\ Displaystyle f_ {v} -g_ {u} = e \ Gamma _ {22} ^ {1} + f (\ Gamma _ {22} ^ {2} - \ Gamma _ {12} ^ {1}) - g \ Gamma _ {12} ^ {2}}
Prueba de ecuaciones clásicas
Las segundas derivadas de una superficie parametrizada (in) se pueden expresar en la base, así como los símbolos de Christoffel y la segunda forma fundamental.
(Xtu,Xv,NO){\ Displaystyle (X_ {u}, X_ {v}, N)}
Xtutu=Γ111Xtu+Γ112Xv+miNO{\ Displaystyle X_ {uu} = \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {v} + eN}
Xtuv=Γ121Xtu+Γ122Xv+FNO{\ Displaystyle X_ {uv} = \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {v} + fN}
Xvv=Γ221Xtu+Γ222Xv+gramoNO{\ Displaystyle X_ {vv} = \ Gamma _ {22} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {22} ^ {2} X_ {v} + gN}
El teorema de Schwarz establece que las siguientes derivadas parciales conmutan:
(Xtutu)v=(Xtuv)tu{\ Displaystyle \ left (X_ {uu} \ right) _ {v} = \ left (X_ {uv} \ right) _ {u}}Si diferenciamos con respecto av y con respecto a u, obtenemos:
Xtutu{\ Displaystyle X_ {uu}}Xtuv{\ Displaystyle X_ {uv}}
(Γ111)vXtu+Γ111Xtuv+(Γ112)vXv+Γ112Xvv+mivNO+miNOv=(Γ121)tuXtu+Γ121Xtutu+(Γ122)tuXv+Γ122Xtuv+FtuNO+FNOtu{\ Displaystyle \ left (\ Gamma _ {11} ^ {1} \ right) _ {v} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {uv} + \ left (\ Gamma _ { 11} ^ {2} \ right) _ {v} X_ {v} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {vv} + e_ {v} N + eN_ {v} = \ left (\ Gamma _ {12} ^ {1} \ right) _ {u} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {uu} + \ left (\ Gamma _ {12} ^ {2} \ right) _ {u} X_ {v} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {uv} + f_ {u} N + fN_ {u}}Si luego sustituimos las expresiones anteriores por las segundas derivadas e igualamos los coeficientes de N:
FΓ111+gramoΓ112+miv=miΓ121+FΓ122+Ftu{\ Displaystyle f \ Gamma _ {11} ^ {1} + g \ Gamma _ {11} ^ {2} + e_ {v} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f \ Gamma _ {12 } ^ {2} + f_ {u}}reordenando los términos, encontramos la primera ecuación de Codazzi-Mainardi.
Notas y referencias
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en
inglés titulado
" Ecuaciones de Gauss-Codazzi " ( ver la lista de autores ) .
-
(La) Carl Friedrich Gauss , " Disquitiones Generales circa Superficies Curvas " , Comm. Soc. Gott. , vol. 6,1828
-
en honor a Gaspare Mainardi (de) (1856) y Delfino Codazzi (1868-1869), quienes independientemente encontraron este resultado. Cf. (en) Morris Kline (en) , Pensamiento matemático desde la antigüedad hasta la época moderna: Volumen 3 , OUP ,1972, 399 p. ( ISBN 978-0-19-506137-6 , leer en línea ) , pág. 885.
-
Ossian Bonnet , “ Memorias sobre la teoría de superficies aplicable a una superficie dada ”, JEP , vol. 25,1867, p. 31-151
-
Terminología (en) Michael Spivak , (Una introducción completa a) Geometría diferencial [ ediciones minoristas ], Vuelo. 3
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">