Ecuaciones de Boussinesq

Las ecuaciones de Boussinesq en mecánica de fluidos denotan un sistema de ecuaciones de onda obtenido por aproximación de las ecuaciones de Euler para flujos incompresibles en superficie libre rotacional. Ellos predicen las ondas de gravedad como ondas cnoïdales , ondas de Stokes , olas , maremotos , solitones , etc. Estas ecuaciones fueron introducidas por Joseph Boussinesq en 1872 y son un ejemplo de ecuaciones diferenciales parciales dispersivas .

Ecuaciones de Euler para un fluido incompresible irrotacional sometido a un campo de gravedad

Para un flujo irrotacional incompresible, la velocidad se deriva de un potencial ψ. Las ecuaciones de incompresibilidad y momento están escritas

∇2ψ=0{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0}ρ∂ψ∂t+12ρ(∇ψ)2+pag+ρgramoz=0{\ Displaystyle \ rho {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} + {\ frac {1} {2}} \ rho \, (\ nabla \ psi) ^ {2} + p + \ rho gz = 0}

donde ρ es la densidad, p la presión, g la gravedad yz la altitud.

Demostración

Se muestra que para un flujo irrotacional incompresible la velocidad se deriva de un potencial ψ

V=∇ψ{\ Displaystyle \ mathbf {V} = \ nabla \ psi}

Al diferir en la ecuación de incompresibilidad     vemos que ψ obedece a la ecuación de Laplace∇⋅V=0{\ Displaystyle \ textstyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}

∇2ψ=0{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0}

Luego se escribe la ecuación de la cantidad de movimiento

ρ∂V∂t+ρ∇VV+∇pag-ρgramo=0{\ Displaystyle \ rho {\ frac {\ parcial \ mathbf {V}} {\ parcial t}} + \ rho \ nabla V \, \ mathbf {V} + \ mathbf {\ nabla} p- \ rho \, \ mathbf {g} = 0}

Además, la gravedad g se deriva de un potencial

gramo=-∇ϕ{\ Displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ phi}

En la escala del problema podemos considerar g constante y escribir

ϕ=ϕ0+gramoz{\ Displaystyle \ phi = \ phi _ {0} + gz}

Al notar que     obtenemos ∇VV=∇(V22){\ Displaystyle \ nabla V \, \ mathbf {V} = \ nabla \ left ({\ frac {V ^ {2}} {2}} \ right)}

∇(ρ∂ψ∂t+12ρV2+pag+ρϕ)=0{\ Displaystyle \ nabla \ left (\ rho {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} + {\ frac {1} {2}} \ rho V ^ {2} + p + \ rho \ phi \ right) = 0}

O bien, integrando la constante de integración en Φ 0

ρ∂ψ∂t+12ρ(∇ψ)2+pag+ρgramoz=0{\ Displaystyle \ rho {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} + {\ frac {1} {2}} \ rho \, (\ nabla \ psi) ^ {2} + p + \ rho gz = 0}

La ecuación de la cantidad de movimiento contiene casos especiales interesantes:

• medio homogéneo ψ = 0 conduce al equilibrio hidrostático ,
• medio estacionario conduce a la ecuación de Bernoulli .∂ψ∂t=0{\ estilo de visualización \ estilo de texto {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} = 0}

Posteriormente, se supondrá que la velocidad es lo suficientemente baja como para despreciar la energía cinética. Obtenemos así la expresión de la presión

pag=-ρ∂ψ∂t-ρgramoz{\ Displaystyle p = - \ rho {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} - \ rho gz}

Medio de superficie libre

Considere un problema bidimensional. Denotamos por s ( x ) la altitud de la superficie con respecto a su valor en reposo z = 0.

Además de la ecuación de continuidad, podemos escribir una segunda ecuación en la superficie derivando la presión. Teniendo en cuenta una aproximación de baja amplitud de la onda, esta relación se aplica en z = 0.

(∂2ψ∂t2+gramo∂ψ∂z)|z=0=0{\ estilo de visualización \ izquierda. \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial t ^ {2}}} + g {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial z}} \ derecha) \ derecha | _ {z = 0} = 0}

Constituye una condición de frontera dinámica .

Demostración

La superficie está definida por z = s . Ella comprueba

Vz(s,t)=∂ψ∂z|z=s=DsDt=∂s∂t+VX∂s∂X≃∂s∂t{\ Displaystyle V_ {z} (s, t) = \ izquierda. {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial z}} \ derecha | _ {z = s} = {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ parciales} {\ parciales t}} + V_ {x} {\ frac {\ parciales s} {\ parciales x}} \ simeq {\ frac {\ parcial s} {\ parcial t}}}

la aproximación implica ondas de baja amplitud.

La presión en la superficie p 0 verifica

pag0=-ρ∂ψ∂t|z=s-ρgramos{\ Displaystyle p_ {0} = - \ rho \ left. {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} \ right | _ {z = s} - \ rho gs}

ya sea a la deriva en el tiempo

∂2ψ∂t2|z=s+gramo∂s∂t=0{\ Displaystyle \ left. {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial t ^ {2}}} \ derecha | _ {z = s} + g {\ frac {\ parcial s} {\ parcial t}} = 0}

Usando la ecuación definida anteriormente para la superficie, viene

∂2ψ∂t2+gramo∂ψ∂z=0{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial t ^ {2}}} + g {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial z}} = 0}

Esta ecuación es válida en la superficie z = s . Teniendo en cuenta la hipótesis de baja amplitud de las ondas, se aplicará en z = 0.

A este sistema es necesario agregar una condición de contorno al fondo si existe o cuando     no. z→-∞{\ Displaystyle \ textstyle z \ rightarrow - \ infty}

La solución se busca en forma de ondas de amplitud A en la superficie de pulsación ω y de número de onda k

ψ(X,z,t)=B(z)mij(kX-ωt){\ Displaystyle \ psi (x, z, t) = B (z) \, \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)}}s(X,t)=Amij(kX-ωt){\ Displaystyle s (x, t) = A \, \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)}}

A continuación se examinan dos casos concretos que arrojan luz sobre el problema.

Entorno infinitamente profundo

La solución de la ecuación de Laplace es aquí una exponencial decreciente

ψ=-jgramoAωmikzmij(kX-ωt){\ Displaystyle \ psi = - {\ frac {jgA} {\ omega}} e ^ {kz} e ^ {j (kx- \ omega t)}}

la ecuación en z = 0 da la relación de dispersión

ω=gramok{\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {gk}}}

La velocidad de fase     es el doble de la velocidad del grupo   : el medio es dispersivo. vpag=ωk=gramok{\ Displaystyle \ textstyle v_ {p} = {\ frac {\ omega} {k}} = {\ sqrt {\ frac {g} {k}}}}  vgramo=DωDk=12gramok{\ Displaystyle \ textstyle v_ {g} = {\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} k}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {g } {k}}}}

Al integrar ψ por primera vez, obtenemos las componentes vertical y horizontal de la velocidad. Luego, una nueva integración da los componentes de la partícula de fluido que verifican

(X-aAmikB)2+(z-BAmikB)2=1{\ Displaystyle \ left ({\ frac {xa} {A \ mathrm {e} ^ {kb}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {zb} {A \ mathrm {e} ^ {kb}}} \ right) ^ {2} = 1}

una y b <0 son constantes de integración arbitrarias.

Esta ecuación describe un círculo centrado en ( a , b ) cuyo radio A e kb disminuye exponencialmente con la profundidad b (ver figura).

Demostración

Del potencial expresamos los componentes de la velocidad

VX=Akgramoωmikzmij(kX-ωt){\ Displaystyle V_ {x} = {\ frac {Akg} {\ omega}} \ mathrm {e} ^ {kz} \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)}}Vz=-jAkgramoωmikzmij(kX-ωt){\ Displaystyle V_ {z} = - j {\ frac {Akg} {\ omega}} \ mathrm {e} ^ {kz} \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)}}

Integrando nuevamente, teniendo en cuenta la relación de dispersión, obtenemos las trayectorias

X=a+AmikBpecado⁡(ωt-kX){\ Displaystyle x = a + A \ mathrm {e} ^ {kb} \ sin {(\ omega t-kx)}} z=B+AmikBporque⁡(ωt-kX){\ Displaystyle z = b + A \ mathrm {e} ^ {kb} \ cos {(\ omega t-kx)}}

Al reorganizar los términos y sumar los cuadrados de las dos expresiones, se obtiene

(X-aAmikB)2+(z-BAmikB)2=1{\ Displaystyle \ left ({\ frac {xa} {A \ mathrm {e} ^ {kb}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {zb} {A \ mathrm {e} ^ {kb}}} \ right) ^ {2} = 1}

Fondo plano

Para un fondo ubicado a una altitud z = -h, la solución de la ecuación de Laplace es

ψ=-jgramoAωaporrear⁡(kh)aporrear⁡[k(h+z)]mij(kX-ωt){\ Displaystyle \ psi = - {\ frac {jgA} {\ omega \ cosh {(kh)}}} \ cosh {[k (h + z)]} \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)}}

y la relación de dispersión

ω2=gramoktanh⁡(kh){\ Displaystyle \ omega ^ {2} = gk \ tanh {(kh)}}

En el límite de aguas poco profundas frente a la longitud de onda tenemos

kh<<1⇒tanh⁡(kh)≃kh{\ Displaystyle kh << 1 \ quad \ Rightarrow \ quad \ tanh {(kh)} \ simeq kh}

de donde

ω=kgramoh{\ Displaystyle \ omega = k {\ sqrt {gh}}}

que describe una propagación con velocidad     : el medio no es dispersivo. vs=gramoh{\ Displaystyle c = {\ sqrt {gh}}}

En este caso, las trayectorias de las partículas de fluido son elipses (ver figura) cuya relación de los dos semiejes es     : con la profundidad, el movimiento se convierte rápidamente en un movimiento de ida y vuelta a una altitud casi constante. tanh⁡[k(B+h)]{\ Displaystyle \ textstyle \ tanh {[k (b + h)]}}

Demostración

Del potencial expresamos los componentes de la velocidad

VX=Akgramoωaporrear⁡(kh)aporrear⁡[k(h+z)]mij(kX-ωt){\ Displaystyle V_ {x} = {\ frac {Akg} {\ omega \ cosh {(kh)}}} \ cosh {[k (h + z)]} \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)}} Vz=-jAkgramoωpecado⁡(kh)aporrear⁡[k(h+z)]mij(kX-ωt){\ Displaystyle V_ {z} = - j {\ frac {Akg} {\ omega \ sinh {(kh)}}} \ cosh {[k (h + z)]} \ mathrm {e} ^ {j (kx - \ omega t)}}

Integrando nuevamente, teniendo en cuenta la relación de dispersión, obtenemos las trayectorias

X=a-Aaporrear⁡[k(h+B)]pecado⁡(ωt-kX)khaporrear⁡(kh){\ Displaystyle x = a - {\ frac {A \ cosh {[k (h + b)]} \ sin {(\ omega t-kx)}} {kh \ cosh {(kh)}}}}z=B+Apecado⁡[k(h+B)]porque⁡(ωt-kX)khaporrear⁡(kh){\ Displaystyle z = b + {\ frac {A \ sinh {[k (h + b)]} \ cos {(\ omega t-kx)}} {kh \ cosh {(kh)}}}}

Al reorganizar los términos y sumar los cuadrados de las dos expresiones, se obtiene

(X-aBaporrear⁡[k(h+B)])2+(z-BBpecado⁡[k(h+B)])2=1,B=Akhaporrear⁡(kh){\ Displaystyle \ left ({\ frac {xa} {B \ cosh {[k (h + b)]}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {zb} {B \ sinh { [k (h + b)]}}} \ right) ^ {2} = 1 \ ,, \ qquad B = {\ frac {A} {kh \ cosh {(kh)}}}}

Se notará que este sistema corresponde a un medio en el que se verifica el equilibrio hidrostático, al menos en el primer orden. Está descrito por las ecuaciones de Barré de Saint-Venant .

Stokes deriva

Linealizamos la condición de contorno en la superficie reduciéndola a z = 0. En realidad, hay una velocidad de deriva de Stokes que es una velocidad promedio baja de las partículas de fluido paralelas a la superficie (ver figuras). Su valor se puede estimar a partir de consideraciones muy generales.

VS=1vsT∫0T|∇ψ|2Dt{\ Displaystyle V_ {S} = {\ frac {1} {cT}} \ int _ {0} ^ {T} | \ nabla \ psi | ^ {2} \ mathrm {d} t}

donde T es el período de rotación de la partícula de fluido.

En el caso del medio infinitamente profundo

VS=kgramoA2vsmi-2kB{\ Displaystyle V_ {S} = {\ frac {kgA ^ {2}} {c}} e ^ {- 2kb}}

La deriva varía como el cuadrado de la amplitud y el inverso de la longitud de onda. Disminuye rápidamente con la profundidad.

Demostración

Una onda plana que se mueve con la velocidad c se describe mediante la ecuación

∂ψ∂t+vs∇ψ=0{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} + c \, \ nabla \ psi = 0}

Sea x ( t ) la posición de una partícula de fluido. Obedece a la ecuación de Lagrange

DXDt=V=∇ψ{\ Displaystyle {\ frac {D \ mathbf {x}} {Dt}} = \ mathbf {V} = \ nabla \ psi}

de donde

∂ψ∂t=DψDt-V⋅∇ψ=-vsDXDt{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} = {\ frac {D \ psi} {Dt}} - \ mathbf {V} \ cdot \ nabla \ psi = -c \, {\ frac {D \ mathbf {x}} {Dt}}}

Al final

vsDXDt=-DψDt+∇ψ⋅∇ψ{\ Displaystyle c \, {\ frac {D \ mathbf {x}} {Dt}} = - {\ frac {D \ psi} {Dt}} + \ nabla \ psi \ cdot \ nabla \ psi}

Al integrar durante un período igual al período T obtenemos el desplazamiento

vs[X(t+T)-X(t)]=-ψ(X,t+T)+ψ(X,t)+∫0T|∇ψ(X(t))|2Dt{\ Displaystyle c \ left [\ mathbf {x} (t ​​+ T) - \ mathbf {x} (t) \ right] = - \ psi (\ mathbf {x}, t + T) + \ psi ( \ mathbf {x}, t) + \ int _ {0} ^ {T} | \ nabla \ psi (\ mathbf {x} (t)) | ^ {2} \, \ mathrm {d} t}

Propagar

En el caso general, la onda se describe por

s(X,t)=∫-∞+∞mij(kX-ωt)F(k)Dk{\ Displaystyle s (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)} F (k) \ mathrm {d} k }

donde F representa la condición inicial. La integración es compleja porque ω depende de k y la función a integrar es infinitamente oscilante.

Demostración

La solución del sistema lineal en ψ se obtiene como una integral de Fourier

s(X,t)=∫-∞+∞[mij(kX-ωt)F+(k)+mij(kX+ωt)F-(k)]Dk{\ Displaystyle s (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left [\ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)} F _ {+} (k ) + \ mathrm {e} ^ {j (kx + \ omega t)} F _ {-} (k) \ right] \ mathrm {d} k}

Las funciones F ± están fijadas por las condiciones iniciales en sy su derivada en el tiempo (recuerde que ω depende de k )

s(X,0)=∫-∞+∞[F+(k)+F-(k)]mijkXDk{\ Displaystyle s (x, 0) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left [F _ {+} (k) + F _ {-} (k) \ right] \ mathrm { e} ^ {jkx} \ mathrm {d} k}∂s(X)∂t|t=0=-j∫-∞+∞[F+(k)-F-(k)]ωmijkXDk{\ estilo de visualización \ izquierda. {\ frac {\ parcial s (x)} {\ parcial t}} \ derecha | _ {t = 0} = - j \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ izquierda [F _ {+} (k) -F _ {-} (k) \ right] \ omega \ mathrm {e} ^ {jkx} \ mathrm {d} k}

Si tomamos s ( x , 0) = s 0 ( x ) y una derivada de tiempo cero, entonces     y F+=F-≡F{\ Displaystyle F _ {+} = F _ {-} \ equiv F}

s0(X)=2∫-∞+∞FmijkXDk⇒F(k)=14π∫-∞+∞s0mi-jkXDX{\ Displaystyle s_ {0} (x) = 2 \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} F \ mathrm {e} ^ {jkx} \ mathrm {d} k \ qquad \ Rightarrow \ qquad F ( k) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s_ {0} \ mathrm {e} ^ {- jkx} \ mathrm {d} x}

y

s(X,t)=∫-∞+∞mij(kX-ωt)F(k)Dk{\ Displaystyle s (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {j (kx- \ omega t)} F (k) \ mathrm {d} k }

Sin embargo, se pueden encontrar soluciones a partir de una aproximación de ω obtenida al desarrollar la tangente hiperbólica. Para k pequeño

ω=kvs01-13(kh)2≃kvs0-γk3,vs0=gramoh,γ=h2vs06{\ Displaystyle \ omega = kc_ {0} \, {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {3}} (kh) ^ {2}}} \ simeq kc_ {0} - \ gamma k ^ {3 } \ ,, \ quad c_ {0} = {\ sqrt {gh}} \ ,, \ quad \ gamma = {\ frac {h ^ {2} c_ {0}} {6}}}

Entonces, usando el método de fase estacionaria para  X≃vs0t{\ Displaystyle x \ simeq c_ {0} t}

s(X,t)=F(k=0)∫-∞+∞mij[k(X-vs0t)+γk3t]Dk{\ Displaystyle s (x, t) = F (k = 0) \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {j [k (x-c_ {0} t) + \ gamma k ^ {3} t]} \ mathrm {d} k}

La solución es una función de Airy definida por

AI(z)=12π∫-∞+∞mij(sz+13s3)Ds=1π∫0∞porque⁡(sz+13s3)Ds{\ Displaystyle \ mathrm {Ai} (z) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {j (sz + { \ frac {1} {3}} s ^ {3})} \ mathrm {d} s = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos {(sz + {\ frac {1} {3}} s ^ {3})} \ mathrm {d} s}

y así   viene tomarlo  s=kα,z=X-vs0tα,α=(3γt)13{\ Displaystyle \ textstyle s = k \ alpha \ ,, \ quad z = {\ frac {x-c_ {0} t} {\ alpha}} \ ,, \ quad \ alpha = \ left (3 \ gamma t \ derecha) ^ {\ frac {1} {3}}}

s(X,t)=2πF(0)αAI(X-vs0tα){\ Displaystyle s (x, t) = {\ frac {2 \ pi F (0)} {\ alpha}} \ mathrm {Ai} \ left ({\ frac {x-c_ {0} t} {\ alpha }} \ derecho)}

La onda está formada por un frente que se propaga con velocidad de grupo, seguido de ondas cuya amplitud disminuye a medida que  (-z)14{\ Displaystyle \ textstyle (-z) ^ {\ frac {1} {4}}}

Referencias

1. J. Boussinesq , «  Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond  », Journal de mathématiques pures et appliquées , Vuelo.  17,1872, p.  55-108 ( leer en línea )
2. (en) Lev Davidovich Landau y Evgeny Mikhailovich Lifshitz , Volumen 6 del Curso de Física Teórica: Mecánica de Fluidos , Pergamon Press , 1987 http://users-phys.au.dk/srf/hydro/landau+lifschitz.pdf
3. Michel Talon, “  Ondes de superficie  ” , en LPLa Université Paris VI ,2006
4. G. Roullet, "  Ondas en fluidos geofísicos  " , en la Universidad de Brest ,2012
5. (en) GB Whitham , Ondas lineales y no lineales , Wiley ,1974, 636  p. ( ISBN  978-0-471-35942-5 , leer en línea )
6. "  Transformación de Fourier  " , sobre INSA Toulouse

• (en) Graham W. Griffiths y William E. Schiesser, "  Ondas lineales y no lineales  " , en Scholarpedia

Ver también

• Ecuación de Korteweg y Vries
• Ecuación de Whitham
• Onda
• Ola gigante

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