Ecuación de Riccati
En matemáticas , una ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria de la forma
y′=q0(X)+q1(X)y+q2(X)y2{\ Displaystyle y '= q_ {0} (x) + q_ {1} (x) y + q_ {2} (x) y ^ {2}}donde , y son tres funciones, a menudo elegidas de forma continua sobre un intervalo común con valores reales o complejos.
q0{\ Displaystyle q_ {0} \,}q1{\ Displaystyle q_ {1} \,}q2{\ Displaystyle q_ {2} \,}
Lleva este nombre en honor a Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) y su hijo Vincenzo Riccati (1707-1775).
En general, no hay resolución por cuadratura para tal ecuación, pero existe un método de resolución tan pronto como se conoce una solución particular.
Aspecto histórico
En 1720, Francesco Riccati le presenta a su amigo Giovanni Rizzetti dos ecuaciones diferenciales que busca resolver:
-
(1)y′=ay2+BX+vsX2{\ Displaystyle (1) \ quad y '= ay ^ {2} + bx + cx ^ {2} \,}donde una , b y c son constantes reales;
-
(2)y′=ay2+BXmetro{\ Displaystyle (2) \ quad y '= ay ^ {2} + bx ^ {m} \,}donde una , b y m son constantes reales.
La primera ecuación proviene del estudio de un movimiento plano verificando la siguiente ecuación diferencial lineal:
(X′y′)=(aBvsD)(Xy){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} x \ \ y \\\ end {pmatrix}}}donde x y y son las coordenadas de un movimiento punto M.
Al observar la pendiente z de la recta ( OM ), demuestra que z debe verificar una ecuación de tipo (1), de ahí su deseo de estudiar sus soluciones generales.
La segunda ecuación se resuelve sólo parcialmente por el autor y por el Bernoulli ( Nicolas 1 st y Daniel especialmente). Su hijo, Vicenzo Riccati, desarrolló un método de resolución por tracción . Goldbach también se puso manos a la obra. Luego, en 1841 , Liouville demostró que, aparte del caso
metro=(-4h)(2h±1){\ Displaystyle m = {\ frac {(-4h)} {(2h \ pm 1)}}}donde h es un número natural,
la ecuación no se puede resolver por cuadraturas .
Las ecuaciones de Riccati se generalizan luego a cualquier ecuación de la forma
y′=q0(X)+q1(X)y+q2(X)y2{\ Displaystyle y '= q_ {0} (x) + q_ {1} (x) y + q_ {2} (x) y ^ {2}}.
Para algunas condiciones , , la ecuación es resoluble por cuadratura. Gracias al teorema de Cauchy-Lipschitz , que demuestran que, si , y son funciones continuas, entonces hay soluciones a la ecuación de Riccati. Finalmente, demostramos que, si conocemos una solución particular, una ecuación de Riccati puede reducirse cambiando de variable a una ecuación de Bernoulli .
q0{\ Displaystyle q_ {0} \,}q1{\ Displaystyle q_ {1} \,}q2{\ Displaystyle q_ {2} \,}q0{\ Displaystyle q_ {0} \,}q1{\ Displaystyle q_ {1} \,}q2{\ Displaystyle q_ {2} \,}
Ecuación diferencial ordinaria de orden 2 equivalente
La ecuación diferencial no lineal de Riccati siempre se puede reformular en una ecuación diferencial lineal ordinaria (EDO). sí
y′=q0(X)+q1(X)y+q2(X)y2{\ Displaystyle y '= q_ {0} (x) + q_ {1} (x) y + q_ {2} (x) y ^ {2} \!}con distinto de cero y diferenciable, entonces satisface la ecuación de Riccati de la forma
q2{\ Displaystyle q_ {2}}v=yq2{\ Displaystyle v = yq_ {2}}
v′=v2+R(X)v+S(X),{\ Displaystyle v '= v ^ {2} + R (x) v + S (x), \!}donde y . En efecto,
S=q2q0{\ Displaystyle S = q_ {2} q_ {0}}R=q1+q2′q2{\ Displaystyle R = q_ {1} + {\ frac {q_ {2} '} {q_ {2}}}}
v′=(yq2)′=y′q2+yq2′=(q0+q1y+q2y2)q2+vq2′q2=q0q2+(q1+q2′q2)v+v2.{\ Displaystyle v '= (yq_ {2})' = y'q_ {2} + yq_ {2} '= (q_ {0} + q_ {1} y + q_ {2} y ^ {2}) q_ {2} + v {\ frac {q_ {2} '} {q_ {2}}} = q_ {0} q_ {2} + \ left (q_ {1} + {\ frac {q_ {2}'} {q_ {2}}} \ right) v + v ^ {2}. \!}Sustituyendo , se deduce que la EDO lineal de orden 2 satisface
v=-tu′/tu{\ Displaystyle v = -u '/ u}tu{\ Displaystyle u}
tu″-R(X)tu′+S(X)tu=0{\ Displaystyle u '' - R (x) u '+ S (x) u = 0 \!}ya que
v′=-(tu′/tu)′=-(tu″/tu)+(tu′/tu)2=-(tu″/tu)+v2{\ Displaystyle v '= - (u' / u) '= - (u' '/ u) + (u' / u) ^ {2} = - (u '' / u) + v ^ {2} \ !}de manera que
tu″/tu=v2-v′=-S-Rv=-S+Rtu′/tu{\ Displaystyle u '' / u = v ^ {2} -v '= - S-Rv = -S + Ru' / u \!}y asi
tu″-Rtu′+Stu=0.{\ Displaystyle u '' - Ru '+ Su = 0. \!}Una solución de esta ecuación conduce a una solución de la ecuación de Riccati inicial.
y=-tu′/(q2tu){\ Displaystyle y = -u '/ (q_ {2} u)}
Resolución conociendo una solución particular
Si es posible encontrar una solución , entonces la solución general es de la forma
y1{\ Displaystyle \, y_ {1}}
y=y1+tu{\ Displaystyle y = y_ {1} + u \,}.
Reemplazando
y{\ Displaystyle y \,} mediante
y1+tu{\ Displaystyle y_ {1} + u \,}
en la ecuación de Riccati, obtenemos:
y1′+tu′=q0+q1(y1+tu)+q2(y1+tu)2,{\ Displaystyle y_ {1} '+ u' = q_ {0} + q_ {1} (y_ {1} + u) + q_ {2} (y_ {1} + u) ^ {2} \ ,,}y como
y1′=q0+q1y1+q2y12,{\ Displaystyle y_ {1} '= q_ {0} + q_ {1} y_ {1} + q_ {2} y_ {1} ^ {2} \ ,,}se tiene :
tu′=q1tu+2q2y1tu+q2tu2.{\ Displaystyle u '= q_ {1} u + 2q_ {2} y_ {1} u + q_ {2} u ^ {2} \,.}Oro
tu′-(q1+2q2y1)tu=q2tu2{\ Displaystyle u '- (q_ {1} + 2q_ {2} y_ {1}) u = q_ {2} u ^ {2} \,}es una ecuación de Bernoulli . La sustitución necesaria para resolver esta ecuación de Bernoulli es entonces:
z=tu1-2=1tu{\ Displaystyle z = u ^ {1-2} = {\ frac {1} {u}}}.
Conduce a la ecuación lineal :
z′+(q1+2q2y1)z=-q2{\ Displaystyle z '+ (q_ {1} + 2q_ {2} y_ {1}) z = -q_ {2} \,}.
La solución general de la ecuación de Riccati viene dada por:
y=y1+1z{\ Displaystyle y = y_ {1} + {\ frac {1} {z}}}donde z es la solución general de la ecuación lineal citada anteriormente.
Campos de uso
Encontramos las ecuaciones de Riccati en física cuántica en problemas relacionados con la ecuación de Schrödinger , en la ecuación de onda, en el filtrado óptimo ( filtro de Kalman ), en el control cuadrático lineal óptimo , en el control LQG , o incluso en la ecuación de propagación del calor en régimen sinusoidal . En estos casos, la función tiene un valor complejo.
q1{\ Displaystyle q_ {1}}
También se encuentran en matemáticas financieras , particularmente en el contexto del modelo de Heston y en problemas relacionados con el modelado de tasas de interés (por ejemplo, el modelo de Cox-Ingersoll-Ross ).
Referencias
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Edward Lindsay Ince (en) , Ecuaciones diferenciales ordinarias , 1920, pp 24-25
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(en) P. Boyle, W. Tian Guan y Fred, " La ecuación de Riccati en las finanzas matemáticas " , J. Computación simbólica , vol. 33,2002, p. 343-355 ( DOI 10.1006 / jsco.2001.0508 , leer en línea ).
- Serge Mehl, " Ecuación de Riccati " , en ChronoMath
- (en) S. Bittanti, “ Historia y prehistoria de la ecuación de Riccati ” ,1997( DOI 10.1109 / CDC.1996.572758 )
- René Lagrange, “ Algunos teoremas de integrabilidad por cuadraturas de la ecuación de Riccati ”, Bull. SMF , vol. 66,1938, p. 155-163 ( leer en línea )
-
Resolución por tractores , en abraCAdaBRI
-
Suplemento de la Enciclopedia o Diccionario Razonado de Ciencias, Artes y Oficios , pág. 648, en Gallica
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