Ecuación de Picard-Fuchs

En matemáticas , llamamos a la ecuación Picard - Fuchs una ecuación diferencial bastante especial porque sus soluciones describen el cambio en los períodos de la curva elíptica en términos de su parámetro modular .

Definición

Para una curva elíptica (compleja) E , dada por su ecuación de Weierstrass

y ^ 2 = 4x ^ 3-g_2x-g_3

definimos su j- invariante por la fórmula

{\ displaystyle j = {\ frac {g_ {2} ^ {3}} {g_ {2} ^ {3} -27g_ {3} ^ {2}}}}

Este invariante solo determina la curva elíptica hasta el isomorfismo. Por tanto, se denomina módulo de la curva elíptica o invariante modular .

Con cada retícula Λ del plano complejo asociamos la curva elíptica ℂ / Λ, que se dice que está estandarizada por la retícula. Esto depende, excepto por isomorfismo, de la clase de similitud de Λ: incluso si significa multiplicar Λ por un número complejo adecuado, podemos suponer que el complejo 1 pertenece a Λ. Redes de esta manera son exactamente las de la forma ℤ + $τ$ ℤ, en cierta medida $τ$ del semiplano de Poincaré H .

Obtenemos así un mapa, el mapa j , que en un punto $τ$ del semiplano H asocia la invariante j de la curva elíptica ℂ / ℤ + $τ$ ℤ. Resulta que este mapa, de H 'a ℂ, es holomórfico. Además, cada número complejo es así alcanzado por un punto de H , y dos puntos $τ$ y $τ '$ de H producirán el mismo invariante j solo si, y solo si, podemos transformar uno en otro mediante una homografía con coeficientes enteros. En otras palabras, el mapa j define una biyección fuente el cociente a la izquierda Γ \ H del semiplano H por el grupo modular Γ, y de meta todo el plano complejo. Esta biyección es incluso un biholomorfismo, para una adecuada definición de la estructura de la superficie de Riemann en el cociente Γ \ H (conviene prestar atención a los puntos fijos de los elementos elípticos de Γ).

La aplicación j es una cobertura , que no está ramificada aparte de los puntos donde su derivada desaparece. Los puntos de ramificación son de hecho los puntos fijos de los elementos elípticos de Γ, y son exactamente los puntos cuya invariante asociada j es 0 o 1728 = 12 3 . Excepto en estos puntos, se aplica el teorema de inversión local. Por tanto, podemos plantearnos la cuestión de saber cómo expresar localmente un mapa inverso de la aplicación j . En otras palabras, queremos responder al problema:

Dado un invariante j , cómo encontrar un punto

τ

que se envía a j . También queremos que

τ

varíe continuamente en función de j .

La ecuación de Picard Fuchs proporciona una respuesta a este problema.

Para un invariante j distinto de 0 y 1728, podemos obtener una curva elíptica de invariante j en la familia Legendre

{\ Displaystyle y ^ {2} = X (X-1) (X- \ lambda).}

Basta elegir λ tal que ... Dada una curva elíptica, un método general permite construir una red del plano complejo cuya correspondiente curva uniforme es isomorfa a la curva original. Se trata de construir periodos de la curva; son valores de integrales de formas diferenciales 1-holomórficas a lo largo de bucles. El nombre de período proviene del hecho de que la función elíptica de Weierstrass , que describe la uniformización de la curva elíptica dada, es una función periódica y su red de períodos es exactamente la red descrita por los valores de estas integrales. Los nombres de curva elíptica y de función elíptica también derivan su origen de estas integrales, llamadas elípticas porque también se usan para expresar las longitudes de arcos de elipses.

La ecuación de Picard Fuchs describe precisamente la variación de los valores de estas integrales, los períodos, en términos del parámetro j (para una forma diferencial y una guiñada que varían adecuadamente con el parámetro j ). Esta es la siguiente ecuación diferencial

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} ~ y} {(\ mathrm {d} j) ^ {2}}} + {\ frac {1} {j}} {\ frac {\ mathrm {d} ~ y} {\ mathrm {d} j}} + {\ frac {31j-4} {144j ^ {2} (1-j) ^ {2}}} y = 0. \,}

Se transforma, gracias al schwarzian (in) , en

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} ~ f} {(\ mathrm {d} j) ^ {2}}} + {\ frac {1-1968j + 2654208j ^ {2}} { 4j ^ {2} (1-1728j) ^ {2}}} f = 0}

La ecuación de Picard-Fuchs satisface las condiciones de Cauchy-Lipschitz , excepto en 0 y 1728. Por lo tanto, puede integrarse localmente en la vecindad de cualquier punto, excepto 0 y 1728: cada condición inicial genera una semilla de solución analítica, e incluso holomorfa: satisface las condiciones de Riemann. Es una ecuación lineal de orden 2. Su espacio de soluciones locales (sin condiciones iniciales) es de dimensión 2. Al estudiar la variación local de un período en términos del invariante modular, obtenemos una solución de la ecuación de Picard-Fuchs. Al considerar dos períodos fundamentales, que forman la base de la red de períodos, obtenemos un par fundamental de soluciones de la ecuación de Picard-Fuchs. El cociente de estos dos períodos es un punto $τ$ del semiplano de Poincaré. Cuando variamos j, los períodos varían según lo prescrito por la ecuación de Picard-Fuchs. Deducimos la variación de $τ$ . En general, si tomamos el cociente de dos soluciones independientes de la ecuación de Picard-Fuchs, solo obtendremos la imagen de $τ$ mediante una homografía constante: no depende de j . Pero esta homografía no tiene necesariamente coeficientes enteros: sus coeficientes son los de la matriz de cambio de base entre una base resultante de períodos fundamentales y la base de soluciones consideradas.

Por tanto, el problema planteado anteriormente se reduce a la construcción de soluciones (locales) de la ecuación de Picard-Fuchs. Ahora, la ecuación de Picard-Fuchs se reduce a un caso particular de ecuación hipergeométrica (in) : sus soluciones, por lo tanto, se escriben en términos de la serie hipergeométrica correspondiente.

Generalización

En geometría algebraica , generalizamos la noción de período considerando la integración de formas diferenciales algebraicas en ciclos singulares. Obtenemos así un isomorfismo de los periodos entre la cohomología de De Rham con coeficientes en números complejos, y la cohomología singular , también tomada con coeficientes en números complejos. El instrumento que generaliza la ecuación de Picard-Fuchs es la conexión Gauss-Manin (in) : al considerar una variedad algebraica de entorno familiar, describe la variación de períodos de isomorfismo cuando la variedad considerada varía en su familia. Basta describirlo al nivel de las deformaciones infinitesimales de la variedad, en el sentido de la teoría de los diagramas.

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Ecuación de Picard-Fuchs ” ( ver la lista de autores ) .
(en) J. Harnad y J. McKay, Soluciones modulares para ecuaciones de tipo Halphen generalizado , Proc. R. Soc. Londres A 456 (2000), 261-294,
(en) J. Harnad, Picard-Fuchs Equations, Hauptmoduls and Integrable Systems , arXiv : solv-int / 9902013 , capítulo 8 (p. 137-152) de Integrability: The Seiberg-Witten and Witham Equation (Eds. HW Braden y MI Krichever, Gordon y Breach, Amsterdam (2000)).