Ecuación de Darcy-Weisbach

La ecuación de Darcy-Weisbach , en hidráulica , permite calcular la caída de presión (disipación de energía) de los conductos , distinguiendo las caídas de presión lineales de las singulares (puntuales). Es una ecuación muy utilizada en el campo.

Presentación de la ecuación

La ecuación de Darcy para las caídas de presión es una mejora de la ecuación de Prony y fue desarrollada por Henry Darcy , antes de ser modificada por Julius Weisbach (científico alemán) en 1845, lo que le dio su forma actual.

La pérdida de presión se expresa mediante:

{\ Displaystyle \ Delta P = f_ {D} \, {\ frac {L} {D_ {h}}} \, \ rho {\ frac {V ^ {2}} {2}}}

La caída de presión, obtenida al dividir la expresión anterior por ρ · g, se expresa por:

{\ Displaystyle \ Delta H = f_ {D} \, {\ frac {L} {D_ {h}}} \, {\ frac {V ^ {2}} {2g}}}

con

ΔP - pérdida de presión [ Pa ]
ΔH - caída de presión [ m ]
f D - Coeficiente de caída de presión de Darcy [-]
L - longitud de la tubería [ m ]
ρ - densidad del fluido [ kg m −3 ]
D h - diámetro hidráulico [ m ]
V - velocidad media del fluido [ m s −1 ]
g - aceleración de la gravedad [ m s −2 ]

Los anglosajones se refieren a estas dos definiciones con los términos caída de presión y pérdida de carga .

El coeficiente de caída de presión depende del régimen de flujo (laminar o turbulento) y de las propiedades del fluido. En condiciones isotérmicas, el número de Reynolds , que es la relación entre la potencia de las fuerzas de inercia y la disipación viscosa , es suficiente para caracterizar el régimen de flujo.

Coeficientes de caída de presión

Hay dos coeficientes de caída de presión. Uno es el coeficiente de caída de presión de Darcy, en referencia a Henry Darcy , generalmente utilizado por los franceses. Se denota con la letra mayúscula lambda (Λ). El otro, generalmente utilizado por los anglosajones, es el coeficiente de pérdida de presión de Fanning, en referencia a John Thomas Fanning , también llamado coeficiente de fricción porque define el esfuerzo cortante en la pared (es decir, digamos la fricción [ Pa ]). :

{\ Displaystyle \ tau = f_ {F} \, \ rho \, {\ frac {V ^ {2}} {2}}}

Estos dos coeficientes expresan la misma realidad física y están vinculados por la siguiente relación:

{\ Displaystyle f_ {D} = 4 \, f_ {F}}

Determinación del coeficiente de pérdida lineal

Se utilizan varios métodos para definir el coeficiente de pérdida de presión. Uno de los más conocidos utiliza el diagrama de Moody , que es un ábaco para determinar el coeficiente de pérdida de presión a partir del número de Reynolds y la rugosidad ( ) de la tubería. También es posible calcular este parámetro directamente a partir de correlaciones que son la base del diagrama de Moody's: $\ varepsilon$

para un flujo laminar en un tubo circular, obtenemos la expresión de por identificación con la ley de Hagen-Poiseuille: $Re <2000$ $f_D$

f_D = \ frac {64} {Re}

(ya sea el coeficiente de Fanning: )

f_F = \ frac {16} {Re}

para un flujo turbulento en un tubo circular, hay una gran cantidad de correlaciones, algunas simples pero imprecisas, otras más pesadas pero más cercanas a la realidad. $Re> 3000$

Rugosidad para algunos tipos de materiales

Material	Rugosidad ( ) [mm] $\ varepsilon$
hierro forjado	0,12 - 0,3
tubo remachado	0,75 - 1-05
galvanizado	0,15 - 0,3
hormigón (tubería pequeña)	0,15 - 0,25
hormigón rugoso	0,9 - 1,5
hormigón muy rugoso	1,5 - 2,15
galería de rocas	90 - 300

La correlación Blasius es la más sencilla, pero su validez se reduce a tuberías perfectamente lisas (vidrio, PVC, ...):

{\ Displaystyle f_ {D} = 0,3164 \, Re ^ {- {\ frac {1} {4}}}}

Correlación de Colebrook , también conocida como ecuación de Colebrook-White:

\ frac {1} {\ sqrt {f_D}} = -2 \ log_ {10} \ left (\ frac {2,51} {Re \ sqrt {f_D}} + \ frac {\ varepsilon} {3,7 D } \ derecho)

Correlación de Haaland:

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = - 1,8 \ log _ {10} \ left ({\ frac {6,9} {Re}} + \ left ( {\ frac {\ varepsilon} {3,7D}} \ right) ^ {1,11} \ right)}

Correlación Swamee - Jain:

{\ displaystyle f_ {D} = {\ frac {0.25} {\ left (\ log _ {10} \ left [{\ frac {\ varepsilon / D} {3.7}} + {\ frac {5, 74} { Re ^ {0.9}}} \ right] \ right) ^ {2}}}}

Correlación de Serghides. La comparación se realizó con 70 puntos en un amplio rango de valores tanto para el número de Reynolds como para la rugosidad con un error absoluto máximo de 0,0031%.

{\ Displaystyle A = -2 \ log _ {10} \ left ({\ varepsilon / D \ over 3,7} + {12 \ over {\ mbox {Re}}} \ right)}

{\ Displaystyle B = -2 \ log _ {10} \ left ({\ varepsilon / D \ over 3,7} + {2,51A \ over {\ mbox {Re}}} \ right)}

{\ Displaystyle C = -2 \ log _ {10} \ left ({\ varepsilon / D \ over 3,7} + {2,51B \ over {\ mbox {Re}}} \ right)}

f_D = \ left (A - \ frac {(B - A) ^ 2} {C - 2B + A} \ right) ^ {- 2}

La correlación Goudar-Sonnad actualmente es la aproximación más precisa, se da con un error absoluto máximo de menos de 0,000 364% para más de 10 000 puntos entre 4000 <Re <10 8 y 10 -6 <ε / D < 10-2 .

a = {2 \ over \ ln (10)}

; ;

{\ displaystyle b = {\ varepsilon / D \ over 3,7}}

{\ displaystyle d = {\ ln (10) Re \ over 5.02}}

s = bd + \ ln (d)

;

q = s ^ {\ frac {s} {(s + 1)}}

g = {bd + \ ln {d \ over q}}

;

z = {\ ln {q \ over g}}

Hay dos posibilidades diferentes disponibles para calcular δ

\ delta_ {LA} = z {{g \ over {g + 1}}}

\ delta_ {CFA} = \ delta_ {LA} \ left ((1 + \ frac {z / 2} {(g + 1) ^ 2 + (z / 3) (2g-1)}) \ right)

\ frac {1} {\ sqrt {f_D}} = a \ left [\ ln {\ left (\ frac {d} {q} \ right)} + \ delta \ right]

Stuart W. Churchill desarrolló una fórmula para los dos regímenes, laminar y turbulento:

{\ Displaystyle f_ {D} = 8 \ left (\ left ({\ frac {8} {Re}} \ right) ^ {12} + \ left (A + B \ right) ^ {- 1,5} \ derecha) ^ {\ frac {1} {12}}}

{\ Displaystyle A = \ left (2 {,} 457 \ ln \ left (\ left (\ left ({\ frac {7} {Re}} \ right) ^ {0,9} +0,27 {\ frac {e} { D}} \ derecha) ^ {- 1} \ derecha) \ derecha) ^ {16}}

B = \ left (\ frac {37530} {Re} \ right) ^ {16}

En condiciones turbulentas, algunos autores especifican el campo de aplicación de las fórmulas anteriores, en función del producto , caracterizando la rugosidad de las tuberías: ${\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}}}$

Para (marcha suave): ReεD<sesenta y cinco{\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}} <65} ${\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}} <65}$
- para : fórmula de Blasius indicada anteriormente; $2300 <\ mbox {Re} <10 ^ {5}$
- para : fórmula Hermann: ; $2300 <\ mbox {Re} <10 ^ {6}$ ${\ displaystyle f_ {D} = 0 {,} 0054 + {\ frac {0 {,} 396} {{\ mbox {Re}} ^ {0.3}}}}$
- para : fórmula Nikuradze : ; ${\ Displaystyle 10 ^ {5} <{\ mbox {Re}} <5 \, 10 ^ {6}}$ ${\ displaystyle f_ {D} = 0 {,} 0032 + 0 {,} 221 \, {\ mbox {Re}} ^ {- 0 {,} 237}}$
- para : fórmula de Prandtl y v. Kármán : . ${\ displaystyle {\ mbox {Re}}> 10 ^ {6}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = 2 \, log_ {10} \ left ({{\ mbox {Re}} \, {\ sqrt {f_ {D}} }} \ right) -0 {,} 8}$

Para (conducción brusca): ReεD>1300{\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}}> 1300} ${\ displaystyle {\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}}> 1300}$
- Fórmula Nikuradze: ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = 2 \, \ log _ {10} \ left ({\ frac {D} {\ varepsilon}} \ right) +1 { ,} 14}$
- Fórmula de Moody: ${\ displaystyle f_ {D} = 0 {,} 0055 + 0 {,} 15 \, \ left ({\ frac {\ varepsilon} {D}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}$
- Fórmula Eck: ${\ displaystyle f_ {D} = {\ frac {0 {,} 25} {\ left (log_ {10} \ left (3 {,} 71 \, {\ frac {D} {\ varepsilon}} \ right) \ right) ^ {2}}}}$

Para (tubo intermedio): sesenta y cinco<ReεD<1300{\ displaystyle 65 <{\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}} <1300} ${\ displaystyle 65 <{\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}} <1300}$
- Fórmula de Prandlt y Colebrook que se muestra arriba (fórmula de Colebrook)
- Fórmula de Altschoul: ${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f_ {D}}}} = 1 {,} 8 \, \ log _ {10} \ left ({\ frac {\ mbox {Re}} {{\ mbox {Re}} \, \ left ({\ frac {\ varepsilon} {10 \, D}} \ right) +7}} \ right)}$
- Fórmula Citrini: ${\ displaystyle f_ {D} = {\ frac {1 + {\ frac {8} {{\ mbox {Re}} \, {\ frac {\ varepsilon} {D}}}}} {\ left (2 \ , \ log _ {10} \ left (3 {,} 71 \ cdot {\ frac {D} {\ varepsilon}} \ right) \ right) ^ {2}}}}$

Notas y referencias

(en) Thomas Bradford a Drew , avances en la ingeniería química , el vuelo. 10, Nueva York, Academic Press , Inc,1978, 336 p. ( ISBN 0-12-008510-0 ) , pág. 137
Paraschivoiu 2003 , p. 317.
Paraschivoiu 2003 , p. 321.
(in) SE Haaland , " Fórmulas simples y explícitas para el factor de fricción en flujo turbulento " , Journal of Fluids Engineering , vol. 105, n o 1,Marzo de 1983, p. 89-90 ( DOI 10.1115 / 1.3240948 )
(en) PK Swamee y AK Jain , " Ecuaciones explícitas para problemas de flujo de tuberías " , Revista de la División de Hidráulica , vol. 102, n o 5,1976, p. 657-664
(in) TK Serghides , " Estimar el factor de fricción con precisión " , Ingeniería química , vol. 91, n o 5,1984, p. 63-64 ( ISSN 0009-2460 )
(in) CT Goudar y JR Sonnad , " Comparación de la aproximación iterativa de la ecuación de Colebrook-White " , Procesamiento de hidrocarburos ,Agosto de 2008( leer en línea )
(in) CT Goudar y JR Sonnad , " Reformulación explícita de la ecuación de Colebrook-White para el cálculo del factor de fricción de flujo turbulento " , Investigación química industrial y de ingeniería , vol. 46,2007, p. 2593-2600 ( DOI 10.1021 / ie0340241 )
Churchill, SW, 1977, "Las ecuaciones del factor de fricción abarcan todos los rangos de flujo de fluidos" . Chem. Eng. , 91
Bohl y Elmendorf 2008 , p. 164-165.

Ver también

Bibliografía

: documento utilizado como fuente para este artículo.

Ion Paraschivoiu , Michel Prud'homme , Luc Robillard y Patrick Vasseur , Mecánica de fluidos , Montreal, Press internationales Polytechnique,2003, 450 p. ( ISBN 2-553-01135-0 ).
(de) Willi Bohl y Wolfgang Elmendorf , Technische Strömungslehre , Würzburg, Vogel Fachbuch,2008, 14 ª ed. , 504 p. ( ISBN 978-3-8343-3129-8 )

enlaces externos

Aplicación web con cálculos de caída de presión para tuberías y conductos.