Ecuación de Chapman-Kolmogorov

En la teoría de la probabilidad , y más específicamente en la teoría de los procesos estocásticos de Markov , la ecuación de Chapman-Kolmogorov es una igualdad que relaciona las leyes conjuntas de diferentes puntos en la trayectoria de un proceso estocástico. Esta ecuación fue demostrada de forma independiente por el matemático británico Sidney Chapman y el matemático ruso Andrei Kolmogorov .

Suponga que { f i } es una secuencia de variables aleatorias, es decir, un proceso estocástico. Es

{\ Displaystyle p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}

la densidad de la distribución conjunta de las variables f 1 ... f n . Luego se escribe la ecuación de Chapman-Kolmogorov

{\ Displaystyle p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n-1}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n-1}) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}) \, df_ {n}}

que no es otra cosa que el cálculo de la última ley marginal .

Tenga en cuenta que no es necesario asumir ningún orden temporal de las variables aleatorias.

Aplicación a cadenas de Markov

Cuando el proceso estocástico considerado es Markoviano , la ecuación de Chapman-Kolmogorov se convierte en una relación entre las leyes de transición. En el marco de las cadenas de Markov, asumimos que i 1 <... < i n , y gracias a la propiedad de Markov, tenemos

{\ Displaystyle p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}) = p_ {i_ {1}} (f_ {1}) p_ {i_ { 2}; i_ {1}} (f_ {2} \ mid f_ {1}) \ cdots p_ {i_ {n}; i_ {n-1}} (f_ {n} \ mid f_ {n-1}) ,}

donde las probabilidades condicionales son las probabilidades de transición entre tiempos . Por tanto, la ecuación de Chapman-Kolmogorov se convierte en ${\ Displaystyle p_ {i; j} (f_ {i} \ mid f_ {j})}$ ${\ Displaystyle i> j}$

{\ Displaystyle p_ {i_ {3}; i_ {1}} (f_ {3} \ mid f_ {1}) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} p_ {i_ {3}; i_ {2}} (f_ {3} \ mid f_ {2}) p_ {i_ {2}; i_ {1}} (f_ {2} \ mid f_ {1}) \, df_ {2}.}

Cuando la ley de probabilidad del espacio de estados de la cadena de Markov es discreta y la cadena es homogénea, la ecuación de Chapman-Kolmogorov se puede expresar en términos del producto de matrices (posiblemente de dimensión infinita), de la siguiente manera:

{\ Displaystyle P (t + s) = P (t) P (s) \,}

donde P ( t ) es la matriz de transición, es decir, si X t es el estado del proceso en el tiempo t , entonces para cualquier par de puntos i y j del espacio de estados, tenemos

{\ Displaystyle P_ {ij} (t) = P (X_ {t} = j \ mid X_ {0} = i). \,}

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Ecuación de Chapman - Kolmogorov ” ( ver lista de autores ) .

Ecuación de Chapman-Kolmogorov

Aplicación a cadenas de Markov

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