Curvatura gaussiana

La curvatura gaussiana , a veces también llamada curvatura total , de una superficie parametrizada $X$ en $X ( P )$ es el producto de las curvaturas principales . De manera equivalente, la curvatura gaussiana es el determinante del endomorfismo Weingarten .

En mecánica , las superficies materiales cuya curvatura gaussiana no es cero son más rígidas que aquellas cuya curvatura gaussiana es cero, en igualdad de condiciones. En términos comunes, las carcasas son más rígidas que las placas . De hecho, una deformación de un caparazón implica una modificación de su métrica , lo que no es el caso ( en el primer orden ) para una placa o más generalmente para una superficie sin curvatura gaussiana.

Clasificación

Se clasifican los puntos de una superficie de acuerdo con la curvatura gaussiana de la superficie en este punto.

Se dice que un punto donde la curvatura gaussiana es estrictamente positiva es elíptica . Estos son los puntos de un elipsoide , un hiperboloide de dos capas o un paraboloide elíptico . Las dos curvaturas principales tienen el mismo signo. Si además son iguales, el punto es un ombligo . Estos son los puntos de una esfera o los dos vértices de un elipsoide de revolución.
Se dice que un punto donde la curvatura gaussiana es cero es parabólico . Al menos una de las curvaturas principales es cero allí. Este es el caso de las puntas de un cilindro o de un cono , porque la curvatura a lo largo de una generatriz del cilindro que pasa por el punto es cero. Este también es el caso de cualquier superficie desarrollable . Si las dos curvaturas principales son cero, el punto es plano . En el plano, todos los puntos son planos.
Se dice que un punto donde la curvatura gaussiana es estrictamente negativa es hiperbólico . En tal punto, las dos curvaturas principales son de signo opuesto. Este es el caso de todos los puntos de un hiperboloide de una hoja o de un paraboloide hiperbólico .

Cálculo de la curvatura gaussiana

El cálculo de la curvatura gaussiana puede resultar complicado. Se simplifica según el método utilizado.

Usando un ajuste

Suponga que el área está dada por una ecuación $z = f ( x , y )$ , donde $f$ es una función de clase . Denotemos por índice las variables con respecto a las cuales se calculan las derivadas. Entonces, la curvatura gaussiana en el punto del parámetro $($ $x$ $,$ $y$ $)$ vale: ${\ mathcal {C}} ^ {2}$

{\ Displaystyle K = {\ frac {f_ {xx} '' f_ {yy} '' - f_ {xy} '' ^ {2}} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y } '^ {2}) ^ {2}}}}

Demostración

Es decir la parametrización de la superficie, supuestamente regular. La base del plano tangente viene dada por los dos vectores y . Un vector normal a la superficie viene dado por el vector unitario colineal a , a saber: ${\ Displaystyle (x, y) \ to M (x, y, z) = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ f (x, y) \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial x}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_ {x} '\ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ parcial M} {\ parcial y}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_ {y} '\ end {pmatrix}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial M} {\ parcial x}} \ cuña {\ frac {\ parcial M} {\ parcial y}}}$

{\ Displaystyle {\ vec {n}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}}}} {\ begin {pmatrix } -f_ {x} '\\ - f_ {y}' \\ 1 \ end {pmatrix}}}

Para el cálculo de la curvatura, se utiliza el hecho de que es igual al determinante de endomorphism de Weingarten, y que este endomorfismo es el que manda en , y en . Luego comprobaremos que: ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial M} {\ parcial x}}}$ ${\ estilo de visualización - {\ frac {\ parcial {\ vec {n}}} {\ parcial x}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial M} {\ parcial y}}}$ ${\ Displaystyle - {\ frac {\ parcial {\ vec {n}}} {\ parcial y}}}$

{\ estilo de visualización - {\ frac {\ parcial {\ vec {n}}} {\ parcial x}} = {\ frac {1} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}) ^ {3/2}}} \ left ((f_ {xx} '' + f_ {y} '^ {2} f_ {xx}' '- f_ {x}' f_ {y} ' f_ {xy} '') {\ frac {\ parcial M} {\ parcial x}} + (f_ {xy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {xy}' '- f_ {x} 'f_ {y}' f_ {xx} '') {\ frac {\ parcial M} {\ parcial y}} \ derecha)}

Obtenemos un resultado comparable para permutando los índices $x$ e $y$ . ${\ Displaystyle - {\ frac {\ parcial {\ vec {n}}} {\ parcial y}}}$

Por tanto, el endomorfismo de Weingarten tiene como matriz, en la base : ${\ estilo de visualización \ izquierda (- {\ frac {\ parcial M} {\ parcial x}}, - {\ frac {\ parcial M} {\ parcial y}} \ derecha)}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}) ^ {3/2}}} {\ begin {pmatrix} f_ {xx } '' + f_ {y} '^ {2} f_ {xx}' '- f_ {x}' f_ {y} 'f_ {xy}' '& f_ {xy}' '+ f_ {y}' ^ {2} f_ {xy} '' - f_ {y} 'f_ {x}' f_ {yy} '' \\ f_ {xy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {xy}' ' - f_ {x} 'f_ {y}' f_ {xx} '' & f_ {yy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {yy}' '- f_ {x}' f_ {y} 'f_ {xy}' '\ end {pmatrix}}}

El determinante de esta matriz, después de la simplificación, da la fórmula anunciada.

Uso de formas fundamentales

Sea una superficie parametrizada mediante dos parámetros $u$ y $v$ , y sea $I = E d u 2 + 2 F d u d v + G d v 2$ la primera forma fundamental , $II = L d u 2 + 2 M d u d v + N d v 2$ la segunda forma fundamental . Entonces vale la curvatura gaussiana:

{\ Displaystyle K = {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}}

Demostración

Es decir una parametrización de la superficie, supuestamente regular. Una base del plano tangente viene dada por y . Sean y dos vectores del plano tangente en un punto de la superficie, y sean X e Y las componentes de estos dos vectores en la base anterior. La primera forma fundamental da la expresión en esta base del producto escalar de los dos vectores: ${\ Displaystyle (u, v) \ a M (u, v)}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial M} {du}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial M} {dv}}}$ $\ vec {x}$ ${\ vec {y}}$

{\ Displaystyle \ langle {\ vec {x}}, {\ vec {y}} \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

La segunda forma fundamental es la cuadrática asociada al endomorfismo simétrico de Weingarten $W$ , cuyos dos autovalores son las principales curvaturas de la superficie en el punto considerado.

{\ Displaystyle \ langle {\ vec {x}}, W ({\ vec {y}}) \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y }

En consecuencia, si es un vector propio del endomorfismo de Weingarten, con valor propio $λ$ , tenemos, para todos : ${\ vec {y}}$ $\ vec {x}$

{\ Displaystyle \ langle {\ vec {x}}, W ({\ vec {y}}) \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y = \ lambda \ langle {\ vec {x}}, {\ vec {y}} \ rangle = \ lambda {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

Siendo esta relación válida para todo , tenemos por tanto: $\ vec {x}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y = \ lambda {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

y por lo tanto, la matriz no es invertible, ya que admite la columna $Y$ distinta de cero como un elemento de su núcleo. Su determinante da la ecuación verificada por las curvaturas principales, a saber: ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} - \ lambda {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} L- \ lambda E&M - \ lambda F \\ M- \ lambda F & N- \ lambda G \ end {pmatrix}}}$

{\ displaystyle (EG-F ^ {2}) \ lambda ^ {2} - (EN + GL-2MF) \ lambda + LN-M ^ {2} = 0}

Obtenemos el producto de las dos raíces que no es otro que la curvatura gaussiana deseada. ${\ Displaystyle {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}}$

Cálculo de curvatura intrínseca

Las fórmulas anteriores utilizan el hecho de que la superficie está incluida en el espacio de dimensión 3. Sin embargo, la curvatura gaussiana es una propiedad intrínseca de la superficie, y depende solo de la métrica local de la superficie (en otras palabras, de la primera forma fundamental ). Este resultado se conoce con el nombre de Theorema egregium y, por ejemplo, se ilustra mediante la fórmula de Gauss-Bonnet . Por lo tanto, es posible determinar la curvatura solo a partir de la métrica local, lo que abre el camino a un cálculo más general de la curvatura en las variedades de Riemann .

Coordenadas normales de Riemann

Usamos coordenadas cartesianas donde estamos en la Tierra. En otros lugares tenemos que utilizar coordenadas que se han rotado en función de la latitud y la longitud. Por eso , los datos de contacto de Riemann se denominan locales. Las coordenadas de Riemann son prácticamente coordenadas cartesianas en el plano tangente a la Tierra y, más generalmente, a una superficie o espacio curvo.

En coordenadas Gauss (son tradicionalmente usados $μ$ y $ν$ en lugar de $X$ y $Y$ ), la métrica se escribe:

{\ mathrm d} s ^ {2} = g _ {{xx}} \, {\ mathrm d} x ^ {2} + 2g _ {{xy}} \, {\ mathrm d} x {\ mathrm d } y + g _ {{yy}} {\ mathrm d} y ^ {2}

Para cambiar a las coordenadas de Riemann, debemos diagonalizar la matriz representativa de la métrica y luego cambiar las escalas de los ejes de coordenadas para obtener una métrica euclidiana:

{\ mathrm d} s ^ {2} = {\ mathrm d} x ^ {2} + {\ mathrm d} y ^ {2} \,

La curvatura gaussiana ser el producto de las curvaturas principales $k x$ y $k Y$ y la curvatura de una curva plana siendo la segunda derivada de la ordenada $z$ con respecto a la abscisa $x$ o $y$ , tenemos:

K = k _ {{x}} k _ {{y}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial x ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} z } {\ y parcial ^ {2}}}

Curvatura gaussiana en coordenadas de Riemann

Considere una superficie en un punto $O$ , el origen de coordenadas, y el plano tangente a la superficie $O$ . Los ejes se eligen de modo que $Oz$ sea perpendicular al plano tangente, y los ejes $Ox$ y $Oy$ en el plano tangente coincidan con las direcciones principales de la superficie. En la vecindad de $O$ , la $x$ y $Y$ coordenadas en el plano tangente están muy cerca de la Gauss coordenadas $u$ y $v$ en la superficie curvada de manera que sólo utilizaremos las coordenadas cartesianas $x$ e $y$ en el plano tangente y $z$ , la dimensión comparado al plano tangente. Considere una superficie curva con la ecuación $z = z ( x , y )$ y suponga que la métrica local se escribe:

{\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = g_ {xx} \, \ mathrm {d} x ^ {2} + g_ {yy} \ mathrm {d} y ^ {2}}

Entonces la curvatura gaussiana se expresa en función de la segunda derivada de los coeficientes de esta métrica en la forma:

{\ Displaystyle K = - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} g_ {xx}} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} g_ {yy}} {\ parcial x ^ {2}}} \ right) = - {\ frac {1} {2}} \ left (g_ {xx, yy} + g_ {yy, xx } \ derecho)}

donde la coma indica una derivación parcial, lo que ayuda a que las ecuaciones sean más legibles. La curvatura gaussiana, que tiene por dimensión la inversa del cuadrado de una longitud, se vuelve muy simple en coordenadas normales de Riemann, al aproximar la superficie mediante un paraboloide cuyos ejes de simetría coinciden con las direcciones principales de la métrica. Entonces es igual al tensor de Riemann $R xyxy$ de la superficie.

Demostración

El diferencial de la función $z$ es:

{\ Displaystyle dz = {\ frac {\ parcial z} {\ parcial x}} dx + {\ frac {\ parcial z} {\ parcial y}} dy}

La métrica del espacio euclidiano tridimensional es

{\ mathrm d} s ^ {2} = {\ mathrm d} x ^ {2} + {\ mathrm d} y ^ {2} \ + {\ mathrm d} z ^ {2} \,

Al reemplazar $d z$ por su expresión anterior, la métrica se convierte en

{\ mathrm d} s ^ {2} = \ left [1+ \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right) ^ {2} \ right] \, {\ mathrm d} x ^ {2} +2 {\ frac {\ z parcial} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial z} {\ parcial y}} {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y + \ left [1+ \ left ({\ frac {\ parcial z} {\ parcial y}} \ derecha) ^ {2} \ right] \, {\ mathrm d} y ^ {2}

La fórmula genérica para la métrica de una superficie es:

{\ mathrm d} s ^ {2} = g _ {{xx}} \, {\ mathrm d} x ^ {2} + 2g _ {{xy}} \, {\ mathrm d} x {\ mathrm d } y + g _ {{yy}} {\ mathrm d} y ^ {2}

donde los coeficientes $g ij$ de la métrica son números adimensionales. Además, en el presente caso, $g xy = 0$ . Calculamos las segundas derivadas de $g xx$ y $g yy$ , respectivamente con respecto a $y$ y $x$ :

{\ frac 12} {\ frac {\ parcial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ parcial y ^ {2}}} = {\ frac 12} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ y parcial ^ {2}}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial z} {\ parcial x}} \ derecha) ^ {2} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parciales x \ parciales y}} \ derecha) ^ {2} + {\ frac {\ parciales z} {\ parciales x}} {\ frac {\ parciales ^ {3} z} {\ parciales x \ parciales y ^ {2}}}

{\ frac 12} {\ frac {\ parcial ^ {2} g _ {{yy}}} {\ parcial x ^ {2}}} = {\ frac 12} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial z} {\ parcial y}} \ derecha) ^ {2} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parciales x \ parciales y}} \ derecha) ^ {2} + {\ frac {\ parciales z} {\ parciales y}} {\ frac {\ parciales ^ {3} z} {\ parciales y \ parciales x ^ {2}}}

Resumamos estas dos ecuaciones:

{\ frac 12} {\ frac {\ parcial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac 12} {\ frac {\ parcial ^ {2} g_ {{yy}}} {\ parcial x ^ {2}}} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial x \ parcial y}} \ derecha) ^ {2} + \ izquierda [{\ frac {\ parcial z} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial ^ {3} z} {\ parcial x \ parcial y ^ {2}}} + \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial x \ parcial y}} \ derecha) ^ {2} + {\ frac {\ parcial z} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial ^ {3} z} {\ parcial y \ parcial x ^ {2}}} \ derecha]

Ahora diferenciemos $g xy = 0$ , ya que la métrica es diagonal por supuesto:

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2} g_ {xy}} {\ parcial x \ parcial y}} = {\ frac {\ parcial ^ {2}} { \ parcial x \ parcial y}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial z} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial z} {\ parcial y}} \ derecha) = {\ frac {\ parcial} {\ y parcial}} \ izquierda ({\ frac {\ z parcial} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial x \ parcial y}} \ derecha) + {\ frac {\ parcial} {\ y parcial}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial x ^ {2}}} {\ frac {\ parcial z} {\ parcial y}} \ right) = 0}

lo que da la ecuación:

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial x ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial y ^ {2}}} = - \ izquierda [\ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parciales x \ parciales y}} \ derecha) ^ {2} + {\ frac {\ parciales z} {\ parciales x}} {\ frac {\ parcial ^ {3} z} {\ parcial y ^ {2} \ parcial x}} + {\ frac {\ parcial z} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial ^ {3} z} {\ parcial x ^ {2} \ parcial y}} \ derecha]}

Por lo tanto, el lado derecho de esta expresión, entre corchetes, idéntico al término anterior entre corchetes, puede reemplazarse. De donde

{\ frac 12} {\ frac {\ parcial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac 12} {\ frac {\ parcial ^ {2} g_ {{yy}}} {\ parcial x ^ {2}}} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial x \ parcial y}} \ derecha) ^ {2} - { \ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial x ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial y ^ {2}}}

En esta fórmula sólo hay segundas derivadas de los coeficientes de la métrica y de $z$ con respecto a $x$ e $y$ , de acuerdo con la suposición de coordenadas de Riemann. Aproximamos, en el punto considerado, la superficie mediante un paraboloide de curvaturas principales $k x$ y $k y$ cuyos planos principales coinciden con los de la superficie curva:

z = {\ frac 12} \ left (k _ {{x}} x ^ {2} + k _ {{y}} y ^ {2} \ right)

Como no hay un término rectangular en esta expresión, tenemos

{\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial x \ parcial y}} = 0

Los coeficientes $k x$ y $k y$ son las segundas derivadas de $z$ con respecto a $x$ y $y$ y, por lo tanto, las curvaturas de las parábolas, intersecciones de la paraboloide con sus planos principales. Dado que el producto $K = k x k {ind$

de las principales curvaturas es, por definición, la curvatura gaussiana, podemos escribir:

{\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial x ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} z} {\ parcial y ^ {2}}} = k_ {x} k_ {y} = K

Utilizando las dos relaciones anteriores, se obtiene la curvatura de Gauss en coordenadas de Riemann:

K = - {\ frac 12} \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ y parcial ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} g_ {{yy}}} {\ partial x ^ {2}}} \ right) = - {\ frac 12} \ left (g _ {{xx, yy}} + g _ {{yy, xx}} \ derecho)

Curvatura gaussiana en coordenadas de Gauss

Siendo complicado el cálculo, nos contentaremos con dar algunas fórmulas prácticas. El primero corresponde a una métrica diagonal : ${\ Displaystyle g_ {uu} \, \ mathrm {d} u ^ {2} + g_ {vv} \ mathrm {d} v ^ {2}}$

{\ Displaystyle K = {\ frac {1} {g_ {uu} g_ {vv}}} \ left [- {\ frac {1} {2}} \ left (g_ {uu, vv} + g_ {vv, uu} \ right) + {\ frac {g_ {uu, v} ^ {2}} {4g_ {uu}}} + {\ frac {g_ {vv, u} ^ {2}} {4g_ {vv}} } + {\ frac {g_ {uu, u} g_ {vv, u}} {4g_ {uu}}} + {\ frac {g_ {vv, v} g_ {uu, v}} {4g_ {vv}} } \ derecho]}

La notación de Leibniz se reemplaza por comas que indican derivación parcial. Reconocemos los dos primeros términos idénticos a los de la expresión en coordenadas de Riemann excepto por el coeficiente de multiplicación $g uu g vv$ , diferente de 1 en coordenadas de Gauss.

El $u$ y $v$ son las coordenadas de Gauss, que corresponde por ejemplo en el caso de la esfera a la esférica coordenadas $θ$ y $φ$ .

La fórmula de Brioschi da la curvatura y el tensor de Riemann $R uvuv$ en forma de matriz para una métrica diagonal:

K = {\ frac {R _ {{uvuv}}} {g _ {{uu}} g _ {{vv}}}} = {\ frac {1} {g _ {{uu}} g _ {{ vv}}}} {\ begin {vmatrix} - {\ frac {g _ {{uu, vv}} + g _ {{vv, uu}}} {2}} + {\ frac {g _ {{uu , v}} ^ {2}} {4g _ {{uu}}}} + {\ frac {g _ {{vv, u}} ^ {2}} {4g _ {{vv}}}} & { \ frac {g _ {{uu, u}}} {2g _ {{uu}}}} y - {\ frac {g _ {{uu, v}}} {2g _ {{vv}}}}} \\ - {\ frac 12} g _ {{vv, u}} & 1 & \\ {\ frac 12} g _ {{vv, v}} && 1 \ end {vmatrix}}

o no diagonal:

K = {\ frac 1 {(EG-F ^ {2}) ^ {2}}} \ left [{\ begin {vmatrix} - {\ frac 12} E _ {{vv}} + F _ {{uv }} - {\ frac 12} G _ {{uu}} & {\ frac 12} E_ {u} & F_ {u} - {\ frac 12} E_ {v} \\ F_ {v} - {\ frac 12} G_ {u} & E & F \\ {\ frac 12} G_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} - {\ begin {vmatrix} 0 & {\ frac 12} E_ {v} & {\ frac 12} G_ {u} \\ {\ frac 12} E_ {v} & E & F \\ {\ frac 12} G_ {u} & F & G \ end {vmatrix}} \ right]

donde $E = g uu , G = g vv , F = g uv$ (notación de Gauss). Los índices representan una derivada parcial simple o doble con respecto a las coordenadas gaussianas $u$ y $v$ , correspondientes a las $x$ e $y anteriores$ .

Aplicación a la esfera

Curvatura gaussiana de la esfera en coordenadas de Riemann

La ecuación de una esfera de radio $R$ en coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano tridimensional es

x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}

Para que la concavidad sea positiva, debemos tomar la raíz negativa de $z$ :

z (x, y) = - {\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2}}}

Desarrollémoslo en serie en el Polo Sur, en la vecindad de $x = y = 0$ , es decir en coordenadas de Riemann:

z (x, y) = - R + {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {2R}}

Por tanto, por diferenciación:

{\ mathrm d} z ^ {2} = \ left ({\ frac {x \, {\ mathrm d} x + y \, {\ mathrm d} y} {R}} \ right) ^ {2} = {\ frac {x ^ {2} \, {\ mathrm d} x ^ {2} + 2xy \, {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y + y ^ {2} \, {\ mathrm d} y ^ {2}} {R ^ {2}}}

La métrica del espacio euclidiano tridimensional.

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = \, {\ mathrm d} x ^ {2} + \, {\ mathrm d} y ^ {2} \ + \, {\ mathrm d} z ^ { 2}

se convierte en el de un paraboloide de revolución que se aproxima a la esfera:

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = \ left (1 + {\ frac {x ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) \, {\ mathrm d} x ^ {2 } +2 {\ frac {xy} {R ^ {2}}} \, {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y + \ left (1 + {\ frac {y ^ {2}} { R ^ {2}}} \ right) \, {\ mathrm d} y ^ {2}

Más cerca del Polo Sur, donde $x \approx y \approx 0$ , la métrica es euclidiana al eliminar los términos de segundo orden. Para ponerlo en coordenadas de Riemann es necesario diagonalizarlo. Es más fácil usar las coordenadas esféricas que dan una métrica diagonal. Para estar en coordenadas de Riemann, diagonalizamos la métrica, que se convierte en:

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = \, {\ mathrm d} x ^ {2} + \ left [1 - {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right] \, {\ mathrm d} y ^ {2}

donde $K = k x k y$ es la curvatura gaussiana. Nos encontramos con la métrica euclidiana en $O$ , donde $x$ e $y$ son cero. En esta expresión, tenemos $g xx = 1, g xy = 0$ y

g _ {{yy}} = 1 - {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {R ^ {2}}}

K = - {\ frac 12} \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ y parcial ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} g_ {{yy}}} {\ partial x ^ {2}}} \ right) = - {\ frac 12} \ left (0 - {\ frac {2} {R ^ {2}}} \ right) = {\ frac {1} {R ^ {2}}}

Encontramos la curvatura gaussiana de la esfera, igual al tensor de Riemann $R uvuv$ pero solo en coordenadas de Riemann.

Curvatura gaussiana de la esfera en coordenadas de Gauss

Considere un pequeño rectángulo elemental en la esfera de radio $R$ . Sea $θ$ la colatitud y $ϕ$ la longitud. Su diagonal ds es, en virtud del teorema de Pitágoras:

{\ mathrm d} s ^ {2} = R ^ {2} \, {\ mathrm d} \ theta ^ {2} + R ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ mathrm d} \ phi ^ {2}

La métrica de la esfera es diagonal, sin un término rectángulo:

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = g _ {{\ theta \ theta}} \, {\ mathrm d} \ theta ^ {2} + g _ {{\ phi \ phi}} \, { \ mathrm d} \ phi ^ {2} = R ^ {2} \, {\ mathrm d} \ theta ^ {2} + R ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ mathrm d} \ phi ^ {2}

La fórmula general de la curvatura gaussiana en coordenadas de Gauss para una métrica diagonal:

{\ Displaystyle K = {\ frac {1} {g _ {\ theta \ theta} g _ {\ phi \ phi}}} \ left [- {\ frac {1} {2}} \ left (g _ { \ theta \ theta, \ phi \ phi} + g _ {\ phi \ phi, \ theta \ theta} \ right) + {\ frac {g _ {\ theta \ theta, \ phi} ^ {2}} {4g _ {\ theta \ theta}}} + {\ frac {g _ {\ phi \ phi, \ theta} ^ {2}} {4g _ {\ phi \ phi}}} + {\ frac {g _ {\ theta \ theta, \ theta} g_ {\ phi \ phi, \ theta}} {4g _ {\ theta \ theta}}} + {\ frac {g _ {\ phi \ phi, \ phi} g _ {\ theta \ theta, \ phi}} {4g _ {\ phi \ phi}}} \ right]}

se simplifica en la esfera eliminando los términos nulos:

K = {\ frac {1} {g _ {{\ theta \ theta}} g _ {{\ phi \ phi}}}} \ left [- {\ frac 12} \ left (0 + g _ {{\ phi \ phi, \ theta \ theta}} \ right) +0 + {\ frac {g _ {{\ phi \ phi _ {,} \ theta}} ^ {2}} {4g _ {{\ phi \ phi }}}} + 0 + 0 \ derecha]

luego, explicando los coeficientes de la métrica:

K = {\ frac {1} {R ^ {4} \ sin ^ {2} \ theta}} \ left [- {\ frac 12} \ times 2R ^ {2} (\ sin \ theta \ cos \ theta) _ {{, \ theta}} + {\ frac {4R ^ {4} \ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ theta} {4R ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} } \ derecho]

y finalmente en:

K = {\ frac {1} {R ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ left [- \ left (\ cos ^ {2} \ theta - \ sin ^ {2} \ theta \ right ) + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ theta} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right] = {\ frac {1} {R ^ {2} }}

El tensor de Riemann de la esfera es

{\ Displaystyle R _ {\ theta \ phi \ theta \ phi} = R ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}

Referencias

J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, Matemáticas supuesto, t. 3, geometría y cinemática , 2 nd ed., Dunod Universidad (1977), p. 493, 509
(en) DJ Struik, Conferencias sobre geometría diferencial clásica , Dover, 1988.
Bernard Schaeffer, Relatividades y cuantos clarificados , Publibook, 2007.
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(en) Kevin Brown, Reflexiones sobre la relatividad , § 5.7: Geometría riemanniana .
(en) Erwin Kreyszig , geometría diferencial , Dover, 1991.
Michèle Audin , Geometría , Ciencias EDP ,2006, 3 e ed. , 428 p. ( ISBN 978-2-7598-0180-0 , leer en línea ).

Ver también