Matriz Z

En matemáticas , una -matriz es una matriz cuadrada real cuyos elementos extra-diagonales son negativos. Estas matrices aportan propiedades particulares a los problemas de complementariedad lineal . ${\ mathbf {Z}}$

Lo opuesto a una -matriz es una matriz de Metzler (y viceversa). ${\ mathbf {Z}}$

Definiciones

Una matriz cuadrada real es una matriz- si todos sus elementos extra-diagonales son negativos: $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$ ${\ mathbf {Z}}$

$\ forall \, (i, j) \ in \ {1, \ ldots, n \} ^ 2 ~ \ mbox {con} ~ i \ ne j ~ \ mbox {tenemos} ~ M_ {ij} \ leqslant 0.$

Los elementos de la diagonal de pueden ser de signo arbitrario. $METRO$

Denotamos el conjunto de matrices de cualquier orden. Llamamos -matricidad a la propiedad de una matriz a la que pertenece ${\ mathbf {Z}}$ ${\ mathbf {Z}}$ ${\ mathbf {Z}}$ $\ mathbf {Z}.$

Propiedad

Complementariedad lineal

Las matrices-aportan propiedades particulares a los problemas de complementariedad lineal . Recordemos la definición de estos problemas. ${\ mathbf {Z}}$

Para un vector , la notación significa que todos los componentes del vector son positivos. Dada una matriz real cuadrada y un vector , un problema de complementariedad lineal consiste en encontrar un vector tal que , y , que se escribe de forma abreviada de la siguiente manera: $v \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $v \ geqslant 0$ $v_ {i}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ geqslant 0$ $Mx + q \ geqslant 0$ $x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0$

$\ mbox {CL} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.$

Se anota el conjunto admisible de este problema

$\ mbox {Adm} (M, q): = \ {x \ in \ R ^ n: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}.$

${\ mathbf {Z}}$ -Problema de complementariedad lineal y de matriz - Para una matriz , las siguientes propiedades son equivalentes: $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$

$M \ in \ mathbf {Z}$ ,
para todo lo que lo hace factible, contiene un mínimo (del orden de ) que es solución de . $q$ $\ operatorname {CL} (M, q)$ $\ operatorname {Adm} (M, q)$ $\ leqslant$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ operatorname {CL} (M, q)$

Deducimos de este resultado que

\ mathbf {Z} \ subconjunto \ mathbf {Q} _0.

donde es el conjunto de matrices tal que a tiene una solución para todo lo que hace admisible el problema de complementariedad. $\ mathbf {Q} _0$ $METRO$ $\ operatorname {CL} (M, q)$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$

Aplicaciones

Química

En química , una matriz Z es una representación de átomos en una molécula (o cualquier sistema de átomos). En lugar de representar las coordenadas cartesianas del átomo , la matriz Z está en las coordenadas internas , que especifican las posiciones de los átomos en términos de longitudes de enlace , ángulos de enlace y ángulos diedros . Por convención, al convertir a coordenadas cartesianas, el primer átomo está en el origen y el segundo está en el eje z (de ahí el nombre "matriz Z"). El uso de matrices Z es muy común en la química computacional y el modelado molecular , porque una representación en coordenadas internas reduce el tiempo de cálculo.

Por ejemplo, el metano , en coordenadas cartesianas y unidades ångströms , se habría representado como:

C 0.000000 0.000000 0.000000 H 0.628736 0.628736 0.628736 H -0.628736 -0.628736 0.628736 H -0.628736 0.628736 -0.628736 H 0.628736 -0.628736 -0.628736

La matriz Z sería

C H 1 1.089000 H 1 1.089000 2 109.4710 H 1 1.089000 2 109.4710 3 120.0000 H 1 1.089000 2 109.4710 3 -120.0000

Deben usarse muchos menos valores; de hecho, solo la longitud del enlace entre el carbono y los hidrógenos no está especificada por la simetría de la molécula.

Apéndices

Bibliografía

(en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). El problema de la complementariedad lineal . Clásicos en Matemáticas Aplicadas 60. SIAM, Filadelfia, PA, EE. UU.