Vector nulo

En un espacio vectorial E sobre un campo conmutativo , el vector cero es el vector único que representa el elemento neutral para la suma del vector. Su existencia viene dada por la definición de la estructura del espacio vectorial. Se puede anotar o incluso , o simplemente 0. K{\ Displaystyle K}0mi{\ Displaystyle 0_ {E} \,}0{\ Displaystyle \ mathbf {0}}0→{\ Displaystyle {\ vec {0}}}

Como cualquier elemento neutro, el vector cero es único. La demostración es elemental: si y son dos vectores cero del mismo espacio vectorial E , entonces por nulidad de y por nulidad de , por tanto . a{\ Displaystyle a}B{\ Displaystyle b}a=a+B{\ Displaystyle a = a + b}B{\ Displaystyle b}B=a+B{\ Displaystyle b = a + b}a{\ Displaystyle a}a=B{\ Displaystyle a = b}

Propiedades y observaciones

• Es el resultado de la multiplicación por el escalar cualquier vector E .0K{\ Displaystyle 0_ {K} \,}
• Para todos los espacios vectoriales E y F , y cualquier aplicación lineal , el vector cero de E es enviado por f en el vector cero F  : .F:mi→F{\ displaystyle f: E \ rightarrow F}F(0mi)=0F{\ Displaystyle f (0_ {E}) = 0_ {F}}
• La imagen inversa del subespacio vectorial de E reducido al vector cero por un mapa lineal se llama núcleo del mapa lineal f .F{\ Displaystyle f}
• El espacio vectorial reducido al vector cero es el espacio vectorial único que tiene un solo elemento, el vector cero. Se llama espacio nulo .

Ejemplos de

• Siendo K un campo conmutativo, en el espacio vectorial , el vector cero es el elemento neutro aditivo de , es decir .(K,+,⋅){\ Displaystyle (K, +, \ cdot)}K{\ Displaystyle K}0K{\ displaystyle 0_ {K}}
• En el K - espacio vectorial K n , el vector cero es el n tupla donde es el elemento de identidad para la adición del cuerpo K .(0,...,0){\ displaystyle (0, \ ldots, 0)}0{\ displaystyle 0}
• Si E es un subespacio del vector F , el vector cero de E es el vector cero F .
• Para cualquier conjunto X , el vector cero del espacio de funciones reales sobre X es la función cero, que en cualquier punto de X asocia 0.F(X,R){\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (X, R)}
• En el espacio vectorial de funciones continuas desde adentro , el vector cero es la función cero.VS(R,R){\ Displaystyle {\ mathcal {C}} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}
• En el espacio vectorial de polinomios con coeficientes en un campo conmutativo , el vector cero es el polinomio cero.K[X]{\ Displaystyle K [X]}K{\ Displaystyle K}
• Cuando los vectores se definen a partir bipoints equipolente , el vector cero está representado por los de clase parejas ( A , A ) formados a partir de un único punto A .
• El espacio único del vector K que contiene solo el vector cero es, por definición, el espacio cero . Para cualquier espacio vectorial E , existe una inyección única del espacio cero hacia E , que envía 0 . La dimensión del espacio nulo es 0.{0}{\ Displaystyle \ {0 \}}0mi{\ displaystyle 0_ {E}}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">