Transversalidad

En álgebra lineal y geometría diferencial , la propiedad de transversalidad es un calificador para la intersección de subespacios o subvariedades. En cierto modo, es lo opuesto a la noción de tangencia .

Dos subespacios , de un espacio vectorial se llaman transversal cuando . Esta condición se puede reescribir, si es necesario, en términos de codimensión : $F$ $GRAMO$ $mi$ ${\ Displaystyle F + G = E}$

{\ Displaystyle \ operatorname {codim} (F) + \ operatorname {codim} (G) = \ operatorname {codim} (F \ cap G)}

Dos subespacios afines , un espacio afín se denominan transversales si sus direcciones son transversales , es decir, si $Y$ $Z$ $X$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {Y}} + {\ overrightarrow {Z}} = {\ overrightarrow {X}}}

Se dice que dos subvariedades y de una variedad diferencial son transversales cuando, para cualquier punto de , los espacios tangentes y son transversales en el espacio tangente , es decir, si $METRO$ $NO$ $PAG$ $X$ ${\ Displaystyle M \ cap N}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle T_ {x} M}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle T_ {x} N}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle T_ {x} P}$

{\ Displaystyle \ Displaystyle T_ {x} P = T_ {x} M + T_ {x} N}

A continuación, designe las dimensiones respectivas de . ${\ Displaystyle m, n, p}$ $M, N, P$

Notas:

La definición sigue siendo válida para las variedades banachic.
Dos subvariedades disjuntas son transversales.
Si , entonces la condición de transversalidad solo puede verificarse si las subvariedades y son disjuntas. ${\ Displaystyle m + n <p}$ $METRO$ $NO$

Teorema : una intersección transversal y no vacía es una subvariedad diferencial de dimensión . ${\ Displaystyle M \ cap N}$ ${\ Displaystyle m + np}$

Por tanto, tenemos en este caso las relaciones

{\ Displaystyle \ operatorname {dim} (M \ cap N) = \ operatorname {dim} (M) + \ operatorname {dim} (N) - \ operatorname {dim} (P).}

{\ Displaystyle \ operatorname {codim} (M \ cap N) = \ operatorname {codim} (M) + \ operatorname {codim} (N).}

Por ejemplo, dos superficies regulares de un espacio tridimensional son transversales si y solo si no tienen un punto de tangencia. En este caso, su intersección forma una curva regular (posiblemente vacía).

Número de intersección

Generosidad

Teorema - Si y son dos subvariedades de clase ( ) de dimensiones respectivas y , entonces hay un -diffeomorfismo de , tan cerca de la identidad como se desea en topología , como intersección transversal . $METRO$ $NO$ $C ^ k$ $\ scriptstyle k \ geq 1$ $metro$ $no$ $C ^ k$ $h$ $PAG$ $C ^ k$ ${\ Displaystyle h (M)}$ $NO$

En general, dos subvariedades se cruzan transversalmente, incluso si eso significa perturbar una de ellas por una isotopía .