Tratado de la ruleta

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Autor	Blaise Pascal
Fecha de lanzamiento	1659

El Tratado de la Ruleta es una serie de cartas escritas en octubre de 1658 por Blaise Pascal , bajo el seudónimo de Amos Dettonville y publicadas en 1659 . Esta obra está considerada como uno de los últimos tratados sobre el método de los indivisibles ( Cavalieri , 1635), que dará paso al análisis matemático .

Plaza histórica

En 1658 , Pascal tenía 35 años y ya había renunciado a la carrera científica desde 1654. Sin embargo, bajo el seudónimo de Amos Dettonville (anagrama de Louis de Montalte, seudónimo del autor de las Provinciales (1656)), Se fue a proponer un desafío: encontrar un cierto número de propiedades de la cicloide , otro nombre para la ruleta, una curva ya estudiada por Roberval . El nombre de la ruleta se extenderá más adelante a curvas más generales.

Pascal ciertamente pensó en la ruleta antes de 1654, pero sin publicar (era bastante común en ese momento). Pascal propone, en agosto de 1658, 9 desafíos. Después de que Wren en 1658 llevara a cabo la rectificación de la cicloide, y que Wallis publicara inmediatamente la demostración, Pascal se apresurará a publicar los 9 desafíos de octubre de 1658, luego muy rápidamente el libro La Théorie de la roulette , en enero de 1659 (probablemente con la ayuda de Roberval).

El ingenio combinatorio de esta ruleta Tratado puede arrebatar ( Emile Picard tenía un gran respeto por el Tratado n o 2). Pero la Geometría de los Indivisibles dará paso al Análisis. Aunque este Tratado profundiza más en la obra de Torricelli (hacia 1643), cuya claridad de expresión tiene, la escuela inglesa ya está ahí, poderosa: Wallis (análisis infinitorum, 1654), Barrow (maestro de Newton en 1661 ), Wren (fundador de la Royal Society en 1660) están en el mismo camino y Gregory regresará de Bolonia (1664-1668).

Este libro hizo una bisagra, en 1659, entre el método de los indivisibles de Cavalieri (1639) y el cálculo infinitesimal creado por Newton (teoría de las fluxiones, 1669) y por Leibniz , en su forma más moderna (1684). Representa el fin de una era: este Tratado quedará sin mucha influencia, porque está anclado en la geometría y la combinatoria; en 1660, el análisis estaba en curso en Padua y Cambridge. Leibniz se burló de Pascal: tenía todo en sus manos; estaba ciego?

Contenido matemático

Caja desplegable

Los 18 desafíos

El Tratado de la Ruleta incluye 18 propuestas agrupadas en 6 tratados +1:

Carta del Sr. Dettonville al Sr. Pierre de Carcavi
Tratado sobre trilíneas en ángulo recto y sus pestañas
Propiedades de las sumas simples
Tratado de seno en cuarto de círculo
Tratado sobre arcos de círculos
Pequeño tratado sobre sólidos circulares
Tratado general de la ruleta

Los primeros seis son guías de cálculo (no hechas por Pascal), que se utilizarán en el Tratado-7. Las 18 propuestas son las planteadas en desafío en junio y octubre de 1658:

Es decir, medio arco de la ruleta Arc OS (con O (0; 0); S (Pi.a; 2a)). H el punto (Pi.a; 0), que por lo tanto forma la línea de tres ángulos rectos.

El área de SST fue evaluada por Galileo (1592) (¡pesando!): Discos generadores 3/2, finalmente calculados por Roberval (1634) utilizando la famosa “curva auxiliar” (la sinusoide); luego encontrado por Torricelli (la muy cuidadosa investigación la llevó a cabo Jean Itard , del centro Koyré, sobre la anterioridad de Roberval).

Pascal corta la figura con una línea horizontal, partiendo del punto actual P, cortando el semicírculo de diámetro SH en M, y el segmento SH en Y, el eje y en Y '. Por supuesto, PM = arco MS, que es la propiedad característica de la ruleta.

Las 9 propuestas para junio son:

Área PYS; X e Y del baricentro de esta zona.

Gire la figura alrededor de PY:

Volumen de sólido generado; X e Y de su baricentro.

Gire la figura alrededor de SY

Volumen de sólido generado; X e Y de su baricentro.

Los problemas del 9 de octubre se refieren a una extensión debida a Wren (agosto de 1658):

Rectificación del arco MS; X e Y de su baricentro.

Gire el arco MS alrededor de PY, media vuelta:

área de la superficie generada; X e Y de su baricentro.

Gire el arco MS alrededor de SY, media vuelta:

área de la superficie generada; X e Y de su baricentro.

Los Tratados T1,2,4 son innovadores. T3,6 retoma el teorema de Guldin . T5 explícito T4 a través de T2. Finalmente, T7 articula todo.

El Tratado T2 es considerado por Émile Picard como una obra maestra.

Análisis de tratados , calificaciones

Notación: Se realizará de acuerdo principalmente con las referencias siguientes:

C. para Costabel y
M. para Merker.
TR denotará: Tratado de Ruleta .

Llamaremos a la suma de los indivisibles: ß.

Cuadrado de la ruleta

Aquí está la demostración de la cuadratura de la media ruleta, en seis líneas:

Regrese a la figura anterior.
Divida SH en un infinito de partes iguales "YY",
y dibuja los indivisibles, los segmentos YP = YM + MP.
(Sin dificultad en) Comprender, con Cavalieri, que ß YM = área del semicírculo: Pi.a² / 2 (: = A1)
Queda ß MP = ß SM = ß (Pi.a - SM) = 1/2 ß Pi.a = 1/2 (Pi.a). ß = 1/2 Pi. a. (2a) = 2.A1
El área de Roberval, que Galileo no pudo calcular, es por lo tanto la tercera área del semicírculo.

FIN de la demostración.

Problema: deberíamos escribir ß YM o como Torricelli y Pascal ß YM. YY, ¿en qué se convertirá en la escritura de Leibniz ? Respetaremos aquí el TR, escribiendo siempre las divisiones iguales YY y los segmentos (los indivisibles) siempre partirán de Y; esto para estar más cerca del texto de Dettonville. $\ int _ {H} ^ {S} YM \ cdot dY$

El arte de contar

Pascal solía combinar papas fritas y palos, este muy pequeño, dice su hermana.

Conocemos el triángulo de Pascal. Y la combinatoria aplicada a ars conjectandi .

Pero los hechos más básicos han existido durante mucho tiempo (ver el libro de Conway y Guy).

la secuencia de Galileo y la suma triangular

Sea una baldosa cuadrada. Rodéelo a la derecha y abajo con 3 baldosas para formar una baldosa cuadrada de 4 fichas. Rodeando con 5 fichas, obtenemos una ficha cuadrada de 9 fichas. Luego, 7 fichas más darán lugar a 4 ^ 2 fichas y de 9 a 5 ^ 2.

Reconocemos la suma de los números impares [de 1 a 2t-1] = t ^ 2 de Galileo, que se demuestra por inducción: t ^ 2 + gnomon (: = 2t + 1) = (t + 1) ^ 2.

Pascal ciertamente conocía este resultado y el que se deriva de él: suma de enteros = n (n + 1) / 2.

pero se da cuenta de más: nombremos los cuadrados con las letras A, el segundo gnomon B, etc.

La suma se convierte en la de una tabla de "Peso": = P = A + 3 B + 5 C + 7 D +…

Pascal no tarda mucho en descubrir que con esta tabla simétrica podemos escribir:

"Trazo" de la diagonal: = ß: = (A + B + C + D + E)

O la matriz triangular superior , incluida la diagonal, o µ; P = 2µ - ß.

Observe: µ = A + 2.B + 3.C + 4.D, es decir, el momento de los pesos alineados, con respecto al origen (1 es la abscisa del cuadrado A): c 'es, por lo tanto, simplemente el momento µ de la palanca de Arquímedes.

Y consecuentemente, µ / ß da la abscisa del “baricentro”:

Ésta es la famosa regla "secreta" de la que habla Arquímedes en su carta a Dositeo. ( Torricelli , Magiotti y Nardi, alumnos de Castelli, lo comentaron mucho):

la abscisa del baricentro es el baricentro de la abscisa.

Pascal llama a esto, haciendo una suma triangular µ. También podemos cambiar el origen.

Para practicar: aplicando el centro de gravedad de la moneda en circunferencia . $x_ {G} = {\ frac {2a} {\ pi}}$

El baricentro del semidisco se deduce de esto: (2/3). {0; }. ${\ frac {2a} {\ pi}}$

Verifique aplicando el teorema de Guldin a la esfera y la bola (declaraciones de T4, T5 y T6).

También podemos, mirando la tabla de Pitágoras con el mismo gnomon, encontrar que (ß n) ² = ß n³: también es un clásico.

Sumas piramidales

Cada niño, con cubos, hace pirámides; ¡Dettonville no está privado de ello! Deje que el eje Z baje:

Colocamos el cubo A en la dimensión z = 1, en la dimensión z = 2, 4 cubos B en la dimensión z = 3, 9 cubos C

Así construimos una hermosa pirámide.

(tomar colores graduados en z produce un efecto agradable; son objetos muy conocidos en arquitectura, pero olvidé su nombre: ¿Pantenes?)

Evidentemente esta pirámide tiene como plano de simetría el plano x = y. El conjunto de elementos de este plano diagonal es esta vez, el momento suma µ (dibujalo para convencerte de ello, ¡si no toma cubos!). Como antes, Dettonville toma la mitad de la pirámide, CON el plano de simetría, y lo llama la suma piramidal (þ)

Dettonville obtiene así: 2. (Þ) - (µ) = 1².A + 2².B + 3².C + 4².D + 5².E,

Para entender a Pascal, "hay que seguir manipulando estos cubos, hasta que esté convencido".

(Esta es la esencia de lo que Pascal quiso escribir: Ver y concluir . Además, es el título de uno de sus libros: el espíritu de la geometría y el arte de convencer. Una belleza estética "cierta", cercana al estilo de el cátaro "perfecto", belleza sin duda no ajena al jansenismo de Pascal).

Aplicación directa: tome el número de letras como una cifra. Deducir de nuevo n³. $\ Sigma$

Divisiones iguales, órdenes

Recoge los arándanos con un rastrillo de unos 16 dientes igualmente espaciados.

Es decir 16 pajitas de diámetro igual al período espacial del rastrillo.

Extienda las dieciséis pajillas una al lado de la otra y, posiblemente, con un espaciador guía pequeño, trasládelas fácilmente rastrillando.

Esta es una forma muy visual de calcular áreas, estilo Dettonville.

Ejemplo: corte un disco de cartón. Con este, dibuja un medio arco de una cicloide . Coloca las pajitas encima. Rastrilla las pajitas de la izquierda. Inserte el círculo guía de cartón según SH. Traiga las pajitas rastrillando hacia la derecha: la prueba experimental está hecha: Área = (área del rectángulo - área del semicírculo, A1), es decir, 3 A1. Después de haberlo mostrado, DEBE demostrarse; pero ya estamos convencidos. Casi todo el razonamiento de Dettonville se hace utilizando este peine de arándanos, que ya existe, sin decirlo, con Torricelli: las divisiones son iguales en los lados del rectángulo trilineal. Pero también una excepción: como Torricelli, se otorga el derecho de cortar arcos en longitudes iguales, lo que es más sutil, por supuesto, y excluye el panal de arándanos.

Entonces los indivisibles se pueden dividir en 32 pajitas de medio diámetro, etc., hasta 1024 (= 2 ^ 10) pajitas diminutas, etc. Solo queda concluir, una vez VISUALIZADA: en el límite n tendiendo al infinito, para 2 ^ n pajuelas, resulta que el área bajo la curva A = f (1), B = f (2), C = f (3), es la suma ß: = A + B + C +…

Pero Dettonville va más allá:

En el cálculo exacto de la Tabla Cuadrada de Galileo, dice que el peso de la diagonal es NEGLIGIBLE: ¡por lo tanto 2µ - ß = 2µ! el GRAN PASO se acaba de dar: descuidaremos los términos de "orden inferior": la suma de enteros cuando n es muy grande será ~ n² / 2

¡En el cálculo exacto de la pirámide, el peso total será 2þ - µ = 2þ! Entonces, la suma de los cubos será ~ n ^ 4/4. La noción de infinito <infini² <infini³ en polinomios acaba de aparecer. Es la noción de ORDEN de magnitud, mucho más importante que aquella de la que filosofamos sobre los infinitos de Pascal (pero estrechamente ligada a la moral de Pascal). El tiempo de las paradojas de los indivisibles aún no ha terminado (¡hará falta un Darboux para cerrar el debate!), Pero las “buenas” reglas están emergiendo.

Por supuesto, Dettonville no escribirá para sus sumas dobles: ßß, y para sus sumas triples: ßßß, pero lo VIÓ. Si lo hubiera simbolizado, habría sido el creador del cálculo, sobre todo porque entendió la integración por partes:

Conteo horizontal o vertical: integración por partes

Obviamente, el área de un triángulo curvilíneo como el que nos interesa aquí (la media ruleta OSHO), podemos usar el principio de la pajilla tanto vertical como horizontalmente: el área ß PY .YY + ß PY '.Y' Y '= OS.SH,

pero ß PY. YY = β PX. XX por lo tanto ß PX. XX = OS.OH - ß PY'.Y'Y '

Leibniz lo escribirá más tarde: d (xy) = y .dx + x.dy. Por ahora, Dettonville solo lo usará, con virtuosismo.

Así que frente a Torricelli que es el primero en hablar en dimensiones homogéneas al haberle dado una dimensión a "dx", Dettonville avanza un paso más con su insignificante dx.dx.dx frente a X.dx.dx, X termina. Y con sus sumas dobles o triples e integración por partes.

El Tratado no es un tratado de cálculo

El Tratado de la ruleta no es un tratado de cálculo porque:

no es posible generalizar: el cálculo quedó limitado al círculo;
es imposible en cálculos de doble suma tomar divisiones desiguales;
este trabajo está muy lejos de la prolijidad y profundidad de Barrow o Wallis .

El carácter cerrado : Dettonville muestra claramente el hecho de que "primitivo" (¡en el sentido moderno!) De seno (x) = seno (x - Pi / 2); es decir la misma función (¡en el sentido moderno!), por lo que podemos reiterar y hacer tantas suma de suma de suma… como queramos. Es en cierto modo la belleza "circular" que habría fascinado a Pascal; pero lo confinó solo a los senos nasales. Se pierde la generalización. Sólo el Tratado-2 es algo general; sin embargo, sigue centrado en este problema cicloide. Même dans le cas des centres de gravité, bien qu'on doive louer la virtuosité de Pascal (en particulier, pour l'intégration par parties), il n'en reste pas moins que ce sont des calculs de primitives d'exponentielles-polynômes , sin más. Por otro lado, leer el Tratado es una verdadera búsqueda del tesoro, ya que es solo un sustituto de la demostración . En el cálculo de suma simple único , con el "toque" que usa, ya sea ß (MY.MM), indica claramente en el tratado-2, que es suficiente que las subdivisiones no estén definidas para la fusión de arco y tangente (o cuerda). Pero es Leibniz quien entenderá esta frase como: para calcular la ß, basta con conocer la antiderivada. Lo que expresó Barrow (hay una relación involutiva entre derivativo-primitivo, entre tocar-cuadratura), nada de esto existe en el Tratado, limitado a la única observación geométrica , realmente geométrica:, e incluso eso está escrito en términos modernos; porque nunca Dettonville habla de análisis. Quería seguir siendo un topógrafo. ${\ mathbb {S}} _ {a} ^ {b} \ sin x \ cdot dx = [\ sin (x- \ pi / 2)] _ {a} ^ {b}$
Divisiones iguales : Dettonville se limita a arcos iguales: ¿por qué? Sin duda porque el espíritu combinatorio sigue dominando : fue un maestro en este campo. Pero, además, sus fórmulas triangular (µ) y piramidal (þ) sólo son válidas con divisiones iguales (M. p. 52, 57 y p. 114 ). Y Merker señala una paradoja, p. 131 , sobre las paradojas de Tacquet, enumeradas por Gardies: no se puede obtener sin astutar la superficie del hemisferio. Darboux también señalará paradojas en las áreas de superficies bien elegidas. Entonces, las cuadraturas realizadas no tienen nada que ver con la integral de Riemann, ni mucho menos.
Rivalidad con Londres : Pascal no había preguntado por el trabajo de Roberval . Al hacer preguntas que otros ya han respondido, pierde la cabeza. De ahí sus polémicas con Wallis (ya muy famoso). Pero especialmente cuando Wren publica la rectificación de la cicloide en agosto de 1658, Pascal se sorprende: para hacer frente, rápidamente escribirá los problemas de octubre. Pero no es muy glorioso. Es cierto que su trabajo (y especialmente el Tratado-2) es admirable, pero Dettonville es lo suficientemente amargo como para haber sido apodado. El final de su Tratado es bastante "rápido". Pero, sobre todo, Pascal no tuvo en cuenta en absoluto el trabajo de un Barrow o un Wallis . No hay referencia a un método general. Todo queda confinado a la cicloide única. Este libro no tiene un alcance general.

Por tanto, Londres se convertirá a partir de 1660 en el motor del análisis matemático. Con todo, Leibniz tendrá esta cruel sentencia: Pascal lo tenía todo en la mano, pero se quedó ciego. Todo el problema de la historia de la ciencia está ahí: ¿por qué estas ceguera? ¿Por qué de nuevo en 1700, Michel Rolle y George Berkeley "resistirán"?

Notas y referencias

Bibliografía

Pierre Costabel , " Ensayo sobre los secretos de los Tratados de la ruleta ", Revue d'histoire des sciences et de sus aplicaciones , t. 15, n hueso 3-4,1962( DOI 10.3406 / rhs.1962.4432 , leer en línea )
Pascal, Obras completas , J. Chevalier, La Pléiade.
Pascal, Obras completas , J. Mesnard, Desclée de Brouwer
Pascal, Pensamientos , Flammarion, 1976
Roberval, Tratado de Indivisibles , U Paris-VII, 1987
Fermat, Obras de curtiduría, Gauthier-Villars, 1891-1922
Leibniz, Cálculo diferencial , Vrin, 1989
Cederom, PU Clermont-Ferrand, 1999, por Descotes & Proust: Lettres de Dettonville.
DeGandt, "La geometría de los indivisibles", APMEP , Fragmentos de historia de las matemáticas II, 65 (1987)
Merker , El canto del cisne de los indivisibles: el cálculo integral en el último trabajo científico de Pascal , Besançon, PUFC,2001, 226 p. ( ISBN 2-84627-038-4 , leer en línea )
Gardies, Pascal entre Eudoxe et Cantor , Vrin, 1984
Marie-Laure Prévost, " Un teorema de la geometría de Blaise Pascal descubierto en el manuscrito Pensées ", Chroniques de la BnF , n o 56, noviembre-diciembre de 2010, p. 24