Teoría de Landau

En física, la teoría de Landau es una teoría de transiciones de fase . Debe su nombre al teórico ruso Lev Landau . Esta teoría se basa en una expansión polinomial de energía libre en función de un parámetro, llamado parámetro de orden , en las proximidades de la transición.

Esta teoría se aplica a las transiciones de fase marcadas por la pérdida de ciertos elementos de simetría. La forma del potencial de Landau está entonces restringida por las simetrías de las fases involucradas y puede ser dada por la teoría de grupos . De hecho, la teoría de Landau constituye la primera aplicación de la teoría de grupos a la termodinámica .

Los principios generales de la teoría fueron establecidos por Lev Landau en 1937. Posteriormente, varios trabajos han aplicado esta teoría general a casos más específicos a los que a veces se hace referencia con nombres ligeramente diferentes: teoría de Ginzburg-Landau para superconductores , teoría de Landau-Devonshire para ferroeléctricos, etc.

Características generales de la teoría

La teoría de Landau es una teoría local . Se pensó como una aproximación válida en las proximidades de la transición, es decir, para valores muy pequeños del parámetro de orden. Sin embargo, puede suceder que el dominio de validez de la teoría cubra un rango muy amplio.

La teoría de Landau es una teoría fenomenológica : no permite predecir ex-nihilo una transición de fase en ningún sistema como lo haría, por ejemplo, un cálculo ab-initio. Por otro lado, a partir de una transición de fase identificada experimentalmente, es capaz de describir de manera coherente todos los fenómenos micro y macroscópicos que acompañan a esta transición: cambio en la simetría del cristal, anomalías de varias propiedades físicas (constante dieléctrica, calor específico, etc. .). También permite construir diagramas de fase que recapitulan los dominios de estabilidades de las diversas fases predichas por simetría.

Finalmente, la teoría de Landau es una teoría de campo medio : las interacciones microscópicas subyacentes no se tienen en cuenta en detalle, sino solo en promedio. De esta forma, la teoría no puede tener en cuenta las fluctuaciones del parámetro de orden alrededor de su valor de equilibrio. Sin embargo, estas fluctuaciones pueden ser significativas en las proximidades de la transición.

Conceptos de la teoría de Landau

Ruptura de simetría

Parámetro de orden

En la fase de alta simetría, según los postulados de la termodinámica, es posible caracterizar completamente el sistema por los datos de un pequeño número de variables de estado (digamos para fijar las ideas la presión y la temperatura ). En la transición, hay una pérdida de ciertas propiedades de simetría. Los datos de presión y temperatura ya no son suficientes para caracterizar el estado del sistema. En esta fase, por lo tanto, necesitamos una variable adicional: este es el parámetro de orden . Este parámetro introduce un término adicional a la energía total, de modo que la fase de alta simetría ya no es termodinámicamente estable.

Potencial de Landau (o desarrollo)

El parámetro de orden hace su contribución a la energía total del sistema. Es esta contribución adicional la que desequilibra la fase de alta simetría. Por lo tanto, la teoría de Landau no está interesada en el potencial termodinámico total sino solo en esta contribución adicional. La hipótesis central de la teoría de Landau es escribirla como una serie, denominada desarrollo de Landau, en las proximidades de la transición. Al señalar el parámetro de orden, podemos escribirlo en términos generales: $Q$

{\ Displaystyle L (Q) = A_ {1} \, Q + {\ frac {A_ {2}} {2}} \, Q ^ {2} + {\ frac {A_ {3}} {3}} \, Q ^ {3} + \ ldots}

La teoría de grupos permite, a partir de las simetrías de las fases antes y después de la transición, mostrar que ciertos coeficientes de este desarrollo son necesariamente nulos. El número de términos a incluir en la expansión depende del problema considerado.

Por ejemplo, para el modelo de Ising , el parámetro de orden es el giro medio. En ausencia de un campo externo, la energía del sistema no cambia bajo el efecto de una inversión . Por lo tanto, solo puede depender de términos pares del parámetro de orden:

${\ Displaystyle L (Q) = {\ frac {A_ {2}} {2}} \, Q ^ {2} + {\ frac {A_ {4}} {4}} \, Q ^ {4} + \ dots}$

Para los cristales líquidos, el parámetro de orden no puede ser un vector (las moléculas tienen un centro de simetría, por lo tanto, no tienen diferencias altas-bajas). Necesitamos un tensor Q de traza cero, construido a partir de la dirección de orientación de las moléculas. La energía es independiente de cualquier rotación y depende de la traza de las potencias de Q (el término lineal es, por tanto, nulo por construcción). Finalmente:

${\ Displaystyle L (Q) = {\ frac {A_ {2}} {2}} \, Q ^ {2} + {\ frac {A_ {3}} {3}} \, Q ^ {3} + {\ frac {A_ {4}} {4}} \, Q ^ {4}}$

Los valores de los coeficientes distintos de cero se pueden refinar a partir de datos experimentales en las proximidades de la transición.

En cuanto a un potencial termodinámico, el valor de equilibrio del parámetro de orden viene dado por

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial L} {\ parcial Q}} = 0}

y la condición de equilibrio estable corresponde a una segunda derivada positiva.

Susceptibilidad

En termodinámica en general, las propiedades (elásticas, dieléctricas, etc.) de un sistema vienen dadas por las segundas derivadas del potencial termodinámico. En la teoría de Landau, la susceptibilidad, generalmente notada , extiende esta noción a las propiedades gobernadas por el parámetro de orden. Está definido por $\ chi$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ chi}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} G} {\ parcial Q ^ {2}}}}

e interviene en el estudio de las propiedades del sistema en las proximidades de la transición.

Aplicaciones de la teoría

Transiciones de fase ferroelástica

Transiciones de fase ferroeléctrica

Superconductividad: teoría de Ginzburg-Landau

Notas y referencias

Wadhawan , pág. 131
Wadhawan , pág. 154

Apéndices

Bibliografía

(en) JC Tolédano y P. Tolédano, La teoría de las transiciones de fase de Landau: aplicación a sistemas estructurales, inconmensurables, magnéticos y de cristal líquido , Singapur / Nueva Jersey / Hong Kong, World Scientific ,1987, 451 p. ( ISBN 9971-5-0025-6 )
P. Tolédano y V. Dmitriev, Transiciones de fase reconstructiva en cristales y cuasicristales , World Scientific ,1996( ISBN 981-02-2364-1 )
EKH Salje, Transiciones de fase en cristales ferroelásticos y coelásticos , Cambridge University Press ,1993
VK Wadhawan, Introducción a los materiales ferroicos , Gordon and Breach Science Publishers,2000

enlaces externos

Apuntes de conferencias sobre la teoría de Landau .
Una cartilla de Landau para ferroeléctricos , artículo introductorio a la teoría de Landau aplicada a las transiciones de fase ferroeléctrica.